隧道支護設備機械臂運動學分析

陳世雨 任華 馮懷 楊偉

摘要：隧道建設中隧道支護為關鍵工序，針對需求國內大量公司研究所進行了其設備的研發，隧道內工況的復雜性，在產品設計好后需要驗證其是否能滿足施工和結構上的合理性，本次的產品結構新穎特殊集成多個功能，其操作控制難度高，故需要對其進行運動學分析。利用MOD_DH法確定兩個工作系統的參數、坐標系建立正運動學方程，為靈活適應需求兩個工作系統都為冗余機械臂，使用傳統解析法求解逆運動學分析上存在困難，故本次利用遺傳算法結合粒子群算法并加以改進，更好地滿足逆運動學求解需求，利于蒙特卡洛和拉丁超立方抽樣法進行設備工作空間的求解，然后在Matlab中進行仿真，結果表明該設備滿足施工要求，但兩個功能組不能同時工作，為后續的控制和結構改進提供了理論基礎。

關鍵詞：鑿巖與拱架抓手機械臂；MOD_DH；工作空間；逆運動學；改進遺傳粒子群算法

中圖分類號：TP241 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.11.009文章編號：1006-0316 （2023） 11-0062-10

Kinematics Analysis of the Mechanical Manipulator of Tunnel Support Equipment

CHEN Shiyu1，REN Hua1，FENG Huai2，YANG Wei1

（ 1.School of Mechanical Engineering， XihuaUniversity， Chengdu 610039， China;

2.Sichuan Lanhai Intelligent Equipment Manufacturing Co.， Ltd.， Chengdu 610039， China ）

Abstract：Tunnel support Tunnel support is a key process in tunnel construction. A large number of domestic companies and research institutes have carried out research and development of their equipment to meet the demand. Due to the complexity of working conditions in the tunnel， it is necessary to verify whether they can meet the construction and structural rationality after the product design is completed. Since The product structure is novel， special and integrated with multiple functions， it is difficult to operate and control it. Therefore， kinematics analysis is required. MOD_ DH method is used to determine the parameters and coordinate systems of the two working systems and establish the forward kinematics equations. In order to meet the requirements flexibly， the two working systems are redundant mechanical arms， and there are difficulties in inverse kinematics analysis. The traditional analytical method is not applicable. Genetic algorithm is combined with particle swarm optimization to better meet the requirements of inverse kinematics solution. It is convenient for the use of Monte Carlo and Latin hypercube sampling methods to solve the workspace. The result of simulation with Matlab show that the equipment meets the construction requirements， but the two functional groups cannot work at the same time. It provides a theoretical basis for subsequent control and structure improvement.

Key words：rock drilling and arch grab arm；MOD_DH；workspace；forward kinematics；genetic particle swarm optimization

國內隧道支護設備還處在研究階段、功能單一等問題，且主要為單一功能設備的研究，對多功能一體化設備在運動學上的研究較少，工作空間以及運動學控制都存在一些問題。本次的分析對象智能供錨噴一體化臺車，集成多種功能。本次分析其右臂架，集成鑿巖與拱架安裝功能，由于多功能的集成和高自由度造成控制困難高和工作空間不明確等問題，對其進行正運動學、逆運動學和工作空間驗證，為后續結構設計改進提供理論基礎，并且為后續的運動學控制提供理論基礎。

機械臂正運動學建模常用的方法有Pro-E[1]和D-H[2]兩種建模方法，正運動學一對一的映射關系，而逆運動學為一對多的映射關系[3]。常規的機械臂的逆運動學求解有封閉解法和數值解法[4]，兩種方法對機械臂的結構或者自由度存在要求，且存在計算量大、模型建立困難計、算過程復雜等問題，為此將群智能優化算法引入到機械臂的運動學逆解中，其中主流的有遺傳算法[5]、粒子群優化算法[6-7]、螢火蟲算法[8]、人工蜂群算法[9]等，其中Cheng X和Zhao M[10]提出一種結合了量子蟻群算法和神經網絡的MQACA-RBF算法提升運動學逆解位置精度。Dereli[11-12]提出利用兩個改進粒子群算法求解七自由度串聯機械臂和利用量子粒子群算法求解，并與標準粒子群、人工蜂群等算法求解效果進行比較，取得了更好的效果。石建平[13]對粒子群算法、克隆旋轉選擇算法和果蠅優化算法進行改進求解七自由度機械臂運動學逆解。

工作空間求解有數值法、解析法和圖解法，解析法不直觀而且自由度較少；圖解法直接明了，但高自由度下需要復雜分組處理；數值法計算量大，邊界曲線存在凹面時其準確性會下降[14-15]，因此統計學求解工作空間增多，主要有基于蒙特卡洛法[16]和基于拉丁超立方體抽樣方法[17]，通過隨機抽樣的方法，來模擬機械臂在各種關節情況下的輸出，當抽樣數量足夠多的時可以較為真實的反映實際的情況。

綜上所述，本文選用MOD_DH法進行正運動學建模，為了更快和更精準的實現逆運動學求解，本文提出一種改進遺傳算法和粒子群相結合算法，在幾種不同約束情況下進行逆運動學求解。為解決工作空間求解分析困難問題分別使用蒙特卡洛和拉丁超立方抽樣法對兩個工作組進行工作空間求解，以此驗證工作空間的正確性，分析工作空間上的問題，為后續的結構改進和運動控制提供理論基礎。

1 機械臂運動學方程建立

本次分析對象鑿巖與拱架安兩個功能，故將其分解為鑿巖機組與拱架抓手組兩個串聯機械臂。使用MOD_DH運動學建模，得到圖1和圖2兩組連桿坐標系圖（其中XYZ為坐標軸方向，下標為序號），得到兩個機械臂MOD_DH參數如表1和表2所示，其中兩組的前3個連桿參數一致，拱架抓手組為RRPPPRRRRRR型串聯機械臂，鑿巖組則為RRPPPRRPPP型串聯機械臂。

旋轉矩陣[18]如式（1）所示。

（1）

式中： 為旋轉矩陣；Rot為矩陣之間的旋轉變換；Trans為矩陣之間的平移變換； 、 為變換坐標軸； 、 為變換角度； 、 為移動距離；下標為序號；c代表cos；s代表sin。

依據式（1），通過上述矩陣之間的旋轉Rot和平移Trans變換就可以得出機械臂各關節之間的齊次變換矩陣，將表1和表2中拱架抓手和鑿巖機的MOD_DH參數代入式（1）可得到各個關節變換矩陣為：

（2）

（3）

式中： 為拱架抓手組第10個矩陣； 為鑿巖機組的各關節齊次變換矩陣。

其余矩陣都為類似結果。根據鏈式計算法則，可以計算得出末端執行機構相對于基坐標系的位置與姿態，如此得到的齊次變換矩陣即為該機構的運動學方程：

（4）

拱架抓手組和鑿巖機組的N分別為11和10；n向量表示末端執行端坐標系X軸相對于基坐標的旋轉向量，同理，o向量與a向量分別表示末端執行端坐標系Y軸與Z軸相對于基坐標的旋轉向量，而p向量表示末端執行端相對于基坐標的平移向量[19-21]，將所有齊次方程相乘得到各個向量的代數值如下：

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

式（5）～（10）為拱架抓手組計算結果，由拱架抓手組的正運動學方程計算結果可以看出，該設備的末端執行端的位置只與關節θ1、θ2、...、θ10相關與θ11無關，該為工具坐標系的產物在后續的計算中不用考慮（視為常數值），同理也可以得到鑿巖組的計算結果（式子與拱架抓手組相似這里就不做展示），通過其正運動學方程計算結果可以看出在鑿巖組的末端執行位置只與θ1、θ2、...、d9相關與θ10無關也將其視為常數值。上面建立的運動學方程，在知道各個關節的具體變化后就能得出末端執行端相對于基坐標系的位置與姿態。

本次工作空間的求解與仿真都在Matlab ?平臺下進行，本次主要使用了RoboticsToolbox工具箱進行相關的編程與可視化仿真操作[22-23]。鏈式矩陣在Matlab中編寫正運動學求解函數 和工具自帶正運動學求解函數fkine進行相互驗證，結果相同證明其正運動學方程正確。將表1和表2的MOD_DH參數輸入并設置關節的運動范圍和類型，最后通過SeriaLink函數構建整個模型，在仿真時加入teach函數實現手動控制關節角度的變化來觀察模型的運動變化以及位置和姿態的數值變化，得到仿真模型如圖3、圖4所示。

2 改進遺傳粒子群算法逆運動學求解

（1）粒子群算法

受鳥類覓食行為的啟發，Kennedy和Eberhart提出了粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[15]，但粒子群優化算法在對冗余的機械臂求解的時候會有陷入局部最優的情況，本次選擇遺傳算法與粒子群相結合并加以改進，本次主要是通過對標準遺傳粒子群算法中的初始化以及越界以及權重進行了一定改進，在初始化中引入混沌運動，利用其遍歷不重復和偽隨機性對種群混沌初始化，在越界上對于超過邊界的種群利用標準的粒子群初始化進行重新賦值，這樣可以使種群更加多樣性避免簡單的一刀切而使算法錯過最優解，提升搜索能力，利用隨機震蕩慣性權重在算法剛開始尋優時以高速前進保證搜索速度，在后期減慢速度，提升搜索精度。混沌初始化公式、簡單初始化公式分別為：

（11）

（12）

式中： 為粒子的位置；vij為粒子的速度；i和j為第i個粒子的第j維； 、 分別為粒子位置的上下邊界； 、 分別為粒子速度的上下邊界； 和 是范圍為[-1，1]的混沌變量； 、 和 是范圍為[0，1]的隨機變量。

式（11）和式（12）主要是為增加種群多樣性和提升搜索能力。

震蕩遞減慣性權重為：

（13）

式中：?為震蕩遞減慣性權重（ 與 一般情況下取0.9與0.4），它可以控制搜索速度； 為最大迭代次數；k為當前迭代次數；e為自然常數，其變化趨勢如圖5所示。

改進遺傳粒子群算法的步驟如圖6所示。

（2）目標函數

優化算法求解逆運動學問題是將機械臂逆運動學求解設轉化為優化問題，這就需要設置合適的優化目標函數，故本次將使用兩個優化目標函數進行逆運動學求解，第一個優化目標函數只考慮末端執行端的位置定義為位置誤差

函數，函數設置為 姿態坐標的影響為：

（14）

式中： （i＝x，y，z）為知己的末端執行端的位置； 為智能算法找到的末端執行端的位置，將兩者對于相減后得到位置誤差。

第二個優化目標函數加入姿態影響，函數設置為：

（15）

式中： 為加權調整系數用于調節位置誤差和姿態誤差，避免位置誤差過大時淹沒姿態誤差；

而 、 、 、 （i＝x，y，z）為已知矩陣向量； ， ， ， 為智能算法求出關節最后得到

的矩陣向量，對應相減得到誤差。

在這里將拱架抓手已知的目標矩陣設置為[1，0，0，10597; 0，0，1，-920; 0，-1，0，1202; 0，0，0，1]，代入函數f（x2）的目標函數中，將鑿巖機已知目標矩陣設置為[1，0，0，880.3; 0，-1，0，1284.8; 0，0，-1，-1519; 0，0，0，1]代入函數f（x1）的目標函數中。將兩者利用改進遺傳粒子群算法進行求解，算法的適應度收斂圖如圖7、圖8所示。通過將目標矩陣與求解出的矩陣各個參數作差得到誤差絕對值為：

（16）

通過對應的求解，得出各個關節角度如表3和表5所示，以及其誤差如表4和表6所示，這里工具關節沒有列出，在誤差求解中拱架抓手組考慮了位置姿態故所求解出姿態誤差，而鑿巖機組只考慮了末端執行端的位置，誤差也只考慮了末端執行端的位置。圖7中拱架抓手組改進遺傳粒子群算法最后收斂度為0.3而其余算法在2以上，且在35步左右開始收斂收斂速度也比較快，圖8中鑿巖機組改進遺傳粒子群算法最后收斂度為0.06，其余算法也在2以上，并且也在38步左右開始收斂。和表4拱架抓手組的位置和姿態誤差中位置誤差為0.05左右比標準的遺傳粒子群算法略高一點，但在姿態誤差中為0.08左右均低于其算法，表6中鑿巖機的位置誤差為0.06左右只別標準遺傳粒子高一點。綜上可以看出改進遺傳粒子群算法在進行逆運動學求解時其收斂速度比較快，在最終求解值的誤差也比較小特別是在約束條件多的情況下，該算法可以用于后面類似結構的設備的逆運動學求解上。

3 空間求解

本次的由于分析對象的結構特殊性故分布使用其中一種方法進行工作空間的求解。對于拱架抓手組采用的是基于拉丁超立方體抽樣方法進行工作空間求解，對于一個具有N個維度的向量空間，使用M個隨機抽樣抽取的拉丁超立方抽樣步驟第一步為將每個維度的向量進行單獨存儲，且具有M個分區，保持個區間獨立是抽取概率相同，第二步為在每個維度中的每個分區隨機抽取一個代表點，第三步為分別將每個維度的向量里面隨機抽取第二步驟中的一個點，組成N×M的立方矩陣，最后將所有點代入正運動學程序中求解并將所有點繪制成工作空間云圖。

這里的維度設為11，因為拱架抓手組連點工具組可以看做11個關節，對旋轉和平移關節進行上下邊界的限制如下所示：

（17）

式中： 為旋轉關節； 、 分別為最大、最小角度；d為移動關節； 、 分別為最大最小移動距離。

為更加逼近拱架抓手組實際情況這里選擇60 000個抽樣點這樣工作空間求解時的樣本點足夠多，能夠得到更多的空間點繪制出更加接近真實的工作空間云圖如圖9所示。

接下來采用蒙特卡洛法對鑿巖組進行工作空間的求解，蒙特卡洛法步驟更為簡單，主要是設置關節上下邊界，通過RAND[0-1]的隨機函數乘以關節范圍，得到各關機的隨機變量為：

（18）

移動關節相關處理式子與旋轉關節處理式子同理。代入正運動學方程求解將所有點繪制成工作空間云圖。

對鑿巖機的工作空間求解，這里的維度為10，為更加逼近實際情況，一樣選著60 000抽樣點，這樣工作空間求解時的樣本點足夠多，能夠得到更多的空間點繪制出更加接近真實的工作空間云圖如圖10所示。

由圖9、圖10可看出拱架抓手組三維工作空間云圖呈現斜向橢球形，通過圖中各方向投影圖可知拱架抓手組在X軸方向的工作邊界為（0 mm： 111 600 mm）、Y軸方向的工作邊界為（-8 200 mm： 5 000 mm）、Z軸方向的工作邊界為（-3 100 mm： 11 500 mm），鑿巖機組三維工作空間云圖同樣呈現斜向橢球形，通過圖中各方向投影圖可得出鑿巖機組在X軸方向的工作邊界為（-4 800 mm： 15 600 mm）、在Y軸方向上的工作邊界為（-11 800 mm： 10 000 mm）、Z軸方向上的工作邊界為（-6 900 mm：17 000 mm），這里以雙向六車道高速公路中的隧道為參考對象，其屬大跨徑扁平隧道，其中寬14.5 m、限高5 m，內輪廓凈寬為15.25 m、凈高7.7 m[24]。可以看出無論是拱架抓手組還是鑿巖機組的工作空間邊界都能很好的覆蓋施工范圍，驗證了兩個工作都能很好的滿足施工作業要求。上述得出數據還能發現X、Y和Z軸三個方向上鑿巖機組的工作邊界基本上完全包裹了拱架抓手的工作邊界，這說明在整個工作空間中兩個工作組有大量工作空間重疊，若兩個工作組若同時工作便可能會發生相互碰撞和干擾且拱架抓手組在工作時其吊籃內會存在工作人員，所以兩個工作組不能同時運行以免造成人員危險和設備損壞，如今的主要是通過人為控制和干預，但這還是無法避免一些誤操作的情況還需要在控制上還需要加上相關的控制閥防止同時工作或者臂架上的部件加上碰撞檢測裝置在碰撞后自動后退和停止，避免因為誤操作而導致的相關人員危險和設備損失。而其控制難度也比較大，故需求進行軌跡規劃來為控制等改進提供理論基礎，本文的正運動學和工作空間分析還可為后續的結構改進提供參考。

4 結語

本次以隧道支護設備的一個集成兩個功能的機械臂為例進行分析，根據MOD_DH建立正運動學方程，利用改進的遺傳粒子群算法通過不同的目標函數進行逆運動學求解，并進行

比較和誤差計算，本次改進后的遺傳粒子群算法在求解本模型有較好的準確性、效率性和通用性，本更快速的根據本類產品模型的改變進行調整更改，在本類產品的高自由度下能夠比較快速和精準的進行求解。通過Matlab Robotics Toolbox對兩個功能機械臂進行仿真，利用拉丁超立方和蒙特卡洛法對機械臂空間進行求解與仿真，驗證了其滿足施工需求，但存在著工作空間的重合，需要設置監控系統避免誤操作導致人員和設備的損失，在后續研究中可以針對兩個工作系統進行自我避障分析，也為后續的該類似多功能機械臂在控制和結構改進提供理論基礎，在工作空間上提供驗證參考。

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