追求自然解法 讓更多學(xué)生懂?dāng)?shù)學(xué)
——以兩個(gè)導(dǎo)數(shù)解答題為例

賈士偉

(貴州省凱里市第一中學(xué),貴州 凱里 556000)

近幾日,看到某數(shù)學(xué)中等學(xué)生的筆記本上記載了“泰勒展開式”“帕德逼近”等,也曾目睹某優(yōu)秀學(xué)生花了大量時(shí)間啃讀一本關(guān)于導(dǎo)數(shù)的各種“解題大招”的教輔書,但高考也未見該生考出理想成績(jī).亂套二級(jí)結(jié)論、亂用秒殺大招,危害極大,也違背數(shù)學(xué)教學(xué)的初衷.還有很多名校教師通過微信公眾號(hào)、QQ群等分析試題,尋求題目的自然合理解法,讓數(shù)學(xué)解題回歸到正路上來(lái).

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一重要內(nèi)容,通常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類試卷中,特別是導(dǎo)數(shù)解答題,很多同學(xué)望而卻步,因?yàn)閷?dǎo)數(shù)解答題題型方法多樣[1].筆者看來(lái),導(dǎo)數(shù)的作用基本上體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是解決曲線切線問題,二是研究函數(shù)的單調(diào)性.無(wú)論是哪一種題型,用到的解題方法都是高一學(xué)的函數(shù)思想,利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)解決方程、不等式問題,導(dǎo)數(shù)在其中的唯一作用是充當(dāng)工具——判斷函數(shù)的單調(diào)性[2].下面舉例說明:

思維過程顯然0不是函數(shù)g(x)的零點(diǎn),零點(diǎn)問題優(yōu)先分離,避免煩瑣的討論[3].

由g(x)=0,得

①

(只需要作出函數(shù)h(x)圖象的示意圖即可,作函數(shù)圖象的第一步就是研究函數(shù)的單調(diào)性,而導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性的有力工具.)

則p′(x)=x2(ex+1)≥0.

(二次求導(dǎo)的目的是為了研究函數(shù)p(x)的單調(diào)性.)

所以p(x)在R上單調(diào)遞增.

所以存在x0∈(-2,-1)使得p(x0)=0.

(利用零點(diǎn)存在性定理,研究p(x)與x軸相交的大致位置.)

當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),p(x0)<0,h′(x)>0;

當(dāng)x∈(x0,0)時(shí),p(x0)>0,h′(x)<0;

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),p(x0)>0,h′(x)>0.

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),

h(x)≤h(x0)

(無(wú)法得出x0的具體值,但充分利用x0滿足的等量關(guān)系,x0即為隱零點(diǎn))

(有了單調(diào)性和一些特殊函數(shù)值,就可以得出函數(shù)h(x)的示意圖)

作出函數(shù)h(x)的示意圖(如圖1),可知方程①僅有一個(gè)解.

圖1 函數(shù)h(x)的示意圖

思維過程抓住零點(diǎn)這一條件,建立等量關(guān)系.

由題aex1-bx1=aex2-bx2,

(要證的式子未知量太多,需要將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題,最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,用分析法進(jìn)行轉(zhuǎn)化)

(視x1-x2為整體,三元變二元)

(二元變量問題最基本的想法就是固定變量,先視a為變量,求左邊的最小值)

(把上面的二元變量變?yōu)橐辉兞苛?

(先化簡(jiǎn)再證明,化簡(jiǎn)原則:指冪分離,求導(dǎo)簡(jiǎn)單;合理?yè)Q元,構(gòu)造的函數(shù)盡可能簡(jiǎn)單[5])

②

所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)>g(0)=0,②式得證.

練習(xí)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2(a>0),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)有唯一零點(diǎn)x0,證明:e-2

通過高中數(shù)學(xué)的教育教學(xué),應(yīng)當(dāng)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想;使學(xué)生表達(dá)清晰,思考有條理;使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界.花大量時(shí)間死記二級(jí)結(jié)論、解題時(shí)不加思考亂套二級(jí)結(jié)論、偏離學(xué)習(xí)主題、用高等數(shù)學(xué)知識(shí)“秒殺”初等數(shù)學(xué)試題,這些行為對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維毫無(wú)用處.

從近幾年教育部考試中心的高考試題評(píng)析中可以知道:現(xiàn)在的高考試題改變了相對(duì)固有的試題形式,增強(qiáng)了試題的開放性,減少死記硬背和“機(jī)械刷題”.“以考促改”,高考的變革促使教師的解題教學(xué)回到“正常”狀態(tài),跳出“模型”“大招”,在解題中應(yīng)該追求自然合理的解法,教學(xué)生解決問題的基本思想和方法,讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的思想方法.“授人以魚不如授人以漁”,只要學(xué)生具備了自主思考能力,才會(huì)用所學(xué)知識(shí)解決“萬(wàn)變不離其宗”的各種問題.