核心素養導向下的解析幾何中坐標法的再理解
——由2023年高考解析幾何綜合題引發的思考

王長友 韓佳琦 郭 菁

(北京市密云區第二中學)

2023年高考數學試題已經揭曉,在解析幾何綜合問題的考查中多套試卷不約而同的出現了“確定性的一般規律”的研究,看似偶然實則是考查學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等基本數學素養,是在考查學生真實問題情境中應用所學知識與思想方法解決真實問題的核心素養落地的體現.眾所周知,坐標法是解決解析幾何的根本方法和靈魂,本文結合2023年幾個高考解析幾何綜合題的分析與思考,希望教師在具體教學中提升在核心素養導向下的坐標法的理解.

一、高考真題重現與思考

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設P為第一象限內橢圓E上一動點,直線PD與直線BC交于點M,直線PA與直線y=-2交于點N,求證:MN∥CD.

【分析】第二問依舊延續北京高考題題干簡潔、位置關系清晰的風格,重點考查學生的坐標法解決解析幾何綜合問題的素養,考查學生的邏輯推理、數學運算素養等基本數學素養.

(Ⅱ)解法一：設P(x0,y0),易知(0

由A,P,N三點共線得kAP=kAN,

又因為P,D,M三點共線,得kPD=kMD,

又因為由A,P,N三點共線得kAP=kAN,

對此問題有如下幾個思考:

【思考一】若將求證結論改為證明:直線MN的斜率為定值.顯然問題本質不變,但是對學生來說,實際難度會加大.

【思考二】若將問題改為設P為第一象限內橢圓E上一動點,直線PA與直線y=-2交于點N,過點N作與CD平行的直線MN與直線BC交于點M,求證:P,D,M三點共線.

聯立消去y并整理得(4+9k2)x2+36kx=0,

所以kPD=kMD,亦即P,D,M三點共線.

【思考三】設P為第一象限內橢圓E上一動點,直線AP與直線CD交于點M,直線BP與直線x=3交于點N,求證:MN∥BC.

解題思路分析:此問題與原問題本質是姊妹題,解決問題只需要將原問題的對應關系相應改變即可得證,不再贅述.

【思考四】回顧此問題解題過程,可以發現當動點P在其他象限時,結論不變.因此追加思考此問題的幾何本質應該是什么?

由射影幾何帕斯卡定理:橢圓E上有六個點A,B,Q,C,D,P,直線BQ與直線DP交于點M,直線AP與直線CQ交于點N,直線AB與直線CD交于點R,則M,N,R三點共線.反觀北京此道高考題就是將上述情形進行了特殊化和具體化而得來.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)過點G(-2,3)的直線l交C于點P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

(Ⅱ)解法一：對于第二問常規解法具體過程不再贅述,只探討如何便捷找出定點.若直線l與橢圓相切于上頂點時,此時P,Q與上頂點重合,此時直線AP,AQ與y軸的交點M,N重合為上頂點,顯然可以大膽預測線段MN的中點即為(0,3),下面只需證明即可.

解法二：換個思路可得如下解法.

設直線AP的方程為y=m(x+2),直線AQ的方程為y=n(x+2),易知m,n存在且m≠n.設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN).

令x=0,則得yM=2m,yN=2n.

又因為G,P,Q三點共線,即kGP=kGQ,

將x1,y1,x2,y2代入得

進一步化簡,并整理得(2m-3)2=(2n-3)2.

因為m≠n,所以2m-3=3-2n,

對這個問題進行重新梳理,有如下反思:

【思考一】上述問題條件不變,可以變為證明:直線AP,AQ的斜率之和為定值.

簡要分析解題思路,結合解法一的常規思路可以通過計算kAP+kAQ得證;回顧解法二就可以發現kAP+kAQ=3.

【思考二】若改變問題形式為過點A(-2,0)分別作兩條直線AP,AQ且滿足直線AP,AQ的斜率之和為定值3,證明直線PQ過定點.

易知m-2k=0,直線PQ過點A(-2,0)顯然不成立,因此得到m-2k-3=0,即直線PQ的方程為y=kx+2k+3=k(x+2)+3,顯而易見過定點(-2,3).

【思考三】進一步思考過橢圓(或雙曲線、拋物線)上一個定點分別作兩條斜率之和為定值或斜率之積為定值的兩條直線與橢圓(或雙曲線、拋物線)相交,兩個交點所形成的直線有什么特征?

【性質2】設拋物線的方程為y2=2px(p>0),點P(x0,y0)(y0≠0)是拋物線上的定點,PM,PN是該曲線的兩條不同的弦,其所在直線的斜率分別為k1,k2,則:

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線l與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P.證明:點P在定直線上.

(Ⅱ)對于第二問的解答不做過多贅述,只說明如何確定結論即可.

結合上述三個2023年高考試題,可以發現在解析幾何綜合問題中,雖然情境問題千變萬化,但是基本考查的特點為依托不同的圓錐曲線背景,以點、直線與圓錐曲線的位置關系考查為出發點,重點落實坐標法解決解析幾何問題的應用,突出直觀想象、邏輯推理、數學運算等基本數學素養的落地.高度契合了高考的“核心價值金線” “能力素養銀線” “情境載體串聯線”的“一核四層四翼”的要求.

二、解析幾何教學再思考

教師要做一名研究型的智慧教師,一方面教師認真研究高考真題,這不是要以“考試為中心”的追隨高考指揮棒效應,更重要的是要切實理解高考命題“一核四層四翼”的含義,把握數學教育的形勢要求;另一方面教師要研究學生,抓住學生的痛點,準確把握學情,做到教學有的放矢.因此,教學中要切實提升對核心素養導向下的坐標法的理解.

1.依托單元教學策略整體把握教學

教師要加強學習與認真研讀新課標,明確課標要求.深入思考解析幾何教學,教師要明確“解析幾何是什么和解析幾何如何做”這兩個基本問題.新課標明確指出,解析幾何的本質是“研究對象是幾何圖形,研究方法主要是代數方法”;解析幾何的學業要求是“根據具體問題情境的特點,建立平面直角坐標系;根據幾何問題和圖形的特點,用代數語言把幾何問題轉化為代數問題;根據對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運用代數方法得到結論”.這就是解析幾何的核心標準,教師在教學中要把要求轉化為具體的實踐過程.即

單元教學將教學目標集中地把握與單元整體結構的有機整合,創建一種有利于學生學科思維發展和學科能力的提升的教學設計策略,充分體現學科的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性,切實防止碎片化教學;從學生的發展角度體現學生發展與認知的基本規律、學習是學生主動建構的過程、是培育和落實育人的過程.具體到解析幾何教學,主要體現在整體把握點、直線、曲線的研究方法與研究內容的一致性,整體從坐標法的研究路徑認識解析幾何,整體從發展學生數學素養的角度去關注教學過程性的層次性、差異性.

2.把握運動變化和數形結合兩個關鍵過程的分析

解析幾何綜合問題體現了研究對象要素關系的復雜性、解決方法的綜合性等特點,教學中教師要宏觀引導學生明確研究本質,把握運動變化和數形結合分析問題、解決問題的關鍵過程.從運動變化過程分析,可以明確解析幾何是在研究點、直線、圓、圓錐曲線等基本研究對象在運動變化過程中呈現的“變與不變”的規律,抓住運動過程分析,就可以抓住各要素間的聯系,進而轉化為代數關系研究.從數形結合過程分析,著重關注文字語言、圖形語言、符號語言的基本轉化,將數學問題直觀展現,有利于學生對問題的深入理解;在此過程中,引導學生分析幾何性質優化建立代數關系是重要的目的.把握這樣兩個過程,會使學生明白解析幾何的問題發展過程,將復雜抽象問題條理化、具體化.

3.抓實直觀想象、邏輯推理與數學運算三個素養的發展

解析幾何的學習重點發展學生的直觀想象、邏輯推理與數學運算三個基本素養,三個素養有差異更有聯系,是解決解析幾何問題的有機整體.

直觀想象是發現問題的基礎也是解決問題的靈感和入手點,特別是在求解“確定性規律問題”時要強化直觀感知,結合前面的實例中的猜想過程,教師在教學中要引導學生在具體問題中主動采用特殊位置、特殊情形、極限位置等對論證結論尋找方向,從而實現避免盲目使用復雜代數運算處理,體現在解決數學問題中“先猜后證”的探究一般性數學規律的思維過程.

邏輯推理素養是解決問題的核心,是問題不斷深化與解決的指南,是指導學生有效通過代數運算解決問題的根基.應用價值體現在:一是在具體問題中要指導學生關注解析幾何中運動變化的基本量之間的約束關系與聯系,有效選擇參數與合理選擇代數關系進行問題刻畫,實現問題思路清晰、路徑具體;二是在邏輯推理的基礎上分析、選擇良好的幾何性質實現代數關系的簡潔,同時更要關注的代數關系運算處理的難易程度.只有在邏輯推理的基礎上才能準確把握方法的合理性和運算的易于操作性.

運算素養是問題展開與完整解決的落腳點,是展現學生意志品質的載體.在教學中要有層次、有目的、有設計的分解運算難點和差異化的要求學生.特別是運算素養的有效落地是關鍵,因而教師必須提升對運算素養的重視與理解.在教學中,教師要通過典型問題指導學生建立整體的算法觀,注意運算法則的準確理解、重視運算規律與特點的發現、養成明晰運算對象、預判運算方向、及時化簡整理、有效應用運算策略的習慣,只有教師有目的的指導,學生才能夠提升運算能力形成素養.

4.重視變式教學提高效率

解析幾何綜合問題題目的本質是體現坐標法的應用,教師在課堂教學中可以實施“突出變化為手段,關注本質為核心”的變式教學,從而提升教學效率和激發學生的內驅力,實現教學相長的效果.

回顧前面問題的再思考過程,可以得到以下的變式教學的入手點.一是突出研究對象變化關注共性與聯系,解析幾何的基本研究對象是點、直線、曲線,重點是研究對象間的關系.教師要擅于在圓、橢圓、雙曲線、拋物線的四種基本曲線中“隨時切換”,用相同的背景問題在不同的曲線中展現發散學生思維,引導學生從數學的眼光去發現圓錐曲線中的相似性質就顯得水到渠成,讓學生體驗到坐標法的魅力.二是突出命題形式變化關注邏輯規律,解析幾何綜合問題存在大量相關性問題,此類問題體現了基本的數學邏輯變化,因此教學中從改變已有常見命題的基本形式入手,可以重點探究原命題的逆命題,這會激發學生的研究興趣,發現“創新結論”;三是突出數學運算的功能關注數學研究根基,運算既是數學技能,更是在解析幾何乃至數學的發展過程中發現數學問題與數學規律的重要思想方法,因此主動引導學生在研究問題中關注“加減乘除”的基本運算關系,實現對問題的“突變”,通過此類變式會產生大量的“奇怪問題”,既有學生高中可以解決的,更會有不能解決的,但是學生對解析幾何的理解會更深入.

變式教學要求教師首先勤于思考、善于思考,然后在教學中引領學生主動思考,就會激發學生的創造性.變式教學的核心是實現引導學生學會嘗試“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界”的數學教育價值,同時學生也能體會到數學的邏輯美、奇異美.