洞悉趨勢(shì) 融聚未來(lái)
——2023年創(chuàng)新仿真題多維分析選登(二)

鄭祖宏 韋敏妍

(1.黑龍江省虎林市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué);2.廣西河池市民族高級(jí)中學(xué))

1.《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有女子善織,日增等尺,四日織24尺,且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為?譯為:現(xiàn)有一善于織布的女子,從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布,前4天織了24尺布,且第7天所織尺數(shù)為前兩天所織尺數(shù)的積.問(wèn)第10天織布為

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A.17 B.19 C.21 D.25

【答案】C

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式+數(shù)學(xué)文化

【高考風(fēng)向】本題是數(shù)學(xué)文化題,是近幾年高考的一種重要題型,意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和閱讀能力,同時(shí)加強(qiáng)對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的欣賞,達(dá)到立德樹(shù)人的教育目標(biāo).

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【答案】D

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

【高考風(fēng)向】本題以質(zhì)量檢驗(yàn)為情境,考查概率計(jì)算,意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,是近幾年高考的一個(gè)重要題型.

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【答案】A

【考點(diǎn)】三棱錐的體積+三棱錐的外接球+基本不等式

【易錯(cuò)警示】應(yīng)用基本不等式求最值,需滿足“一正,二定,三相等”.為了滿足“二定”,常采用湊項(xiàng)法,忽視定值問(wèn)題,將導(dǎo)致錯(cuò)誤.

4.已知圓C關(guān)于直線y=2x對(duì)稱,且過(guò)點(diǎn)B(3,1),則圓的一般方程為.(答案不唯一,寫出滿足條件的一個(gè)方程即可)

【答案】x2+y2-2x-4y=0(答案不唯一)

【考點(diǎn)】圓的方程

【高考風(fēng)向】填空題設(shè)置開(kāi)放性試題,試題答案較靈活,意在培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線l與C交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E,A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,直線DB與y軸交于點(diǎn)F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:|OE|·|OF|為定值.

【考點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)+直線與橢圓的位置關(guān)系

【思維導(dǎo)圖】(Ⅰ)已知條件→列關(guān)于a,c的方程→求出a,c→b2→可得C的方程.

所以b2=a2-c2=1,

(Ⅱ)證明:由題知直線l的斜率存在,故設(shè)直線l的方程為y=kx+m,m≠0.

消y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,

即4k2-m2+1>0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則D(-x1,y1),

且y2=kx2+m,y1=kx1+m.

令x=0,

【解題關(guān)鍵】將|OE|,|OF|分別轉(zhuǎn)化為直線l和直線DB與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,是解決本題的關(guān)鍵.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+alnx(a∈R).

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義+利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)

【思維導(dǎo)圖】(Ⅰ)求導(dǎo)→切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)→切線的方程.

【全能解析】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+lnx,x∈(0,+∞),

所以f′(1)=3,f(1)=1,

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,最多只有一個(gè)零點(diǎn),不滿足條件,舍去;

當(dāng)x→0+時(shí),f(x)→+∞.

因?yàn)閘nx≤x-1,所以ln(-a)≤-a-1(方法:不等式放縮法),

所以f(-a)=a2+aln(-a)≥a2+a(-a-1)=-a>0.

綜上,當(dāng)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為(-∞,-2e).

【方法技巧】判斷函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題,首先需要研究函數(shù)的最值,并解出關(guān)于最值的不等式,其次要確定兩個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間.

【全能解析負(fù)責(zé)教師:鄭祖宏 黑龍江省虎林市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)】

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A.n>m>tB.m>n>t

C.m>t>nD.n>t>m

【答案】C

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

∴h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

∴h(x)

∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

∴f(2)>f(e)>f(3),∴m>t>n,故選C.

2.如圖,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD為矩形,點(diǎn)E,F,G分別是棱CC1,CB,CD的中點(diǎn),P為AD1上的定點(diǎn)(不含端點(diǎn)),K為DD1上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)是否存在點(diǎn)K,使得PK∥平面EFG;

(Ⅱ)若直四棱柱中所有棱長(zhǎng)均為1,求三棱錐A1-EFG的體積.

【考點(diǎn)】空間中直線與平面間的位置關(guān)系+三棱錐的體積

【思維導(dǎo)圖】(Ⅰ)易得點(diǎn)K與點(diǎn)D1重合時(shí),PK∥平面EFG.

(Ⅱ)連接A1C,B1C,

解：(Ⅰ)當(dāng)K與D1重合時(shí),PK∥平面EFG.

理由如下:如圖,連接BC1,易知PK∥BC1.

又點(diǎn)E,F分別為CC1,BC的中點(diǎn),

所以BC1∥EF,所以PK∥EF.

又EF?平面EFG,PK?平面EFG,

所以PK∥平面EFG.

由題可知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正方體,連接A1C,B1C,BC1,則B1C⊥BC1.

又EF∥BC1,所以EF⊥B1C.

易知A1B1⊥平面BCC1B1,

又EF?平面BCC1B1,

所以A1B1⊥EF.

又A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,EF?平面A1B1C,

所以EF⊥平面A1B1C.

又A1C?平面A1B1C,

所以EF⊥A1C,同理可得FG⊥A1C.

因?yàn)镋F∩FG=F,

且EF?平面EFG,FG?平面EFG,

設(shè)點(diǎn)C到平面EFG的距離為h,

因?yàn)閂C-EFG=VE-CFG,