凍結黏土分數階損傷蠕變模型參數確定及驗證

姚兆明, 蹇膨遠, 郭夢圓

(1.安徽理工大學土木建筑學院, 淮南 232001;2.礦山地下工程教育部工程研究中心,淮南 232001)

人工凍結法被廣泛應用于城市地下交通、地下采礦巷道以及深基坑等地下工程中。隨著城市化進程的加快,城市用地日益緊張,地下空間開始逐漸被開發利用,但地下工程開挖深度的增加,凍結法施工的凍結管、凍結壁等設施被破壞的風險也增加。為確保工程、設施和人員的安全,分析凍土的力學特性顯得尤為重要。

人工凍土的蠕變行為是凍土最重要的力學性能之一,而蠕變模型是用來表征凍土蠕變特性的主要途徑。因此,學者通過研究提出大量的蠕變模型來模擬凍土的蠕變行為,并將其蠕變模型大致分為三類[1]:①經驗模型;②元件模型;③黏彈塑性模型。Yao等[2-3]進行了不同溫度下的凍土蠕變試驗,建立了以溫度為自變量的凍土一維蠕變模型,并在三軸蠕變試驗的基礎上提出具有剪切強度衰減的凍土蠕變模型;劉萌心等[4]在該模型基礎上引入應力歷史并修正,得到的模型能較好地反映不同溫度及壓力下的蠕變過程;李昂等[5]建立了基于Burgers模型的單因素、雙因素元件蠕變模型,并通過對實驗數據擬合得到了考慮時間、含水率和應力狀態的多因素經驗蠕變模型;周小棚等[6]對西原模型進行改進克服了其無法描述巖土加速蠕變階段的缺陷,并推導出了蠕變破壞時間;姚兆明等[7]采用溫度和加載系數作為內變量,通過開展凍土單軸壓縮與分級加載蠕變試驗,提出了凍結黏土內變量蠕變模型,并驗證了模型的合理性。

上述模型都是整數階模型,對于蠕變中的非線性漸進過程無法準確描述,而分數階本構模型可以描述蠕變中應變的非線性漸進過程,并且分數階模型具有參數少、形式簡單等優點。近年來,分數階微積分理論被越來越多地用于巖土工程領域來描述不同類型巖土材料的力學特性。Yin等[8]將經典西原模型中的阻尼器換為分數階導數Abel阻尼器,建立了分數階本構模型并推導出了土的分數階模型在蠕變、應力松弛、加載和卸載等不同條件下的解析公式;殷德順等[9]把Hollomon提出的金屬塑性拉伸變形方程式[10]引入到巖土中,在分數階導數的基礎上提出了巖土應變硬化指數理論,獲得了反映巖土應變硬化能力的參數;肖華杰等[11]通過分段模擬來描述瞬時和蠕變應變,并構建了考慮基質吸力的彈性體和分數階黏滯體,建立了可考慮基質吸力的非飽和粉質黏土蠕變本構模型;Wang等[12]基于流變學和分數階微積分建立了分數階彈性和黏性單元,建立了物理意義明確、形式簡單的基于分數階彈性和黏性單元的黏土蠕變本構模型。

然而,大多數模型參數較多且無法描述凍土蠕變完整的三個階段,尤其是非線性的加速蠕變階段[13]。隨著損傷力學不斷發展與應用,許多學者將損傷效應引入到各蠕變本構模型中。Li等[14]基于Riemann-Liouville型積分函數,建立了考慮溫度-損傷-應力耦合的凍結砂巖非線性蠕變本構方程,并基于分數階理論建立了非線性蠕變損傷方程;李德建等[15]建立了與弛豫時間相關的分數階變階函數,依此構造變階分數階損傷蠕變模型,且進一步拓展到三軸狀態下,使能夠合理地描述砂巖蠕變的三個階段。

分析山西某礦井井筒檢查孔黏土不同凍結溫度下的單軸蠕變試驗曲線,得到溫度對凍結黏土蠕變特性的影響規律。在Singh-Mitchell[16]模型的基礎上,引入分數階導數理論,建立分數階凍土蠕變模型。通過分析蠕變與時間取對數的擬合曲線發現兩者具有線性關系,進而得出只與溫度有關的模型參數。鑒于建立的分數階凍土蠕變模型不能反映凍土蠕變加速階段,基于Weibull概率分布假設,將損傷因子引入建立的分數階蠕變模型,進而建立人工凍土分數階損傷蠕變模型。

1 人工凍結黏土單軸抗壓、蠕變試驗分析

1.1 人工凍土單軸抗壓強度試驗

試驗土樣取自山西省某煤礦黏土,取樣深度為281.20～296.80 m,黏土含水率為20%。從模具中取出原狀土樣,將其切碎、烘干、過篩,根據重塑黏土的制樣方法嚴格按照原狀土樣的含水率等指標進行配比,并按照規范要求加工成直徑50 mm,高度100 mm的圓柱體試樣。將制備好的試樣放入冰箱中,分別在-5、-10、-15 ℃三個溫度下恒溫養護24 h,如圖1(a)、圖1(b)所示。在安徽理工大學WDT-100型凍土試驗機上進行人工凍土單軸抗壓強度試驗[17],試驗分別在-5、-10、-15 ℃三個溫度下(每組溫度下三個試樣)進行,應變速率設定為1%/min,實驗滿足以下三個條件之一時,儀器便會自動停止:①應力值下降20%;②應變超過15%;③力峰值后應變增加3%。微機每15 s自動采集數據并顯示相應的應力-應變曲線,試驗結束后取出已經破壞的土樣,如圖1(c)所示。

圖1 凍結黏土試樣Fig.1 Frozen clay test sample

1.2 試驗結果與分析

根據單軸抗壓強度試驗,得到凍結黏土在三個溫度水平下的單軸抗壓強度如表1所示。

凍結黏土從加載到破壞大致經歷三個階段:線性增長,塑性屈服和破壞階段。隨凍結溫度T的降低,凍結黏土的單軸抗壓強度逐漸增大。初始階段,應力-應變曲線基本成線性關系,到達屈服點后,強度繼續增大,表現為硬化特點。凍結黏土達到最大應力后,曲線開始下降,此時土體已發生塑性破壞,如圖2所示。

對凍結抗壓強度與溫度進行擬合,可得到人工凍結黏土的抗壓強度與溫度在一定條件下呈線性關系,如圖3所示。溫度與凍結抗壓強度兩者之間滿足關系式

σs=2.3-0.052T,R2=0.97

(1)

式(1)中:σs為單軸抗壓強度,MPa;T為凍結溫度,℃。

由式(1)可知,凍結溫度越低,單軸抗壓強度則越大,溫度每降低1 ℃,單軸抗壓強度則會增加約0.052 MPa。

表1 單軸抗壓強度試驗值Table 1 Uniaxial compressive strength test value

1.3 人工凍土單軸蠕變試驗

單軸蠕變試驗在安徽理工大學WDT-100型凍土試驗機上進行。將加工好的試樣分別在-5、-10、-15 ℃三個溫度下進行蠕變試驗。以凍結黏土的單抗抗壓強度試驗結果為依據,采用分級加載(σ=0.3σs、0.5σs、0.7σs)的方式進行加載,其中σs為單軸強度抗壓強度,即每組溫度下三個試樣的單軸抗壓強度平均值。微機每60 s自動采集數據并顯示相應的應變-時間曲線。實驗滿足以下三個條件之一時,儀器便會自動停止:①應力值下降20%;②應變超過15%;③時間超過10 h。

1.4 單軸蠕變試驗結果與分析

根據各溫度下單軸抗壓強度平均值,得到凍結黏土在不同溫度及加載等級下的荷載,如表2所示。

圖4所示為不同溫度、應力水平下的凍結黏土蠕變試驗曲線。從圖中可以看出,凍結黏土在施加荷載時有一定的瞬時蠕變。當應力水平為0.3σs和0.5σs時,整個蠕變過程中應變值變化范圍隨凍結溫度的降低而逐漸減小,凍結黏土主要以衰減蠕變和穩定蠕變為主;當應力水平為0.7σs時,蠕變曲線開始出現加速階段,蠕變損傷值較大,此時土體內部已出現裂縫并隨著荷載的持續作用,裂縫不斷擴大從而導致土體結構破壞。在高應力水平下,溫度也影響著土體的破壞過程。如凍結溫度為-5 ℃時,土體蠕變從衰減蠕變經歷短暫的穩定蠕變進入加速階段,這是由于凍結黏土在溫度相對較高時抗壓強度較低,因此在較高應力水平下呈現一種非穩定狀態,土體自身強度抵抗不了施加的恒定荷載,故在較短時間內急速破壞。

圖2 各溫度下單軸抗壓強度關系曲線Fig.2 Uniaxial compressive strength relationship curve at various temperatures

圖3 溫度與單軸抗壓強度關系曲線Fig.3 Relation curve between temperature and uniaxial compressive strength

表2 不同溫度和加載等級下的荷載Table 2 Loads at different temperatures and loading levels

圖4 各溫度和各加載等級下的凍結黏土蠕變曲線Fig.4 Creep curve of frozen clay at various temperatures and loading levels

2 S-M分數階蠕變模型

2.1 分數階微積分定義

參看文獻[9],其中Riemann-Liouville型分數階微積分對函數f(t)的β階積分定義為

(2)

分數階微分定義為

(3)

式中:D為分數階微積分算子;t為自變量;τ為分數階積分后的自變量。β>0,且n-1<β≤n(n為正整數);Γ(*)為Gamma函數,其定義為

(4)

式(4)中:s為復數自變量;Re(s)為復數s的實部。

對于函數f(x)=cx,其中c為常數,在0≤β≤1時,其分數階微分為

(5)

當取t=ν0τ時,其中ν0為常數,則

(6)

(7)

2.2 分數階S-M蠕變模型的建立

Singh-Mitchell (S-M)模型是常用于描述巖土蠕變特性的一種經驗模型,表示為

(8)

對式(8)積分可得

(9)

凍結黏土的應力應變特性是介于理想固體和理想流體之間某個關系,式(9)未能反映這種特性,而分數階導數可以很好地描述這種關系。當m=1、t1=1時,對式(9)進行分數階微分可得

(10)

式中:B=A/(1-m)。

2.3 模型參數確定

試驗的土樣含水率均為20%,為使S-M模型考慮溫度的影響,下面對S-M模型參數進行確定。

對式(10)“=”左右兩邊同時取對數得

lnε=lnB+bσ+βlnν0-

lnΓ(2-β)+(1-β)lnt

(11)

式(11)中:σ=ησs,η為0.3或0.5。

圖5為0.3σs和0.5σs加載等級下-5、-10、-15 ℃三個溫度下的lnε-lnt擬合關系。可以發現在同一加載等級下,不同凍結溫度的蠕變與時間在取對數的情況下具有明顯的線性關系;同一溫度、不同加載系數下蠕變也呈線性變化規律。

圖5 不同溫度、各應力水平下的蠕變與 時間雙對數關系曲線Fig.5 Double logarithmic relationship curve between creep and time at different temperatures and stress levels

2.3.1 參數β的確定

溫度為-5 ℃時,0.3、0.5倍等級加載時的線性表達式為

(12)

溫度為-10 ℃時,0.3、0.5倍等級加載時的線性表達式為

(13)

溫度為-15 ℃時,0.3、0.5倍等級加載時的線性表達式為

(14)

2.3.2 參數B和b的確定

lnB1+0.777b1=0.089 2

(15)

lnB1+1.295b1=0.387 5

(16)

解得B1=0.70,b1=0.58。

同理可得T=-10 ℃和T=-15 ℃時對應的參數B和b的值,整理后各溫度下的參數情況如表3所示。由表3可知,隨著溫度降低,參數B的值不斷減小,而b值不斷增大,通過擬合發現溫度隨B值與b值均呈線性變化,如圖6所示。

溫度T與B和b擬合關系式為

B=0.945 8+0.051 6T

(17)

b=0.413 1-0.030 8T

(18)

由此可以得出與溫度有關的分數階S-M蠕變模型為

表3 各溫度下參數情況Table 3 Parameters at various temperatures

圖6 凍結黏土參數B和b與溫度關系曲線Fig.6 Relations of parameter B and b of frozen clay against temperature

(19)

根據推導出的凍結黏土分數階S-M蠕變模型計算出該黏土凍結狀態下的蠕變值,將計算得出的結果與試驗值進行對比,結果如圖7所示。由圖7可知,相同溫度下,0.3σs和0.5σs荷載等級下均與曲線吻合情況較好,其中-10 ℃下0.3σs荷載等級下的試驗值與計算值出現偏差,但曲線總體走勢基本一致,表明該模型可以很好地計算溫度效應下黏土的蠕變,驗證了該模型對凍結黏土的適用性。

3 考慮損傷的S-M分數階蠕變模型

3.1 損傷蠕變效應

在應力水平達到0.7σs時,蠕變開始進入加速階段,此時的蠕變損傷值較大(圖4)。巖土的蠕變損傷是在外加荷載的作用下,巖土內部微裂紋不斷擴大造成土體破壞的過程。建立的S-M分數階蠕變模型對加速階段將不再適用。

假設巖土微元強度服從Weibull分布,則其概率密度函數可表示為

(20)

式(20)中:ε為土的軸向應變值;N和n、α為Weibull分布參數。

損傷變量D可以定義為巖土在某一級荷載作用下,巖土內部被破壞的微元體數目Vt與巖土內部總微元體數目V之比,即

D=Vt/V

(21)

式(21)中:D為損傷變量;Vt為巖土內部被破壞的微元體數目;V為巖土內部總微元體數目。

其中巖土內部被破壞的微元體數目Vt為

(22)

得

(23)

式中:P(x)可作為微元體概率密度函數。

損傷變量D也稱損傷因子,其取值范圍為(0,1)。D=0時表示巖土內部結構完全沒有裂紋的一種理想狀態,D=1時表示巖土完全破壞從而失去承載能力的狀態。

3.2 S-M分數階損傷蠕變模型的建立

將損傷變量D引入上文建立的S-M分數階蠕變模型中,得到S-M分數階損傷蠕變模型,表達式為

(24)

針對人工凍結黏土加速變形特點,將損傷變量D進行修正,表達式為

(25)

當n=1時,模型方程為

(26)

式(26)中:ε為蠕變應變;σ為根據各溫度下單軸抗壓強度平均值確定的施加在試樣上不同加載等級的恒定荷載,MPa;t為蠕變時間,h;B為試驗有關常數;b為確定應力有關常數;ν0為常數,取ν0=1;α為確定損傷變量參數。

對圖4中-5、-10、-15 ℃三個溫度下的0.7σs荷載等級蠕變曲線數據計算,得到分數階損傷蠕變模型中參數α,結果如表4所示。

由表4可知,參數α的數值隨著溫度的降低不斷增大,通過擬合發現溫度隨參數α的數值呈線性變化且擬合優度為0.99,如圖8所示。

參數α與溫度T間的關系式為

α=-0.47T+2.67

(27)

人工凍結黏土S-M分數階蠕變損傷模型為

表4 各溫度下參數αTable 4 parameter α at various temperatures

(28)

根據擬合參數計算出凍結黏土的蠕變數據,將計算得出的結果與試驗值進行對比,結果如圖9所示。

由圖9可知,參數α越大,凍結黏土抵抗變形破壞的能力越強,因此,參數α反映了凍結黏土的強度特性。在-5 ℃時計算值與試驗值基本趨于一致,在-10 ℃和-15 ℃中計算值與試驗值出現偏差并在某一時間兩線相交,但曲線的總體走勢基本一致,吻合程度較高,故能夠較好地反映凍結黏土整個蠕變損傷過程,驗證了該模型對凍結黏土的適用性。

圖8 凍結黏土參數α與溫度關系曲線Fig.8 Relation curve between frozen clay parameter αand temperature

圖9 試驗值與計算值的對比Fig.9 Comparison between experimental values and calculated values

4 結論

針對傳統Singh-Mitchell模型在確定參數、描述人工凍土蠕變特性等方面的不足,基于分數階導數理論,建立反映人工凍土蠕變穩定階段的S-M分數階蠕變模型。將損傷因子引入建立的S-M分數階蠕變模型,進而建立能反映蠕變加速階段的人工凍土S-M分數階損傷蠕變模型,得到如下結論。

(1)利用分數階導數理論對S-M模型中的時間參數求分數階導數,克服了傳統S-M模型未能反映凍結黏土蠕變介于理想固體和理想流體之間特性的不足,建立的人工凍結黏土分數階蠕變模型概念清晰、推導嚴謹。

(2)有別于一般的經驗模型參數完全由最小二乘法擬合得到,建立的人工凍結黏土分數階蠕變模型參數由不同凍結溫度下,對不同加載應力產生的蠕變與時間取對數聯立方程組求得,因此所建模型參數具有一定的物理意義且易于確定,便于工程應用。

(3)為在所建模型中能反映由于損傷導致蠕變加速發展的現象,基于Weibull分布假設,將損傷因子引入S-M分數階蠕變模型中,得到用以描述凍結黏土的S-M分數階損傷蠕變模型。模型擬合的結果與試驗數值較為吻合,驗證了該模型的適用性,并為描述凍土蠕變損傷提供了一種方法。

文中所建立的模型方法在人工凍結黏土蠕變穩定階段、加速階段得到了很好的應用,但該建模方法在其他類型的人工凍結土質如砂土蠕變的應用有待進一步驗證。同時為計算不同蠕變階段分別建立了分數階蠕變模型,而在實際工程中,很難準確確定發生加速階段的荷載,在不同的應力邊界下進行數值分析時需要對模型進行切換。因此,建立能同時計算穩定階段、加速階段蠕變的統一模型是下一步的研究目標。