基于代理模型的廣布疲勞損傷平均行為快速確定方法

潘 微，鄭旭東，李 杰，李 彥，談嘉好，陳 昶

（航空工業成都飛機工業（集團）有限責任公司，成都 610092）

在不受外界影響的情況下，機隊中50%飛機在所研究的廣布疲勞損傷（WFD）敏感結構發生廣布疲勞損傷的時間點定義為廣布疲勞損傷平均行為[1]。其中，廣布疲勞損傷是指在結構相似、應力相當的多個細節部位中同時存在足夠尺度和密度的裂紋，隨著裂紋的增長，裂紋間的相互影響加劇，從而加快降低結構的剩余強度，使結構不再滿足剩余強度要求[2]?；跀嗔蚜W的確定性分析在評估工程設計和安全性、預測結構壽命、對不同類型缺陷的壽命評估等方面一直起著重要的作用，但是由于結構中出現孔洞、位錯、夾雜等隨機缺陷導致了裂紋萌生及擴展的不確定因素，使疲勞分散性成為材料的固有屬性，因此基于疲勞統計學等理論建立裂紋隨機萌生和擴展的威布爾分布模型，進而對預測多裂紋結構壽命有著重要的意義。另一方面，確定廣布疲勞損傷平均行為求解復雜，需要消耗大量時間，因此基于代理模型的快速求解方法對廣布疲勞損傷平均行為工程評估有重要意義。

在確定廣布疲勞損傷的概率統計特性研究中，閆曉中等[3]、雷曉欣等[4]針對多部位損傷（MSD）結構，通過蒙特卡洛法模擬，提出多裂紋疲勞損傷隨機模型，實現了多裂紋隨機萌生和擴展及廣布疲勞損傷發生的過程。Ai 等[5]提出基于缺陷的大小和位置來說明制造缺陷對疲勞壽命的影響的概率模型，通過對具有威布爾分布的表面初始裂紋的損傷機理進行建模，得出考慮缺陷表面位置影響的校正因子。

本文在已有的研究基礎上，建立裂紋萌生和擴展模型，利用ABAQUS 二次開發得到的應力強度因子數值，根據蒙特卡羅法預測廣布疲勞損傷平均行為，在保證精度的情況下預測結構發生概率疲勞時的全壽命。最后，通過機器學習建立廣布疲勞損傷仿真程序訓練集，使用多項式響應面和高斯過程回歸的代理模型進行訓練，可以快速確定結構發生廣布疲勞損傷時的平均行為。

1 概率疲勞分析方法

1.1 裂紋隨機萌生模型

由于材料本身的不均勻性、不同加工方式、試件大小、試驗誤差及試驗環境等因素，會引起結構疲勞壽命的分散，從而在多孔結構中孔邊裂紋萌生位置及次序具有隨機性，在含有多個相似細節結構中，第i個細節的裂紋萌生壽命Ni（0），i=1，2，…，M由下式給出

式中：Ci、m為材料常數。第i個危險細節的隨機參數服從對數正態分布[6]，即

式中：C0i為服從標準正態分布的隨機參數，下角標0為Ci的初始值和SlgCi分別為Ci的對數均值和對數標準差。

1.2 裂紋隨機擴展模型

Paris 裂紋擴展公式計算過程簡便，便于運用于工程上的具體運算，Paris 裂紋擴展公式為

式中：G、n為裂紋體的材料特性常數；△K為應力強度因子幅值，即△K=Kmax-Kmin。

裂紋擴展的分散性表現為將材料特性參數G用隨機變量Gi表示，即

三參數正態分布可以更好地表示隨機參數的可變性，引入變量ui，其表達式為

ui的概率密度函數滿足三參數對數正態分布[7]，如下式

式中：τ 為位置參數；α 為分散參數；β 為形狀參數，通過試驗數據可以得到。根據三參數正態分布的性質，Gi可以通過下式得到，即

式中：G0i為服從標準正態分布的隨機數，由隨機發生器產生。

2 廣布疲勞損傷平均行為分析實例

結構的全壽命Nf為裂紋萌生壽命N和裂紋擴展壽命Nc之和，即

由第1 節提出的裂紋概率萌生模型，應用蒙特卡羅法，得到結構的裂紋萌生壽命；通過ABAQUS 建立七孔板裂紋尖端應力強度因子計算模型，七孔板的有限元模型如圖1 所示。

圖1 七孔平板FEM 模型

通過ABAQUS 二次開發獲得裂紋擴展每個增量步的裂紋尖端應力強度因子，建立裂紋擴展的概率模型，最后得到整個結構的全壽命。具體步驟如下。

第一步，由蒙特卡羅法得到M個孔邊危險細節的萌生壽命Ni（i=1，2，…，M-1，M）。

第二步，按照裂紋萌生順序依次給每個危險細節以最小可檢裂紋尺寸為1.27 mm 的初始裂紋。

第三步，由組合法求解應力強度因子，計算復雜邊界條件下每個孔邊裂紋的應力強度因子。

第四步，根據裂紋擴展隨機模型計算出裂紋擴展增量，由塑性連通準則和Kc斷裂準則共同判斷結構是否失效，若沒有失效，則繼續重復以上計算；若失效，本次模擬失效。

為驗證方法的準確性，本文以七孔板為例進行壽命預測，根據文獻[8]試驗數據，概率模擬過程中的疲勞載荷最大值分別為Pmax=82 kN，Pmax=90 kN，Pmax=98 kN，應力比均為0.1，材料為LY12-CZ 鋁合金，材料參數見表1，裂紋隨機萌生、擴展參數見表2 和表3。

表1 LY12-CZ 鋁合金材料參數

表2 LY12-CZ 鋁合金裂紋隨機萌生參數

表3 LY12-CZ 鋁合金裂紋隨機擴展參數

在3 種應力水平下，分別進行100 次蒙特卡羅模擬抽樣，模擬結果分別如圖2—圖4 所示。

圖2 Pmax=82 kN 壽命累計分布曲線

圖3 Pmax=90 kN 壽命累計分布曲線

圖4 Pmax=98 kN 壽命累計分布曲線

從圖2—圖4 中可以看出，在不同載荷作用下七孔板結構的WFD 失效時刻累計分布曲線，并且可以得到50%概率下的廣布疲勞損傷敏感結構疲勞循環數，即廣布疲勞損傷平均行為分別為Nave，82=230 450 次、Nave，90=164 665 次、Nave，98=121 700 次。平均行為計算結果與試驗結果對比見表4，其中為對數壽命的平均值為試驗對數壽命的平均值；SlgNc為對數壽命的標準差，SlgNt為試驗對數壽命的標準差。

表4 七孔板計算結果與試驗結果對比

從表4 中可以看出，MSD 結構廣布疲勞平均行為模擬結果與試驗誤差僅在6%之內。

3 基于代理模型的快速分析方法

為了繼續節約計算成本，可以采用機械設計與機器學習領域中的代理模型方法。

代理模型的基本思想為將復雜的仿真程序看作“黑箱”，使用合適的試驗設計方法得到抽樣矩陣，抽樣矩陣的每一組設計變量的值為一個輸入向量。將抽樣矩陣輸入到仿真程序中獲取與之對應的一次隨機失效壽命值，建立抽樣點-程序響應值間的對應關系作為代理模型的訓練集，對選定的代理模型進行訓練以得到擬合或插值關系。建立代理模型的步驟如下。

第一步，確定設計變量及變量空間。

第二步，選取合適的試驗設計技術（DOE），獲得設計變量的抽樣矩陣。

第三步，執行仿真程序，獲得輸入樣本點對應的輸出響應。

第四步，選取合適的代理模型，建立代理關系，通過訓練集對代理模型進行訓練。

第五步，精度校核。

為避免過多地輸入維度，需對輸入參數進行篩選。首先確定代理模型中的設計變量，選取應力水平S、裂紋隨機萌生參數m、裂紋隨機擴展參數n三個參數為設計變量。其次需要確定3 個參數的變量空間，參數m、n服從正態分布，理論上的變量空間應該是（-∞，+∞），一般情況下選取變量空間為[μ-5σ，μ＋5σ]，其中μ 為均值，σ 為標準差。應力水平根據工程實際選擇變量空間。見表5。

表5 設計變量的變量空間

本文選取拉丁超立方法獲得設計變量的抽樣矩陣，建立了50 個樣本點，在仿真程序中使用蒙特卡羅法抽樣50 次獲得平均行為作為輸出響應，建立多項式響應面法代理模型，由輸入-輸出響應作為訓練集訓練代理模型。

基于高斯過程回歸模型和多項式響應面模型（RSM）分別訓練訓練集，通過交叉驗證方法進行機器學習驗證，驗證精度指標見表6。

表6 模型學習驗證指標

由表6 可以看出高斯過程回歸模型精度更高，擬合效果也很好，高斯過程回歸模型響應結果如圖5 所示。建立測試集，由測試數據對高斯過程回歸模型進行測試驗證，驗證結果顯示誤差不超過10%，且節約了大量的時間計算成本。

圖5 高斯過程回歸模型響應圖

4 結束語

本文建立了裂紋隨機萌生和擴展模型，利用ABAQUS 二次開發得到的應力強度因子數值，根據蒙特卡羅法預測廣布疲勞損傷平均行為，廣布疲勞損傷平均行為與試驗對比誤差在6%之內；通過建立代理模型的方式，建立訓練集和平均行為輸出響應對高斯過程回歸模型和多項式響應面模型進行訓練學習，由測試數據對模型進行驗證顯示，高斯過程回歸模型精度更高，訓練后的預測效果誤差不超過10%，并且可以節約90%的計算時間成本，所構建的高斯過程回歸模型可以精確地確定廣布疲勞損傷平均行為。