聚焦真實情境 助推模型建立
——以《鴿巢問題》教學為例

文|徐登池

一、問題反思：課堂教學的全方位審視

“鴿巢問題”也叫“狄利克雷原理”或“抽屜原理”，實際上是一種解決特定的數學或生活問題的模型，滲透著一種數學的思想方法，也體現了一種邏輯推理的能力。這其中的很多相關概念對于小學生而言，理解起來比較困難。通過前期對這類課的案例學習、課堂實踐、課后分析，發現普遍存在以下一些問題，值得我們進一步深入探究。

1.教材內容有點分散，缺少結構化的設計

教材中編排了3 個例題，分3課時進行教學。仔細分析發現例1和例2 的內容其實是有關聯的，例1 屬于最簡單的情況，例2 是“鴿巢問題”的一般形式。分兩課時教學，知識點有點重復和分散，割裂了知識之間的聯系，學生不能完整地經歷建模的過程，缺少結構化的設計。

2.情境創設不夠聚焦，不能激發學生需求

教材中提供的鉛筆放到筆筒、書本放進抽屜的情境，對于小學生而言不會產生足夠的學習興趣，不能有效地激發他們的學習需求。同時，“總有……至少……”的句式本身理解起來就比較抽象，再結合這樣的情境也不利于學生更好地理解其本質含義。如將4 支鉛筆放到3 個筆筒里，為什么非要說“總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆”，有些學生總是不太明白，為什么不可以說“總有一個筆筒里至少有1 支鉛筆”？

3.教學環節缺少層次，難以實現有序推進

由于教學內容本身的難度，教學設計不太貼近學生的最近發展區，以及教學環節層次缺少一定的梯度，導致學生的學習處于被動，在不斷變換的情境中，只關注到“至少數=商+1”這個結論的記憶。雖然學生經歷了多次動手操作，但是效果不太明顯，尤其是余數不是1 的情況，為什么還要平均分的理解是一個難點。

4.學習效果相對單一，不能做到舉一反三

學生學習了鴿巢問題，但是在解決其他相關的實際問題時，難以找到生活中的問題與鴿巢問題之間的聯系。即便是找到了，也很難理解哪個是鴿子數，哪個是鴿巢數。

二、重組教材：教學內容的結構化設計

1. 基于學情，聚焦真實性情境，初步感悟模型

教材內容是一個范本，它所提供的例題也只是一個藍本。我們不能拘泥于教材，可以跳出教材，尋找生活中與學生密切相關的素材作為研究學材，更有利于學生對鴿巢問題本質的理解。于是，我把教材中的情境“在筆筒里放鉛筆”“在抽屜里放書”的問題，統一換成了一個大情境——車輛過紅綠燈的問題。

片段一：分為三個層次

第一層次：

想一想：3 輛車停在2 個車道上，可以怎樣排隊停車？

寫一寫：用簡潔的方式記錄你的想法。

說一說：哪種情況下，3 輛車能最快通過紅綠燈？同桌交流。

呈現學生資源：

方法1：用圓圈圖來表示。

方法2：用數字來表示：3，0；2，1。

第二層次：

想一想：如果是4 輛、5 輛車停在2 個車道上，可以怎樣排隊停車？

寫一寫：用簡潔的方式記錄你的想法。

說一說：哪種情況下，4 輛、5輛車能最快通過紅綠燈？同桌進行交流。

呈現學生資源：

方法1：畫圓圈圖。

方法2：用數字表示。

學生在兩次操作活動中，很容易感受到用畫圓圈圖和數字這樣的列舉法都能簡潔地表示出結果，解決了真實情境中的問題。并通過充分的對比、交流，初步得出要想車輛能快速通過紅綠燈，就是要把這些車輛盡可能平均分到每個車道上。同時，原教材中的“總有……至少……”中的“總有”學生理解起來有困難，我們利用過紅綠燈的情境，把它巧妙地替換成“最多”，如要想5 輛車最快通過紅綠燈，車輛最多的車道上至少有3 輛車。這樣的改變，學生理解起來更容易，同時也符合鴿巢問題的本質。

第三層次：

想一想：如果是15 輛？91 輛？m 輛車呢？

寫一寫：用簡潔的方式記錄你的想法。

說一說：哪種情況下，車輛能最快通過紅綠燈？同桌交流。

呈現學生資源。

得出：m÷2=商……1，余下來的一輛任意放到兩個車道中，車輛最多的車道至少有（商+余數）輛車。

有了前兩個操作活動的鋪墊，當車輛數越來越大時，學生發現不管是用畫圓圈圖，還是寫數字的方法都比較麻煩，進而不斷完善方法，直接列除法來計算，即均分法，能簡潔地表示出結果。在若干次的枚舉中，學生最終提煉出用一道式子“m÷2=商……1”來概括上面的所有情況。在這里重點點撥了此處的“1”是余數，于是提出了猜想“車輛最多的車道至少有（商+余數）輛車”。這樣的設計，為后面的學習埋下伏筆，就是結論為什么是“至少數=商+1”，而不是“至少數=商+余數”。

2. 緊扣問題，設計進階式任務，深入理解模型

在第一環節中，研究的車道數是2 個，余數只能是1 這一種情況。到了第二環節，車道數變成3 個，讓學生自主經歷研究過程，結合猜想進行大量舉例驗證，尤其是當余數不是1 時，學生容易產生思維定勢，這也是本節課的一個教學難點。

片段二：

出示問題：（ ）輛車停在3個車道上，要想它們最快通過紅綠燈，車輛最多的車道上至少有幾輛車？

呈現學生不同的資源：

①5÷3=1（輛）……2（輛）,2÷2=1（輛），1+1=2（輛）。

②5÷3=1（輛）……2（輛）,1+2=3（輛）。

追問：這兩個例子余數都是2，但結果卻不一樣？你同意誰的做法？

出示課件模擬停車的過程，指名學生在黑板上擺一擺。

學生有了猜想“至少數=商+余數”后，在驗證環節中，會自然而然地認為結果就是3 輛。通過兩種不同方法的對比，倒逼他們去思考哪種做法是正確的。同時利用多媒體課件演示，以及學生親自到黑板上擺一擺，在此過程中讓他們清楚地看到剩下的2 輛車還要繼續再次平均分，這樣才能達到“至少”的要求，如果放到同一個車道，就不能最快通過紅綠燈了。這個教學難點的突破，緊緊扣住了“如何能最快通過紅綠燈”這個問題，其實這也是鴿巢問題的本質。

3. 整合資源，運用結構化設計，逐步建立模型

原來的教材中，筆筒數和鉛筆數這兩個變量都在發生變化，不利于學生對規律的探究。同時，為了能讓學生從整體上對本節課知識形成系統的認識，把教材中例1 和例2 的內容進行了重新調整與整合，整個核心過程始終圍繞大情境“車輛過紅綠燈的問題”設計了以下三個教學環節。

第一環節：m 輛車停在2 個車道上，哪種情況下車輛能最快通過紅綠燈？

第二環節：m 輛車停在3 個車道上，哪種情況下車輛能最快通過紅綠燈？

第三環節：m 輛車停在4、5、6個……車道上，哪種情況下車輛能最快通過紅綠燈？

追問：像這樣，能說得完嗎？能用一道算式把上面的所有情況都表示了嗎？

通過控制變量、有序研究的方法，讓學生在自主探究中逐步發現規律。第一環節是教學結構，讓學生思考、解決怎樣停車能最快通過紅綠燈，用列舉法和均分法都能找到答案，初步感悟只要看車輛最多的車道上的車盡可能少就可以了。同時，得到了一個猜想：要想最快通過紅綠燈，車輛最多的車道上至少有（商+余數）輛車。第二環節是在第一環節的基礎上把車道數變成3 個，進一步驗證是不是還存在這樣的現象。最后，通過大量的舉例驗證，并用一道算式表示出所有情況（至少數=商+1），感受數學語言的簡潔性。學生經歷了“鴿巢問題”模型建構的過程，思維由外向內聚焦，由直觀向推理發展，最終形成“鴿巢問題”的數學模型。

4. 靈活運用，通過變式性練習，不斷豐富模型

當模型建好后，就要回到日常生活中，通過快速反應，運用今天的所學內容，主動地去找一找真實問題中誰是鴿子，誰是鴿巢。

片段三：

說一說：（ ）是鴿子，（ ）是鴿巢。并解釋下面的說法對嗎？

（1）8 個人坐3 把椅子，至少有一把椅子上坐了3 人。

（2）10 塊巧克力放入4 個袋子里，至少有一個袋子里有2 塊巧克力。

（3）六10 班有46 名同學，至少有4 個人是在同一個月出生的。

通過這樣的練習設計，讓學生進一步鞏固和強化建立的模型，并感受到運用這樣的模型來解釋生活中的現實問題，進一步體會數學與生活的聯系，以及培養學習數學的興趣。

在整個教學中，真實的問題情境引入和直觀的動手操作演示起到了非常重要的作用，是教師“教”和學生“學”的好幫手，是可視化呈現“鴿巢問題”的思維工具。學生在活動中經歷了“觀察猜想→舉例驗證→建立模型→豐富模型”的學習過程，把抽象難懂的數學知識變得直觀、形象，讓學生在愉快的學習過程中享受了成功的喜悅，數學的核心素養也在建模中逐步建立起來。