函數(shù)性質(zhì)問題的等價轉(zhuǎn)化突破口

史記祥 余繼光

(1.江蘇省姜堰第二中學;2.浙江省柯橋中學)

從“函數(shù)綜合性質(zhì)研究關鍵能力是什么”開始,通過具體微觀案例分析,指明轉(zhuǎn)化點與類型,進行痛點分析,微觀研究最貼近學生的數(shù)學思維認知發(fā)展區(qū),不僅告訴學生函數(shù)綜合性質(zhì)研究的思維過程“是什么”,而且告訴他們“為什么”這樣思考,給學生函數(shù)學習送去思維干貨,提升學生破解函數(shù)綜合性質(zhì)研究的能力.

在研究超越函數(shù)所具有的性質(zhì)時,除了數(shù)形結合分析討論外,一般離不開導數(shù)工具,即利用導數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì).對于函數(shù)與導數(shù)綜合題,有人把此類問題的難點歸結為導數(shù)難,實際上是函數(shù)性質(zhì)綜合性強、結構復雜而導致突破難,其中難點(痛點)就是函數(shù)性質(zhì)的邏輯轉(zhuǎn)化,導數(shù)是助力函數(shù)研究的運算工具,通過微觀研究積累經(jīng)驗是一條智慧之路.

1.函數(shù)性質(zhì)問題等價轉(zhuǎn)化關鍵能力

等價轉(zhuǎn)化涉及到對給定函數(shù)信息的識別,需要準確采集到重要的關鍵點,最關鍵的是對給定的信息進行結構判斷,以及對問題的綜合狀態(tài)進行分解轉(zhuǎn)化,一旦在信息識別環(huán)節(jié)、結構判斷環(huán)節(jié)和分解轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)出現(xiàn)數(shù)學思維故障,求解就可能中止并且產(chǎn)生數(shù)學思維痛點.

1.1 信息采集

信息識別意識與采集能力要求學生會根據(jù)問題給定的情境,合理地組織、調(diào)動各種相關知識與能力,完成關鍵信息獲取活動,系統(tǒng)化、多層面、多角度地對新信息的進行加工處理,準確把握新信息的實質(zhì),把握新舊信息的聯(lián)系,形成對新信息的準確判斷、分析與評價.

1.2 結構判斷

任何數(shù)學問題都有結構,如代數(shù)結構、圖形結構、三角結構等.結構判斷能力要求學生對問題情境中的關鍵信息的結構特點進行仔細分析,抓住信息結構的關聯(lián)性,把握信息結構的特點,進行有序的邏輯推理,從結構上判斷函數(shù)綜合問題的數(shù)學模型或類型.

1.3 轉(zhuǎn)化分解

函數(shù)綜合問題內(nèi)在一定存在邏輯,根據(jù)結構判斷結果進行分解轉(zhuǎn)化,將知識與知識之間的關系理解透徹,常規(guī)的分解轉(zhuǎn)化要熟練,創(chuàng)新的分解轉(zhuǎn)化要積累經(jīng)驗.

對于函數(shù)綜合問題,以上三點相互關聯(lián),缺一不可,要通過積累與訓練加以掌握.

2.例談函數(shù)性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化關鍵能力之策

微觀研究函數(shù)綜合問題,必須通過實例剖析來豐富關鍵能力的積累,問題求解產(chǎn)生痛點的根本原因在于沒有掌握函數(shù)綜合問題信息采集、結構判斷、分解轉(zhuǎn)化能力,通過數(shù)學輔導發(fā)現(xiàn)學生思維痛點,以學生思維痛點為案例分析把握各轉(zhuǎn)化點的內(nèi)在聯(lián)系,豐富學生的函數(shù)性質(zhì)研究的思維鏈接.

2.1 函數(shù)單調(diào)性、極值與導數(shù)(方程)轉(zhuǎn)化

【例題1】已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-ln(x+1).

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,求實數(shù)a的取值范圍.

(第一個轉(zhuǎn)化點:單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為一階導數(shù)小于或等于0恒成立)

(第二個轉(zhuǎn)化點:恒成立轉(zhuǎn)化為變參分離后,求函數(shù)的最值)

故a+2≤3,a≤1.

(第三個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)存在極大值與極小值轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應的方程有兩個不相等的實根)

函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,故f′(x)=0在(-1,+∞)上有兩個不相等的實根,

即-2x2+(a-2)x+a-1=0在(-1,+∞)上有兩個不相等的實根.

(第四個轉(zhuǎn)化點:二次方程有兩個不相等的實根轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布充要條件)

由二次方程根的分布的充要條件,

【痛點剖析】(1)通過課堂學習,第一個轉(zhuǎn)化點一般都能通過;第二個轉(zhuǎn)化點有些技術與技巧,許多學生知道變參分離,但不會在結構上去分析,尋找變參分離的最優(yōu)化;

(2)第三個轉(zhuǎn)化點是對導函數(shù)對應的方程的轉(zhuǎn)化,抬高了一個層次,有些學生可能想不到;

(3)第四個轉(zhuǎn)化點對二次方程根的分布類型掌握不全或缺少完整性,導致列充要條件時,缺少某一個而失誤,這是一個看似簡單但錯誤率比較高的轉(zhuǎn)化點.

2.2 函數(shù)不等式、存在性與導數(shù)轉(zhuǎn)化

【例題2】已知函數(shù)f(x)=x+sinx,若存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,則實數(shù)m的最小值為

( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】A

【解析】存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,

(第一個轉(zhuǎn)化點:利用導數(shù)判斷單調(diào)性,即去掉抽象函數(shù)f的“外衣”)

f(x)=x+sinx,f′(x)=1+cosx≥0,f(x)在R上為增函數(shù),

所以存在x∈[0,π],使不等式xsinx≤m-cosx成立,

即存在x∈[0,π],使不等式xsinx-m+cosx≤0成立,

(第二個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)存在性轉(zhuǎn)化為值域,這是關鍵的一個等價轉(zhuǎn)化)

即(xsinx+cosx-m)min≤0,

令g(x)=xsinx+cosx-m,即求g(x)的最小值.

(第三個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)最值轉(zhuǎn)化利用導數(shù)工具分析函數(shù)單調(diào)性)

(第四個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)最小值轉(zhuǎn)化判斷區(qū)間端點函數(shù)值大小)

g(x)min=min{g(0),g(π)}=min{1-m,-1-m}=-1-m≤0,

m≥-1,故選A.

【痛點剖析】(1)第一個轉(zhuǎn)化點就有許多學生過不了關,剝?nèi)秃虾瘮?shù)最外層,要通過外層函數(shù)單調(diào)性來實施,這是對單調(diào)性定義的三種形式的理解,許多學生只會背單調(diào)性定義的基本形式,另兩種表現(xiàn)形式想不到或不會用;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點也有少數(shù)學生不知,對于“恒成立問題” “存在性問題”的區(qū)別不知道;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點是函數(shù)最值的基本思路;

(4)第四個轉(zhuǎn)化點是對函數(shù)整體的把握,最小值點發(fā)生在區(qū)間端點處,許多學生在這幾個轉(zhuǎn)化點鏈接處思維受阻.

2.3 函數(shù)與方程性質(zhì)利用數(shù)與形轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)若b=1,且f(x)是減函數(shù),求a的取值范圍;

圖1

(第三個轉(zhuǎn)化點:二次方程有兩解轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的充要條件)

(第五個轉(zhuǎn)化點:如圖2,兩個不同交點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關系)

圖2

【痛點剖析】(1)此問題沒有用到導數(shù),但是一道函數(shù)綜合問題的難題,難在分段函數(shù)、絕對值函數(shù)與雙參形式上.第一個轉(zhuǎn)化點非常重要,對于一個分段函數(shù)的單調(diào)性,其充要條件要滿足子區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與分段點處函數(shù)值的大小關系;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點是復雜方程三個解的綜合分解,許多學生過不了這一關;

(3)對于參數(shù)范圍的分類討論也是一個痛點,第三個和第四個轉(zhuǎn)化點是二次方程根的分布,第五個轉(zhuǎn)化點從形上尋找充要條件更是學生的思維痛點.

2.4 函數(shù)性質(zhì)利用補集思想轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;

【解析】(Ⅰ)(第一個轉(zhuǎn)化點:f(x)在(1,+∞)上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)思考,然后求參數(shù)補集)

所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)時,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,0]∪[1,+∞),

因此f(x)在(1,+∞)上不單調(diào),實數(shù)a的取值范圍是(0,1).

(Ⅱ)(第二個轉(zhuǎn)化點:證明函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)單調(diào)性)

因為x>1,所以F′(x)<0,即F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

(第三個轉(zhuǎn)化點:由函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關系)

【痛點剖析】(1)“不單調(diào)”信息提示,第一個轉(zhuǎn)化點就非常重要,補集思想的運用,許多學生想不到;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點是常規(guī),證明函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的研究;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點與函數(shù)單調(diào)性相匹配.

2.5 恒成立轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)最值

【例題5】已知f(x)=x2-4x+alnx.

(Ⅰ)a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x10恒成立,試求m的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)a=-1,f(x)=x2-4x-lnx,x>0.

(第一個轉(zhuǎn)化點:求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的導數(shù))

(第二個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x1

所以g(x)單調(diào)遞減,g(x)>g(1)=-3,

【痛點剖析】(1)第一個轉(zhuǎn)化點是常規(guī)的,起點比較低,大多數(shù)學生都能通過;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點也是常規(guī)的,函數(shù)有兩個極值點到二次方程有兩解,導數(shù)只是一個工具;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點雖是常規(guī),但有數(shù)據(jù)處理技巧,為后續(xù)運算簡化打下基礎.

2.6 函數(shù)結構變形求最值

(第一個轉(zhuǎn)化點:求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的導數(shù))

(Ⅱ)(第二個轉(zhuǎn)化點:x1,x2(x2

(第三個轉(zhuǎn)化點:兩元函數(shù)結構轉(zhuǎn)化為一元函數(shù))

(第四個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為導函數(shù)性質(zhì)分析)

【痛點剖析】(1)第一個轉(zhuǎn)化點已經(jīng)是學生比較熟練的,可以通過了,如果再錯,就是基礎太弱了;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點是近期考試熱點類型,上面有幾題也類似;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點是關鍵,具有兩元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的意識與能力是非常重要的.

3.突破“等價轉(zhuǎn)化”關鍵能力的思維鏈

總體上,學生經(jīng)過教師的指導已經(jīng)知道許多等價轉(zhuǎn)化的方向,但是在問題求解中還是處處思維受阻,其根本原因在于缺少數(shù)學思維鏈接,從信息A到信息B的刺激力不夠.

函數(shù)性質(zhì)學習要從獨立的知識點轉(zhuǎn)向思維鏈接點,訓練自己的發(fā)散性思維能力.