基于改進Knothe 時間模型的地表移動延續時間預測

張亮亮 ， 程 樺,2 ， 姚直書 ， 王曉健

(1.安徽理工大學 土木建筑學院, 安徽 淮南 232001；2.安徽大學 資源與環境工程學院, 安徽 合肥 230022)

煤層開采后頂板發生垮落、斷裂變形，該變形逐漸向上傳遞引起地表發生移動變形，導致地面沉降、建筑物及基礎設施受損，嚴重影響礦區居民生命財產安全[1-2]。大量研究表明，地表移動變形過程一般分為初始階段、活躍階段和衰退階段，且在衰退階段連續6 個月累計地表下沉量不超過30 mm，則認為地表移動與變形達到穩定狀態，這3 個階段經歷的時間總和為地表移動延續時間[3]。受地層構造和流變特性等因素影響，煤層開采結束后地表移動變形并沒有立即停止，而是存在明顯的滯后現象，自煤層停采至地層移動變形最終穩定這段時間內地表建(構)筑物仍可能發生破壞。因此，精確預計地表移動延續時間對于地表及地面設施的穩定性評估至關重要。

20 世紀50～60 年代，我國開始建立開采地表沉降監測站，獲得了大量的地表移動變形監測數據，為地表移動延續時間預測模型建立提供了數據支撐。《建筑物、水體、鐵路及主要井巷煤柱留設與壓煤開采指南》(以下簡稱“三下開采指南”)考慮了煤層平均采深的影響，分別給出了平均采深大于400 m 和小于400 m 開采條件下地表移動延續時間的經驗計算公式[4]；張廣偉等[5]分析了覆巖巖性、采深、開采速度、開采尺寸、采厚和頂板管理方法對地表移動延續時間的影響，采用數理統計的方法獲得了地表移動延續時間計算公式；鄭志剛等[6]采用回歸分析的方法，得到厚松散層綜放開采條件下地表移動延續時間與松散層厚度和采深的關系；安士凱等[7]綜合考慮了采深、采厚、松散層厚度和工作面開采速度等地表移動延續時間影響因素，采用擬合的方法建立了厚松散層礦區地表移動延續時間計算模型；美國西弗吉尼亞大學PENG[8]給出了能夠考慮采深、工作面開采速度和邊界角等影響因素的地表移動延續時間計算公式；李春意等[9]考慮了采動程度、覆巖巖性和采深等多種因素的影響，提出了非充分采動條件下地表移動延續時間的經驗計算公式。

上述地表移動延續時間預測模型主要是經驗公式和基于實測數據擬合獲得的，針對特定地質條件和開采條件下預測精度較高，但由于不同礦區煤炭資源賦存條件和開采強度差異較大，上述模型難以精確預測不同煤層采高、采深和煤層開采速度等條件下地表移動延續時間，主要存在以下3 點不足：① 地表移動延續時間預測模型主要是依靠現場施工經驗或基于監測數據擬合得到的，理論基礎薄弱，而且各經驗公式形式不統一，不利于推廣應用；② 經驗模型參數確定方法不一致，使得各礦區估算的模型參數相差較大，最終預測的地表移動延續時間與實際情況誤差較大，預測精度低；③ 經驗公式考慮的地表移動延續時間影響因素較少，難以充分體現煤層采高、采深和煤層開采速度等因素的影響。因此，亟待建立一種表達形式簡單、模型參數數量少且易確定、精度高、適用性強的地表移動延續時間預測模型。

筆者在經典Knothe 時間模型的基礎上，提出新的模型假設，建立僅含一個模型參數且與實際地表動態沉降規律一致的改進Knothe 時間模型。在此基礎上，根據地表移動延續時間的定義建立了不同地質條件和開采強度條件下地表移動延續時間預測模型，采用20 個礦區地表移動延續時間監測數據驗證了模型的精確性和合理性。

1 Knothe 時間模型

1952 年，波蘭學者Knothe 做出了以下假設：地表某點的瞬間沉降速度與該點的最終沉降量W0和瞬間沉降量W(t)之差成正比例關系[10-11]，建立了微分方程來描述地表動態沉降過程：

式中，c為與上覆巖層力學性質有關的時間影響系數；t為時間。

對式(1)進行分離變量并結合t=0,W(t)=0邊界條件，得到地表沉降量與時間的函數，即

由式(2)可知，Knothe 時間模型描述的地表沉降與開采時間呈單調增加的指數函數關系，而實際煤層開采引起的地表沉降一般經歷初始階段、活躍階段和衰退階段，時間近似成“S”型曲線規律，且Knothe 時間模型描述的地表沉降速度與實際情況相差較大，因此經典的Knothe 時間模型不能準確描述地表動態沉降過程[12-14]。

2 改進Knothe 時間模型

Knothe 時間模型因其參數少且函數形式簡單被廣泛應用，但隨著研究的深入，該模型精度低的缺點逐漸顯現。對此，國內外提出了大量的改進Knothe時間模型，但仍存在函數形式復雜、模型參數多、物理意義不明確和難以推廣使用等不足之處，關鍵原因之一是由于現有改進Knothe 模型難以從Knothe 時間模型的基本假設入手，而是通過增加或修正Knothe 時間模型參數的方式加以改進，這種方法雖然能提高模型精度，但理論基礎薄弱，增加或修正的模型參數物理意義不明確。為此，筆者在經典Knothe 時間模型基本假設的基礎上，提出了新的模型假設，建立改進的Knothe 時間模型。

大量現場監測數據表明，煤層開采地表沉降速度與沉降量滿足先從0 逐漸增加至最大值，然后由最大值逐漸減小為0 的變化規律，該規律與一元二次函數相似，故可假設

式中，k、b為系數。

研究表明，當地表沉降量約為最大沉降量的一半時，沉降速度達到最大值[15]，故有

將式(4)代入式(3)得到

根據式(5)，參考Knothe 時間模型假設，提出新的模型假設：地表某點的瞬間沉降速度與該點的最終沉降量W0和瞬間沉降量W(t)之差和瞬間沉降量W(t)的乘積成正比關系，即

式中，C為改進Knothe 模型的時間影響參數，C=-k。

解式(6)得

對式(7)兩邊進行積分得

式中，A為積分常數。

將式(8)進行化簡得

式中，B為積分常數。

實際監測過程中難以精確地判斷地表點的臨界沉降時刻，通常以沉降量達到10 mm 的時刻作為沉降開始時刻[16-17]，即t=0 時，W(t) =0.01 m，根據式(9)有

將式(10)代入式(9)，得到改進Knothe 時間模型描述地表動態沉降函數為

對式(11)求時間的導數得到地表動態沉降速度v(t) 和沉降加速度函數a(t)為

根據式(11)、(12)得到不同模型參數C對應的地表動態沉降、沉降速度和沉降加速度曲線，如圖1 所示。

由圖1 可知，模型參數C主要影響地表達到最大沉降量的時間。C越大，時間越短；而對于地表沉降速度和加速度而言，C不僅影響達到最大沉降速度和加速度的時間，而且也影響地表最大沉降速度和加速度。C越大，地表最大沉降速度和最大加速度越大。從曲線形態看，改進Knothe 時間模型描述的地表沉降曲線近似為“S”型曲線，沉降速度速度近似為正態分布曲線，加速度近似為正弦函數曲線，這與實際情況一致，因此改進的Knothe 時間模型可用于描述地表動態移動過程。

此外，結合圖1 和式(11)可知，改進Knothe 時間模型僅含一個模型參數C，相對于其他模型更有利于現場應用，相對于Knothe 時間模型而言，在沒有增加參數的前提下，所描述的地表沉降、沉降速度和沉降加速度變化規律更符合實際情況，其精度得到提高。

3 地表移動延續時間預測模型建立

3.1 模型建立

煤炭開采引起的地表移動與變形是一個復雜的時間和空間問題。如圖2 所示，一般認為地表沉降量達到10 mm 至沉降速度達到50 mm/月或1.7 mm/d為地表沉降初始階段，沉降速度大于50 mm/月或1.7 mm/d 為地表沉降活躍階段，沉降速度小于50 mm/月或1.7 mm/d，且當連續6 個月的地表累計沉降量小于30 mm 時，為地表沉降衰退階段，這3 個階段所經歷時間的總和稱為地表移動延續時間[18-19]。

圖2 地表移動3 階段Fig.2 Three stages of surface movement

“三下開采指南”給出了地表移動延續時間計算公式為

式中，T1為“三下開采指南”預測的地表移動延續時間；H為平均采深。

式(13)表達形式不統一，且僅考慮了平均采深一個因素對地表移動延續時間的影響，因此該公式預測精度較低，適用性不廣。為此，根據改進Knothe 時間模型，建立新的地表移動延續時間預測理論模型。

根據圖3 和地表移動延續時間定義，當衰退階段結束對應的時刻即為地表移動延續時間，假設該時刻為T2，根據式(11)得到此時刻地表沉降量W(T2)為

圖3 地表移動延續時間計算模型Fig.3 Calculation model of surface movement duration

同時假設每個月為30 d，根據式(11)得到在地表移動穩定前6 個月的地表沉降量W(T2-180)為

根據地表移動延續時間的定義，則W(T2-180)和W(T2)兩個沉降量之間需滿足：

式中，T2為基于改進Knothe 時間模型預測的地表移動延續時間。

式(16)要求左邊預測值≤30 mm，即當T2時刻的沉降量和T2-180時刻的沉降量之差剛好為30 mm時的T2為地表移動延續時間。由于式(16)左邊預測沉降量差值的單位為“m”，而右邊單位為“mm”，為了統一，式(16)可轉化為

對式(17)進行化簡得

式(18)即為基于改進Knothe 時間模型的地表移動延續時間預測模型，該模型是基于嚴格的理論推導而得，相對于傳統經驗預測模型，其理論基礎更加扎實，而且該模型僅含一個模型參數C，便于現場應用。

根據同樣的建模方法，可獲得Knothe 時間模型預測地表移動延續時間計算公式為

式中，T0為Knothe 時間模型預測的地表移動延續時間。

3.2 模型參數確定

根據概率積分理論，近水平煤層開采條件下，當開采范圍達到充分開采的臨界值時，地表最大沉降量近似等于0.98W0[20-21]。假設開采速度為vk，采空區臨界尺寸為Lf，則達到充分開采的臨界時間可表示為Lf/vk，結合式(11)得到改進Knothe 時間模型影響參數C的計算公式為

由于開采速度容易確定，因此確定時間模型參數的關鍵在于確定達到充分開采時采空區的臨界尺寸。大量研究表明，當工作面推進距離為1.4H時達到充分開采[22]，因此Lf為

將式(21)代入式(20)得到模型影響參數C的計算公式為

將式(22)代入式(18)，得到基于改進Knothe 時間模型的地表延續時間預測模型為

從式(23)可以看出，筆者建立的地表延續時間預測模型不僅能考慮平均采深的影響，而且能考慮工作面開采速度的影響。由于地表最大沉降量與煤層采高和傾角密切相關，因此預測模型能同時考慮平均采深、工作面開采速度、煤層厚度和傾角的綜合影響，其適用性相對于“三下開采指南”的地表延續時間預測模型更加廣泛。

4 模型驗證

收集、統計20 個礦區工作面開采參數，主要包括平均采深H、煤層厚度M、煤層開采速度vk和地表最大沉降量，結果見表1。將表1 參數代入式(22)，得到改進Knothe 時間模型參數C，再將C代入式(18)，得到20 個礦區的地表移動延續時間預測值T2。同時，分別根據式(13)、(19)計算得到“三下開采指南”和Knothe 時間模型預測的地表移動延續時間T1和T0，3種模型預測結果見表2。將T2、T1和T0與各礦區地表移動延續時間監測值TM進行對比，來驗證預測模型的精確性及合理性，對比結果如圖4～6 所示。

表1 20 個礦區工作面參數Table 1 Parameters of working faces in 20 mining areas

表2 20 個礦區地表移動延續時間預測值和實測值Table 2 Predicted and measured values of surface movement duration in 20 mining areas

圖4 “三下開采指南”預測值和實測值對比結果Fig.4 Comparison between predicted value of “Three underground mining” and measured value

圖5 Knothe 時間模型預測值和實測值對比結果Fig.5 Comparison between predicted values of Knothe model and measured values

由表2 和圖4、5 可知，20 個礦區地表移動延續時間實測值和“三下開采指南”預測值相差較大，預測精度低。當平均采深大于400 m 時，預測值和實測值最小相差523 d，最大相差1 322 d；當平均采深小于400 m 時，預測值和實測值最小相差18 d，最大相差111 d。說明“三下開采指南”預測公式主要適用于平均采深小于400 m 的情況，當平均采深超過400 m 后，該公式預測精度較低，適用性不強。Knothe 時間模型預測精度要明顯高于“三下開采指南”，但20 個礦區中，有12 個礦區的地表移動延續時間預測值和實測值的誤差超過100 d，因此該模型的預測精度仍較低。

由表2 和圖6 可知，20 個礦區地表移動延續時間實測值和本文建立的模型預測值基本吻合，預測精度高，驗證了模型的合理性和精確性。同時，20 個礦區平均采深變化范圍為72.5～920.0 m，煤層厚度變化范圍為1.8～10.7 m，開采速度變化范圍為1.0～ 9.6 m/d，而本文建立的地表移動延續時間預測模型預測結果與實測結果接近，兩者最小相差僅9 d，說明該預測模型適用性較強，能用于不同地質條件和不同開采強度的地表移動延續時間預計。

圖6 改進Knothe 時間模型預測值和實測值對比結果Fig.6 Comparison between predicted values of improved Knothe model and measured values

為了進一步驗證本文建立的預測模型精度，在不考慮測量誤差的情況下，對20 個礦區地表移動延續時間實測值和預測值的均方根誤差(ERMS)[23]進行分析，計算公式為

誤差計算結果表明：“三下開采指南”預測值和實測值的均方根誤差高達882 d，Knothe 時間模型預測值和實測值的均方根誤差為152 d，而本文建立的地表移動延續時間模型預測值和實測值的均方根誤差僅為64 d，低于“三下開采指南”預測模型和Knothe時間模型，預計精度可以滿足現場工程應用的要求。誤差分析進一步證實了本文所建立的地表移動延續時間預測模型的精確性和合理性。

5 影響因素分析

5.1 煤層采高

由式(23)可知，地表移動延續時間主要受煤層采高、平均采深和煤層開采速度影響，分析各參數對地表移動延續時間的影響規律，對不同工程地質條件和開采強度下地表移動穩定狀態評價具有重要的理論指導意義。假設煤層開采速度為3 m/d，下沉系數q為0.8，平均采深為500 m，計算水平煤層開采條件下，采高分別為2.0、2.5、3.0、…、6.0、6.5 和7.0 m 時地表移動延續時間，結果如圖7 所示。

圖7 采高對地表移動延續時間的影響Fig.7 Influence of mining height on surface movement duration

由圖7 可知，地表移動延續時間隨煤層采高的增加而增加，且增加幅度逐漸減小。這是由于煤層采高越大，開采引起的地表移動變形越劇烈，恢復到穩定狀態需要更多的時間，因此地表移動延續時間越久。當采高由2 m 增加至7 m 時，地表移動延續時間由415 d 增加至443 d，僅增加了28 d，可見煤層厚度的增加引起地表移動延續時間的增加幅度并不明顯。

5.2 平均采深

假設煤層開采速度為3 m/d，采高為3 m，下沉系數為0.8，計算平均采深分別為200、250、300、…、600、650、700 m 時地表移動延續時間，結果如圖8所示。

圖8 平均采深對地表移動延續時間的影響Fig.8 Influence of mining depth on surface movement duration

由圖8 可知，地表移動延續時間隨煤層平均采深的增加而線性增加。這是由于煤層平均采深越大，開采引起的上覆巖層移動變形傳遞至地表需要更多的時間，地表從開始沉降至最終沉降穩定需要的時間也越多，因此地表移動延續時間越長。當平均采深由200 m 增加至700 m 時，地表移動延續時間由278 d增加至523 d，增加了245 d，增加幅度十分顯著。但由于實際開采工程中，煤層開采深度已經確定，因此難以通過改變采深來控制地表移動延續時間。

5.3 煤層開采速度

假設煤層采高為3 m，下沉系數為0.8，平均采深為500 m，計算開采速度分別為2、3、4、…、10、11和12 m/d 時地表移動延續時間，結果如圖9 所示。

圖9 開采速度對地表移動延續時間的影響Fig.9 Influence of mining speed on surface movement duration

由圖9 可知，地表移動延續時間隨煤層開采速度的增加而非線性減小，并逐漸趨于平緩。這是由于煤層開采速度越大，工作面回采結束需要的時間越短，地表從開始沉降到最終沉降穩定需要的時間越少，因此地表移動延續時間越短。當開采速度由2 m/d 增加至5 m/d 時，地表移動延續時間由547 d 減小至291 d，減小了256 d，減小幅度十分顯著；但當開采速度由5 m/d增加至12 m/d 時，地表移動延續時間由291 減小至226 d，僅減小了65 d，減小幅度不明顯。因此，在實際開采過程中，當開采速度小于5 m/d 時，可通過適當加快煤層開采速度來縮短地表移動延續的時間，但當開采速度超過5 m/d 時，通過加快煤層開采速度來縮短地表移動延續時間的效果并不明顯。

6 結 論

(1)基于經典Knothe 時間模型假設，提出了新的模型假設，建立了僅含一個模型參數，且能夠精確描述地表動態沉降規律的改進Knothe 時間模型，理論分析表明改進Knothe 時間模型描述的采動地表動態沉降規律與實際情況一致。

(2)基于改進Knothe 時間模型，建立了地表移動延續時間預測模型，該模型僅含一個模型參數，且能綜合考慮煤層采高、平均采深和煤層開采速度對地表移動延續時間的影響。

(3)采用地表移動延續時間預測模型對20 個礦區不同地質條件和開采強度條件下的地表移動延續時間進行預測，結果表明預測結果與20 個礦區監測結果基本吻合，2 者均方根誤差僅為64 d，驗證了預測模型的精度。

(4)地表移動延續時間隨煤層采高的增加而非線性增加，隨平均采深的增加而線性增加，但隨煤層開采速度的增加而非線性減小。當開采速度小于5 m/d時，可通過適當增加煤層開采速度來縮短地表移動延續時間。