理解概念本質 發展數據意識

【摘要】本文以人教版數學四年級下冊“平均數”教學為例，引導學生在真實的生活情境中自覺產生用平均數分析數據的需求，在收集、整理與表達數據的過程中理解平均數的概念本質和特有屬性，幫助學生發展數據意識，培養學生的數學核心素養。

【關鍵詞】小學數學 平均數 概念本質 數據意識

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）28-0082-04

平均數在小學數學統計與概率領域中起著不可或缺的作用，是統計學中最基礎、最重要的概念之一。小學低年級的統計教學主要集中在用統計圖表收集、整理數據，進行簡單的數據表達。平均數作為一個統計量的學習內容，是學生在小學階段第一次經歷用這個度量進行數據分析的過程，是數據意識初步形成的關鍵課例。在以往的小學數學教學中，部分教師將教學重心放在了平均數的求法及算法意義上，忽視了學生對統計量概念本質的理解，導致教學情境與生活實際脫節，學生不能充分感知平均數在統計中的價值。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）提出“在學習過程中，讓學生初步感受現實生活中存在大量數據，其中蘊含有價值的信息，利用統計圖表和統計量可以呈現和刻畫這些信息，形成初步的數據意識”。本文以人教版數學四年級下冊“平均數”教學為例，從統計學的角度設計課堂教學活動，通過“情境中引入概念—理解中分析數據—運用中發展觀念”的探索路徑，引導學生在真實的生活情境中自覺產生用平均數分析數據的需求，在收集、整理與表達數據的過程中理解平均數的概念本質和特有屬性，發展數據意識。

一、在真實情境中產生用平均數分析數據的需求

《2022年版數學課標》指出，數學課程要培養學生的核心素養，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界三個方面，數據意識或數據觀察是數學語言的主要表現。統計知識的學習不應局限于學會處理數據的方法，統計教學的核心是培養學生的數據意識和數據分析觀念，讓學生養成數據分析的意識和習慣，形成根據數據分析的結果做出正確判斷的思維方式。

學生在學習“平均數”一課之前，已經理解了平均分的含義和除法運算的含義、認識了單式條形統計圖，積累了初步的收集和整理、描述和分析數據的經驗。在“平均數”一課的課堂導入階段，教師要充分調動學生的生活經驗，設置具有開放性和啟發性的問題，以真實的、學生熟悉的情境為載體，引導學生從已有經驗出發，主動發現真實情境中蘊含的數學問題和現象，自覺產生用平均數來描述、分析和解決問題的需求，感受平均數對于分析和解決問題的特殊價值，積累數據分析經驗，發展數據意識。

首先，教師運用多媒體呈現如圖1所示的有擋板的水槽，引導學生思考：“把水槽的擋板拿開，里面的水平面會有怎樣的變化？”接著，教師通過動態演示，讓學生看到水槽的擋板拿開之后，水平面會變成相同的高度，從而引入平均數的概念。

其次，教師在大屏幕呈現如圖2所示的投籃比賽問題情境，讓學生自覺產生用平均數分析數據的需求，還原“平均”的本原意義。

[四（1）班組織投籃比賽，每人投10個球，第一組、第二組投中個數統計如表1、表2所示，你覺得哪組的投籃水平更高？

在比較哪組的投籃水平更高時，由于知識的負遷移作用，大部分學生用比較總數的舊經驗來思考問題，認為第二組的投籃水平高。在交流、比較和分析之后，學生意識到兩個小組的人數不一樣，用比較總數的方法來判斷哪組的投籃水平更高是不公平的，需要求出每組平均每人投中的個數。通過兩組學生投籃情況統計和對比，學生產生了認知沖突和思想碰撞，認識到一組數據的總數并不能代表投籃水平的高低，因為兩組的人數不相等，用總成績進行對比并不合理。有了這樣的感受，學生便產生了探究欲望，尋找新的比較方法成為學生的真實需求。學生通過交流討論，想到了用“分別求出每組平均每人投中的個數后再進行比較”的方法解決問題，從而獲得對平均數意義的深刻理解。

二、在解決問題中理解平均數的概念本質

“平均數”一課的教學目標是探索平均數的意義，能解決簡單的實際問題；能在簡單的問題情境中，合理運用統計圖表和平均數，形成初步的數據分析和應用意識。顯而易見，平均數的教學不能局限于平均數的求法，不能僅僅停留在算法意義的理解層面，而應在教學過程中突出平均數的意義及其統計意義。因此，教師在教學中要將探尋平均數的計算方法與理解平均數的意義融為一體，在問題創設、數據設置、呈現方式等方面精心設計，以解決問題為主線，引導學生自主探索、合作交流，經歷用平均數描述、分析和比較數據的全過程，在用統計方法解決問題的過程中完成概念的意義建構，積累數據分析的經驗，理解平均數的本質內涵，感受平均數的價值，發展數據分析意識。

（一）探尋求平均數的方法

教師引導學生根據如圖2所示的第一組、第二組的投籃成績統計情況，在“你覺得哪組投籃水平更高？”這一具體問題的引領下，利用已有的知識經驗，自主探求“平均每人投中的個數”的方法。在這個過程中，學生形成了兩種不同的解決問題的思路：一是充分利用如圖3所示的條形統計圖的直觀性，通過“移多補少”的方法，找到每一組平均數據的代表；二是先求和再平均分，分別求出兩組各自的平均數，第一組的平均數是7個，第二組的平均數是6個。學生經歷了移動操作和計算兩種方法求平均數的過程，打通了不同方法之間的聯系，從而掌握了求平均數的兩種方法。

教師在教學設計和組織引導的過程中，沒有突出平均數的計算方法，而是在對兩組數據比較分析的過程中尋求解決問題的辦法，不管是“移多補少”，還是“求和均分”，都能讓學生在用數據表達的過程中理解第一組平均每人投中7個、第二組平均每人投中6個的含義，初步理解平均數的概念。

（二）解決真實問題，理解平均數的性質

概念的形成是一個不斷深化的過程，是從外部比較具體的非本質特征到內部比較抽象的本質特征的理解。教師僅僅從比較的維度還無法揭示平均數的意義，也無法讓學生理解平均數能代表一組數據的整體水平。因此，教師應該從統計學意義上讓學生理解平均數的概念本質，使學生學會用數學的眼光來分析和解決真實問題，通過不斷強化、辨析的過程理解平均數的性質。

1.研究第一組、第二組的投籃情況，感知平均數的特征

師：第一組的李雷投中的個數是7，算出的平均數也是7，這兩個7一樣嗎？

生1：統計表中的7是李雷投中的個數，另一個7是平均數，這兩個數的意義不一樣。

生2：統計表中的7是個人的成績，另一個7是第一組4個人的平均成績。

生3：平均數7表示第一組的整體水平。

師：你對第二組平均數6是怎么理解的？

生4：平均數6不是某個同學投中的個數，代表的是第二組同學的平均成績。

生5：這個6是通過計算得到的，是一個虛擬的數。

師：個人最好成績在第二組，為什么投籃的整體水平比不過第一組？

生6：雖然第二組的林宇投中的個數最多，但是這個組有兩名同學投中的個數只有4個，會拉低整體成績，影響這個組的平均水平，所以第二組投籃的整體水平比第一組低。

生7：組內每個人的成績都會對平均數有影響。

教師通過問題一引導學生討論第一組中兩個“7”的實際意義，理解平均數的代表性，借助問題二讓學生進一步理解平均數的虛擬性，通過問題三讓學生感受平均數的敏感性，使學生在不斷深入思考與認知沖突中體會平均數與個別數據之間的關系，揭示平均數的本質內涵。學生在用數據分析回答問題的過程中，進一步理解了平均數的性質。

教師通過三個問題的追問，讓學生初步理解“平均數能較好地反映一組數據的平均水平”的實質含義。同時，學生體會到平均數與每一個個別數據的關系，即平均數是一個統計量，具有虛擬性，表示的是一組數據的整體水平和集中趨勢，而不是某個具體的數據，為下一步理解平均數的本質特征建立了感性認識。

2.研究第三組的投籃情況，感受統計量個數與平均數的關系

平均數容易受到極端數據的影響。為了讓學生充分感受到統計量個數的多少與平均數變化之間的關系，教師可以在教學中出示一些例子，組織學生討論極端數據與平均數的變化情況。例如，教師運用多媒體呈現如表3所示的四（1）班第三組投籃比賽成績統計情況，請學生算出第三組投籃成績的平均數。

學生在計算第三組平均投中的個數時出現了兩種不同的看法，部分學生認為王莉沒有投中，不應該計算在內，另一部分學生認為王莉雖然沒有投中，但王莉是這個小組的成員，應該計算在內。不同意見引發了學生激烈的討論和思維的碰撞，學生在辨析每個數據特點的過程中逐步認識到：平均數是被平均的所有數據的代表，會受到其中每個數據的影響，計算平均數時，數值為0的個數也要考慮在內。

3.研究第四組的投籃情況，基于實踐運用平均數

概念教學中建構意義就是幫助學生形成對概念較為深刻的理解，提高學生運用概念解決問題的能力。在明確了平均數的意義與特征后，為了幫助學生進一步理解平均數的特征，教師提出了如下問題，讓學生進行分析：“四（1）班第四組4名同學投籃的平均成績是6個，你能估一估第四組每個同學投中的個數嗎？”這是一個開放性問題，教師引導學生清楚表達怎樣估計每個同學投中的個數、依據是什么。學生通過思考和交流，知道平均成績是6個，但并不代表每個同學都投中了6個，可能比6個多，也可能比6個少。學生在交流討論的基礎上，進一步明白平均數是計算得到的，是一個虛擬的數，可能出現在這組數據中，也可能不出現。平均數介于最大數和最小數之間，即使與這組數據的某個數相同，它們的意義也是不同的，平均數只能代表一組數據的集中趨勢，不能代表一組數據的個體情況。

接下來，教師又提出問題：“四（1）班第四組4名同學投籃的平均成績是6個，現在已知3名同學投中的個數如表4所示，那么秦晶晶投中了幾個？”這個問題是讓學生根據統計量求出具體量，教師引導學生通過逆向思維，求出秦晶晶同學投中的個數是7，再次明晰平均數的意義。

教師不斷創設不同的問題情境，通過一系列層層遞進的問題設置，賦予平均數不同的意義和價值，體現了統計的基本思想。學生在一次次整理數據、分析數據、做出判斷的過程中，展開多維度的思考，自主建構平均數的意義，不僅提高了思維的全面性、深刻性和靈活性，還積累了廣泛而豐富的數據分析經驗，發展了數據分析意識，獲得了對平均數本質內涵的深刻理解。

三、在實際應用中理解平均數的特有屬性

數學概念在學生頭腦中形成初步表象后，學生需要在實際應用和生活實踐中不斷深入思考，將新知納入自己的知識結構，加深對概念本質的理解。對平均數的認識也是如此。平均數意義的理解可以分為以下三個層次：第一層次為計算水平，學會計算一組數據的平均數；第二層次為概念水平，理解平均數的意義；第三層次為統計水平，理解平均數的統計意義和特有屬性。因此，學生在經歷了解決問題的過程、感知平均數概念的本質以后，教師可以設計四年級學生平均身高的實際問題，引導學生用平均數對生活現象進行判斷分析、解釋說明，通過知識的運用，進一步理解平均數的統計意義和特有屬性。教師把平均數的特點整合到學生身高數據的整理和分析這一具體情境中，讓學生在概念應用中深化理解，發展數據意識，培養數學核心素養。

（一）整理數據，感受平均數的“靈敏性”

為了引導學生真切感知平均數是一個虛擬的數，它具有靈敏性、容易受到極端數據的影響，教師設置了“求四（1）班學生的平均身高”的問題情境。教師收集了四（1）班各小組學生的身高數據之后，借助Excel表格整理數據，要求學生仔細觀察Excel表格中每次輸入一個新的身高數據時，每一組學生身高平均數的變化，嘗試尋找平均數的特征。

教師逐一將每個小組中每名學生的身高數據輸入Excel表格中，即時生成每一組學生身高的平均數，每輸入一個新的身高數據，“平均身高”一欄的數據就會發生變化。每一組學生身高的平均數一會兒變大、一會兒變小，每輸入一個新的數據，都牽動著學生的思維，學生在這一過程中直觀地感受到了每一個數據對平均數的影響。學生能深刻地體會到：在一組數據中，任何一個數的變化都會影響平均數，平均數既“靈敏”又“善變”。

（二）分析數據，感受平均數的“代表性”

在分析了四（1）班學生的平均身高數據之后，教師進一步提出問題：“請同學們觀察四（1）班各小組學生的平均身高，你能估一估四年級學生的平均身高嗎？”由于數據量較多，學生估計四年級學生的平均身高各不相同，同時也感覺到在處理特別多的數據時，表格分析數據不夠直觀。此時，教師適時引入數據分析的另一種方法，繪制特殊的統計圖——散點圖，散點圖具有數形結合、直觀易懂的優勢，可以幫助學生體會平均數的“代表性”。教師運用多媒體進行動態演示，從四年級一個班級學生的身高散點圖，到兩個班級學生的身高散點圖……到五個班級學生的身高散點圖，如圖4所示。隨著散點圖人數不斷增多，散點的集中趨勢越來越明顯。此時，教師在圖中點子最密集的地方出示一條紅色直線，讓學生感悟平均數的趨中性，深入理解平均數能夠代表一組數據的集中趨勢的特點。

圍繞四年級學生的平均身高這個情境，教師提出了以下問題：“四年級學生王軍目前的身高是132厘米，請同學們結合四年級學生的身高統計散點圖，分析王軍的身高情況并提出建議。平時生活中還有哪些情況需要用平均數來分析解決？”問題的設計主要培養學生的數據分析、判斷能力，引導學生根據對平均數的理解來解決生活問題、解釋生活現象，讓學生感受平均數在生活中的廣泛應用。

平均數的統計學意義和特有屬性是學生理解的難點。培養學生的數據意識，需要讓學生經歷調查研究、收集數據、分析判斷的過程，但在課堂有限的時間和空間里，無法讓學生完整地體驗統計的全過程。在課堂教學中，教師借助Excel表格的強大功能，通過觀察輸入數據的過程，借助多媒體的直觀性優勢，讓學生感受平均數的“靈敏性”；教師把平均數放到了一個不同的視角和更廣的領域，通過散點圖由少到多、集中趨勢越來越明顯的過程，讓學生理解平均數的“代表性”。信息技術與數學教學的融合，不僅展現了數據分析方法的多樣性，提高了教學效率，還幫助學生掃清了理解障礙，突破了學習難點，讓學生對平均數的理解水平突破算法水平和概念水平，最終達到統計水平的層次。

統計教學的核心是發展數據意識，在“平均數”這一教學課例中，求平均數的方法、數據分析是顯性知識的學習，統計概念的理解和感悟、數學推理能力的發展、數據意識的提高則是深層素養的培養。在教學實踐中，教師可以將真實情境問題作為載體，從學生已有知識和經驗出發，以解決問題為主線，引導學生從數據處理和分析的角度，感受平均數對分析和解決問題的價值，獲得對平均數概念和意義的深刻理解，從而發展數據意識，提高數學核心素養。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［3］劉加霞.“平均數”的本質及小學生理解水平解析［J］.湖北教育（教育教學），2021（2）：36-38.

作者簡介：賴艷彬（1978— ），廣西南寧人，碩士研究生，高級教師，主要研究方向為小學數學教學。

（責編 韋榕峰）