橢圓最值或范圍問題的求解技巧

耿瑞照

(山東淄博淄川般陽中學)

橢圓是圓錐曲線的重要組成部分,新課標對橢圓的要求是“掌握”,比對雙曲線、拋物線要求的“了解”層級要高.從高考的角度來說,以橢圓為背景的題目在各個題型中都可能出現.下面針對橢圓問題中的一個難點——最值、范圍問題重點突破,希望這些常見的解題方法對老師們、同學們的備考有所啟示.

1.利用三角換元求最值

【例題1】設實數x,y滿足x2+4y2=4,則x+y的最大值為________.

2.利用數形結合求最值

3.利用函數思想求最值

(Ⅰ)求點P的坐標;

(Ⅱ)設M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.

【分析】解決兩點距離的最值問題的方法通常是給它們建立一種函數關系,然后利用函數的最值進行求解.

4.利用構造法求范圍

【分析】點M的軌跡實際上就是以線段F1F2為直徑的圓,因此不妨構造這個圓,再利用該圓在橢圓內求解,即利用b和c的大小關系求解.

5.利用方程思想求范圍

【分析】聯立橢圓與直線方程,得到一個一元二次方程,然后利用方程思想求解即可.

(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

由題意可知,Δ=4a2b2(a2+b2-1)>0,

則a2+b2>1.

設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

∴2x1x2-(x1+x2)+1=0,

6.利用基本不等式求范圍

( )

【答案】C

【分析】若涉及橢圓上關于原點對稱的兩點,通常要把兩點與橢圓的兩個焦點順次連接,然后可借助余弦定理和基本不等式求解.

【解析】設F,F′為橢圓的左焦點與右焦點.順次連接A,F,B,F′.由橢圓及直線的對稱性可知四邊形AFBF′為平行四邊形.∵∠AFB=120°,∴∠FAF′=60°.