基于變參數超混沌系統的多圖像加密方法

羅 敏，何雨蓮，李宜磊，張懷武，文岐業

(電子科技大學電子科學與工程學院 成都 611731)

隨著數字通信技術的飛速發展，數字圖像以其易于獲取、處理和存儲的優勢，成為人們傳遞信息和感知世界的重要方式，廣泛應用于工業、醫藥、軍事、航天等各個領域。與此同時，伴隨而來的則是嚴重的安全隱患，包括未經授權地傳播、復制、篡改及偽造等。因此，如何保護數字圖像內容的安全成了亟待解決的問題。

目前圖像加密主要采用基于混沌系統的圖像加密技術[1-4]，簡稱混沌圖像加密方法，主要包括圖像置亂[5-7]與圖像擴散[8-10]兩種方法。圖像置亂方法通過改變圖像像素的位置來改變原始圖像，使得肉眼無法直觀地辨認明文圖像，以此達到圖像加密的目的。置亂方法主要包括Arnold 變換[11]、Baker 變換[12]與幻方變換[13]這 3 種。圖像擴散方法對圖像中的像素及其相鄰像素進行異或操作，再用變換后的像素替換原始像素，即打亂原始圖像的像素值，以此達到圖像加密的目的。混沌系統用于對置亂和擴散提供索引矩陣，常用的混沌系統有Logistic 混沌映射[14]、Chebychev 映射[15]、Lorenz 混沌系統[16-17]、Chen 混沌系統[18]等。

與傳統圖像加密方法相比，混沌圖像加密方法具有密鑰空間大、加密速度快等優點。然而，當前混沌圖像加密方法依然存在諸多問題亟待解決。具體為：1）普遍采用低維及參數固定的混沌系統，所設計的密鑰系統的密鑰空間不夠大、復雜度較低，在計算機有限精度下，容易出現短周期現象及混沌退化，容易受到攻擊者使用相空間重構方法進行的攻擊破譯；2）僅采用簡單的像素置亂及像素擴散方法，如基于位置變換的置亂方法、基于異或運算的擴散方法，它們的復雜度較低、易于破譯，即僅僅對圖像進行簡單的像素位置和大小上的變換；3）每一幅圖像都使用相同的密鑰流，安全性較差，攻擊者只要破譯一幅圖像就可以對其他密文圖像進行破譯，未有效地將密鑰與明文圖像進行聯系。

1 算法設計

為了解決圖像加密方法的上述問題，提供了一種基于變參數超混沌系統與S 形擴散的多圖像加密方法，如圖1 所示。首先借助Alpha 通道的概念，將輸入灰度圖像（原始圖像）進行重構，然后將其作為初始信息輸入SHA-512 算法生成初始密鑰，再利用變參數超混沌系統迭代生成的5 組混沌序列對明文圖像進行幻方變換，實現像素位置的變換，最后基于S 形擴散實現像素數值的變換，從而得到密文圖像。具體技術方案包括以下3 個步驟。

圖1 多圖像加密方法的設計框架

1）首先對輸入灰度圖像對進行圖像預處理，得到重構GA 圖像P，并將其像素序列作為初始信息輸入SHA-512 哈希函數生成初始密鑰流；

2）再將初始密鑰流作為初始值，輸入變參數超混沌系統迭代生成混沌序列X1、X2、X3、X4與X5，并基于混沌序列X1、X2、X3計算得到索引序列；再根據索引序列對重構GA 圖像P采用幻方變換進行置亂，得到置亂后的密文圖像C；

3）最后對密文圖像C進行順向S 形擴散得到順向擴散后矩陣，再對順向擴散后矩陣進行逆向S 形擴散，得到最終密文圖像T。

1.1 變參數超混沌系統

根據Fan 超混沌系統的定義[19]，其數學模型如式(1)所示，其典型特征是：當a=30、b=10、c=15.7、d=5、e=2.5、f=4.45、g=38.5 時，該混沌系統存在兩個正的Lyapunov 指數，即存在復雜的混沌行為。

式中，x1、x2、x3、x4、x5為系統變量；a、b、c、d、e、f、g為系統參數；x˙1、x˙2、x˙3、x˙4、x˙5為每次迭代產生的新系統變量（Lyapunov 指數）。

為了增強混沌系統的復雜性和隨機性，采用Logistic 混沌映射作為擾動系統，對Fan 超混沌系統的參數施加擾動來構造變參數混沌系統，以生成具有更高隨機性的混沌序列，Logistic 映射為非線性的迭代方程，如式(2)所示，其典型特征是：當滿足3.57<μ<4 時，Logistic 映射工作于混沌狀態，即為Logistic 混沌映射。

式中，y為系統變量；μ為系統參數；y˙為每次迭代產生的新系統變量。

引入參數擾動項后的變參數超混沌系統的數學模型如式(3)所示，根據混沌系統的定義，無論初始值如何變化，系統變量都會回到一個固定的吸引域，由于式(1)、(2)均為混沌系統方程，因此Lyapunov 指數的數值經過式(3)多次迭代后，只跟擾動強度λ 有關，與y、xi(i=1,2,···,5)的初始值無關，y、xi的初始值可取實數范圍內的任意值，最終穩定的Lyapunov 指數的數值只依賴于擾動強度λ。

式中，x1、x2、x3、x4、x5為系統變量；a、b、c、d、e、f、g為系統參數；x˙1、x˙2、x˙3、x˙4、x˙5為每次迭代產生的新系統變量；λ 為擾動強度參數；y為Logistic 混沌映射的系統參數。

為了確定擾動強度參數λ 的取值范圍，確保變參數超混沌系統始終處于混沌狀態，對變參數超混沌系統的Lyapunov 指數和系統相圖進行仿真分析，在系統參數a=30、b=10、c=15.7、d=5、e=2.5、f=4.45、g=38.5、μ=3.8 時，取y=1、xi=0.1 作為初始值，當變參數超混沌系統自身迭代300 次后，Lyapunov 指數的數值趨于穩定，將第301 次迭代產生的y、xi以及系統參數代入式(3)，得到了變參數超混沌系統（λ 在-5～4 之間變化）的Lyapunov指數變化曲線，如圖2 所示。當擾動強度參數λ 在-4.0～2.35 之間時，x1(λ)和x2(λ)始終大于零，即始終存在兩個正的Lyapunov 指數，使變參數超混沌系統保持混沌狀態。圖3 給出了擾動強度參數λ 為0 時，變參數超混沌系統的系統相圖，通過系統相圖能夠更直觀地表現出變參數超混沌系統的動力學行為。

圖2 變參數超混沌系統的Lyapunov 指數變化曲線

圖3 變參數超混沌系統的系統相圖

1.2 多圖像加密方法

多圖像加密方法的流程圖如圖4 所示，包括圖像預處理與密鑰生成、置亂階段和擴散階段3 個步驟。以下使用如圖5 所示的傳統圖像辣椒（灰度圖像P0）與狒狒（灰度圖像P1）為例進行說明，兩張圖像的像素大小均為512×512，記為M×N，M為圖像像素長度、N為圖像像素寬度。

圖4 多圖像加密方法的流程圖

圖5 原始圖像

1.2.1 圖像預處理及密鑰生成

1）引入Alpha 通道的概念，將灰度圖像P1作為Alpha 通道嵌入至灰度圖像P0，進而形成一幅具有不同透明度的Grayscale-Alpha(GA)圖像P；

2）將圖像P分解為灰度通道PG與Alpha 通道PA兩路數據矩陣（矩陣大小均為M×N），再將灰度通道PG與Alpha 通道PA轉換為一維矩陣，并拼接構成一維矩陣PC，將一維矩陣PC作為初始信息，輸入SHA-512 哈希函數，生成512 bit 的二進制哈希值，具體運算為：

式中，reshape( )表示將指定矩陣變換為特定行列數的矩陣。

3）將二進制的哈希值以每8 bit 為一位轉化為十進制，進而得到64 位十進制數據ci(i=1,2,···, 64)；

4）對64 位十進制數據進行異或運算得到加密方法所需要的初始密鑰流，具體運算為：

需要說明的是：式(5)中λ 的歸一化過程能夠保證其取值在-4.0～2.35 之間，進而保證變參數混沌系統保持混沌狀態。

1.2.2 置亂階段

1）根據初始密鑰流，應用四階龍格庫塔算法對變參數超混沌系統進行迭代，為避免暫態效應的影響，舍棄前500 組數據，從第501 個數據進行截取，最終得到5 組一維混沌序列X1、X2、X3、X4與X5，其中，每組混沌序列的長度均為M×N；

2）將混沌序列X1按行升序排列，得到置亂后矩陣I1與索引序列，具體運算為：

式中，sort( )表示排序函數；‘2’表示按行排序；ascend表示升序排列；

圖6 混沌序列置亂示意圖

圖7 幻方變換示意圖

式中，reshape( )表示將指定矩陣變換為特定行列數的矩陣。

1.2.3 擴散階段

1）將混沌序列X4與X5進行向下取整數運算，得到十進制整數的混沌序列，然后將十進制轉換為二進制的一維序列（長度均為M×8N）：

式中，dec2bin( )表示將十進制轉換為二進制；floor( )為向下取整函數。

2）將密文圖像C分解為灰度通道CG和Alpha通道CA兩路數據矩陣（矩陣大小均為M×N），先對灰度通道CG和Alpha 通道CA分別進行順向S形擴散，再進行十進制到二進制的轉換，得到二進制的一維矩陣（長度均為M×8N）；然后根據式(10)進行異或運算，得到二進制的一維矩陣B1與B2（長度均為M×8N），將二進制矩陣B1與B2轉換為十進制矩陣，并將一維變換為二維，得到順向擴散后矩陣（矩陣大小均為M×N）：

式中，mod( )表示取余運算；M、N為輸入灰度圖像的像素長度和像素寬度；bin2dec( )表示將二進制轉換為十進制。

順向S 形擴散的定義如圖8a 所示，具體運算為：

圖8 順向和逆向S 形擴散示意圖

式中，Sforward( )表示順向S形擴散運算；Q為原始矩陣；Q′為順向S形擴散結果。

逆向S 形擴散的定義如圖8b 所示，具體運算為：

式中，Sreverse( )表示逆向S形擴散運算；Q為原始矩陣；Q′′為逆向S形擴散結果。

1.3 多圖像解密方法

圖像解密方法使用與加密方法相同的密鑰，具體包括以下3 個步驟。

1）將密文圖像分解為兩通道十進制數據矩陣，即灰度通道J與Alpha 通道K（矩陣大小均為M×N），對J與K分別進行順向S 形擴散的逆操作，再進行十進制到二進制的轉換，得到二進制的一維矩陣J′與K′（長度均為M×8N）；根據式(16)進行異或運算，得到二進制的一維矩陣J1和K1（長度均為M×8N），將二進制矩陣J1和K1轉換為十進制矩陣，并將其變換為二維矩陣（矩陣大小均為M×N），具體運算如式(17)所示：

2 實驗結果與分析

2.1 加解密實驗結果

通過上述多圖像加解密方法，對如圖5 所示的傳統圖像辣椒與狒狒進行加解密實驗，得到的仿真圖如圖9 所示。由圖可見，密文圖像是完全無序的，無法分辨出原始圖像的任何有效信息。

圖9 原始圖像加解密實驗的結果展示圖

2.2 算法的性能分析

為了驗證多圖像加密方法的安全性能，圖10給出了加解密前后的直方圖；由圖可見，圖像辣椒與圖像狒狒的密文圖像直方圖均近似均勻分布，攻擊者很難從中獲取有效信息。

圖10 灰度通道和Alpha 通道的明文和密文直方圖

此外，為了更加直觀地說明多圖像加密方法打破相鄰像素相關性的能力，圖11 給出了加密前后灰度通道與Alpha 通道的像素相關性分布圖。由圖可見，加密后的相關性分布遍布整個區域，有效地破壞了明文圖像的像素相關性分布。

圖11 灰度通道和Alpha 通道的明文和密文相鄰像素相關性對比圖

信息熵用于表征一個數字圖像像素的分布情況，信息熵越接近理想值8，像素分布越隨機。為驗證加密算法擾亂明文圖像像素分布的能力，對辣椒和狒狒加密前后圖像進行信息熵分析。表1 給出了經加密算法加密后，明文圖像與密文圖像的信息熵?？梢钥闯?，密文圖像的信息熵接近理想值8，這證明設計的加密算法可以更加有效地打亂明文像素分布。

表1 信息熵分析表

加密算法的抗差分攻擊能力主要體現在對同一明文圖像任一像素點施加微小改變，密文圖像隨之產生相應變化的能力。本文將明文圖像某一像素點的像素值減1，然后通過計算NPCR 和UACI，對抗差分攻擊能力進行評估，結果如表2 所示?？梢钥闯?，加密算法的NPCR 和UACI 接近理想值99.609 4%和33.463 5%，說明設計的加密算法對明文的微小變化具有更高的敏感性，可以更加有效地抵御差分攻擊。

表2 抗差分攻擊能力分析表 %

當圖像進行網絡傳輸時，可能會引入各種噪聲干擾，導致密文圖像某些像素點的像素值發生改變，進而影響到原始圖像有效信息的恢復。本文對辣椒和狒狒加密后的密文圖像分別加入5%、10%和20%的椒鹽噪聲，以此驗證加密算法的抗噪聲能力。圖12 為辣椒和狒狒引入椒鹽噪聲后的密文圖像以及運用解密算法解密后的圖像?？梢钥闯?，引入不同程度的椒鹽噪聲后，解密圖像雖然受到一定程度的損壞，但是依舊可以分辨出大部分有效信息，因此所提加密算法具有良好的抗噪聲能力。

圖12 算法性能對比：抗噪聲分析

為驗證加密算法的抗剪切能力，本文將辣椒和狒狒加密后的密文圖像，在不同位置剪切不同像素大小的信息，然后再對其進行解密，剪切后的密文圖像以及相應的解密圖像如圖13 所示。從圖中可以看出，密文圖像受到人為剪切后，加密算法仍然可以恢復出原始圖像的主要信息，具備良好的抗剪切能力。

圖13 算法性能對比：抗剪切分析

3 結 束 語

基于變參數超混沌系統的多圖像加密方法，主要由4 個部分構成：變參數超混沌系統構建、圖像預處理與密鑰生成、幻方變換置亂和S 形擴散。首先借助Alpha 通道的概念，將輸入灰度圖像對進行重構，然后將重構圖像作為初始信息輸入SHA-512算法生成初始密鑰，再將其輸入變參數超混沌系統迭代生成5 組混沌序列，進而對重構圖像進行幻方變換，實現像素位置的變換，最后基于S 形擴散實現像素數值的變化，從而得到密文圖像。

與傳統圖像加密方法相比，基于變參數超混沌系統的多圖像加密方法，具有如下優點：

1）將混沌系統的參數作為加密過程中的控制變量之一，運用另一個混沌系統的狀態變量對其施加一定的擾動，以構造變參數超混沌系統，同時確保該混沌系統依舊處于混沌狀態，生成具有更高復雜度和隨機性的偽隨機序列，有效地改善了傳統混沌系統的低隨機性、低復雜度以及混沌系統退化等缺陷；

2）采用幻方變換的置亂方法，最大程度地對圖像像素進行位置上的置亂，并創造性地提出S 形擴散方法，提高了密文圖像的無序性，打破了像素相關性分布，具有更優越的加密性能表現，難以被暴力破譯；

3）采用SHA-512 算法，結合明文圖像生成初始密鑰，保證一幅圖像僅僅對應一種密鑰流，有效地提高了加密算法抵抗明文攻擊的能力；

4）本文設計的加密算法可以有效地打亂明文像素分布、有效地抵御差分攻擊，具有良好的抗噪聲能力和具備良好的抗剪切能力。