GeoGebra技術下的立體幾何規則課單元教學探微

李小琪

(廣東華僑中學,廣東 廣州 510000)

立體幾何是高中數學的重要內容,也是高考的必考內容,但它往往是學生心中的“攔路虎”,也是部分教師教學上的一大難點．它不僅需要學生熟練掌握概念、基本事實、定理、公式等基礎知識,還需要具備較強的邏輯推理、空間想象和綜合分析的能力,并且它幾乎涵蓋了《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱 《新課程標準》)中提出的六大核心素養:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析．這就對教師提出了更高的要求,如何借助信息技術的有效手段,設計合理的教學方式,在規則課階段給學生打下良好的基礎,值得我們探究與實踐.筆者結合自身的教學實踐,借助GeoGebra(以下簡稱GGB)軟件,對立體幾何規則課進行整體設計,在此提出一些觀點與看法．

1 規則課概念重基礎

根據加涅的學習結果分類,高中數學中的性質、法則、公式、公理、定理等都屬于智慧技能中的規則,這些是很明顯的,還有一些規則就不那么明顯,如一些數學基本題的解法.以高中數學中的法則、公式、公理、定理、數學重要結論和數學基本題的解法等數學規則的教學作為主要教學任務的一類課,統稱為高中數學規則課型[1].本文所提的立體幾何規則課是指以認識基本立體圖形,空間點、線、面的位置關系,特別是直線、平面的平行和垂直這兩種特殊關系為主要教學內容的課型.

2 單元設計——提站位

《新課程標準》要求高中數學課程以學生發展為本,以落實立德樹人為根本任務,培育學生的科學精神和創新意識,提升數學學科核心素養.在教學建議中明確指出要“整體把握教學內容,促進數學學科核心素養連續性和階段性發展.”這就要求教師必須提升教學設計的站位,即從關注單一的知識點、課時轉變到大單元設計,只有這樣,才能真正實現教學設計與素養目標的有效對接[2].

2.1 單元教學設計

單元教學設計是指教師在整體思維模式下,對單元課程規范方案和單元內的課時教案進行整合設計的教學計劃[3].單元教學設計是教師對教材中具有＂某種內在關聯性＂的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的單元(主題),以數學單元(主題)知識為主要線索,遵守學習規律、認知規律和數學教學原則,以培養和發展數學核心素養為目標的一種教學設計.

2.2 立體幾何的研究體系

立體幾何初步的主要研究內容為直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系,基本立體圖形(柱、錐、臺、球)的結構特征,特別重要的是空間中的平行和垂直以及兩者之間的密切關聯,因為它們是整個定量立體幾何的基礎所在.

圖1 立體幾何初步知識結構

3 GGB軟件——強學習

立體幾何不同于平面幾何紙面上的展示,需要學生對幾何體性質和結構的抽象思考,信息技術的引入可以使立體幾何教學更加直觀、簡單和高效,增強立體幾何教學的科學性、生動性和高效性．GeoGebra軟件是一款集幾何(geometry)、代數(algebra)、表格、圖形、統計和微積分的動態數學軟件,具有同時處理代數與幾何的功能,既有平面幾何區域,也有3D繪圖區,在立體幾何單元教學中主要用到“3D繪圖區”.下面僅從“認識空間幾何(體)”選取例子展示.

案例1 可變化為柱體、椎體的臺體

圖2 可變化為柱體、椎體的臺體

當移動滑動條“上下相似比r”至最左端即r=0時,幾何體變為椎體;當滑動條“上下相似比r”移至最右端即r=1時,幾何體變為臺體．當移動滑動條“底面邊數n”至右端,如n=25時,可觀察幾何體由多面體近似為旋轉體, 可以讓學生直觀理解棱柱與圓柱、棱錐與圓錐、棱臺與圓臺體積公式的一致性,體現了微積分思想,從而培養學生的直觀想象素養.

圖3 臺體變椎體

圖4 臺體變柱體

圖5 多面體近似為旋轉體

案例2 平面的基本性質(課堂選錄)

筆者沒有采取書本上從實際生活真實情境(自行車腳撐、三角架)中提煉,得到“不共線三點確定一個平面”的基本事實,而是采用了一個簡單的問題引導式探究推理,也為后續“位置關系”課時的形式做鋪墊,采取了先推理再事實驗證的模式,實踐表明學生接受度、理解度較高.該教學設計以維果斯基的“最近發展區”理論為支撐,教學應當為學生提供重新解決問題的機會,鼓勵學生在問題解決中學習,成為解決問題的主人.

問題1:我們初中在學習平面幾何知識時知道一個基本事實——兩點確定一條直線,現在我們進入研究立體幾何階段,升維,確定一個平面需要幾點呢?也是兩點嗎?或許更多?

問題2:我們先試試兩點能否確定一個平面,換句話說,一條直線能否確定一個平面?

由于Illumina Miseq測序得到的是雙端序列數據，首先需根據reads之間的overlap關系，將成對的reads 拼接(merge)成一條序列，同時對reads的質量和merge的效果進行質控過濾；然后再根據序列首尾兩端的barcode和引物序列區分樣品得到有效序列，并校正其序列方向。最后用MOTHUR軟件進行操作分類單元(OUTs)計算：先把基因序列相似性在97%以上的歸為一類后，再進行OTU picking和物種注釋分析，并通過計算稀釋性曲線，以及香農指數(Shannon-Wiener)和主成分分析(PCA)，對微生物的菌群結構和物種豐度進行分析。

筆者利用GGB軟件制作過一條直線的平面(圖6),實際是隱藏了第三個點C,通過創建與C數據有關的滑動條a,手動移動滑動條即改變C的位置,從而實現平面的“轉動”即平面的不確定性.

圖6 一條直線不能確定一個平面

問題3:顯然眼見為實,兩點不能確定一個平面,那我們就只能“加碼”吧,謹慎起見,先加一點吧,這點能隨便加嗎?

生:不能在這條直線上,否則就還是一條直線了,平面不能確定．應該是:不共線的三點能否確定一個平面?

筆者再選中上圖“代數區”的點C,即顯示出點C開啟追蹤點C的痕跡,可以看見＂不共線的三點確定一個平面＂即C走到哪里,都有唯一的平面同時包含A,B,C.

問題4:我們見識了加一個點,可以確定一個平面了,那再多加一個行不行呢?沒有任何三點共線的四個點,可以確定一個平面嗎?

生:不一定,不共線的三點已經確定一個平面了,這第四個點可能在平面內,也可能在平面外.

師:很好,就像我們研究平面幾何一樣,兩點確定一條直線,多一點,那就不一定只有一條直線了,特殊情況——三點共線;同理,升維,空間中不共線的三點確定一個平面,多一點,也不一定只有一個平面,當然,有特殊情況――四點共面.

筆者再選中軟件中的D點使其顯示,通過鼠標移動D點的位置,可以觀察D點可能在平面ABC內,也可能在平面外.

問題5:既然四點不一定確定一個平面,有特殊的四點共面的情況,那你們看看自己坐著的椅子是幾條腿的?為什么常見的椅子都是四條腿呢?當然三條腿的凳子也有.還有我們馬路上常見的車都是四個輪子在飛奔,當然三輪車也存在,這是為什么呢?

師提示:我騎過三輪車,直行還可以,但特別不好轉彎,一不小心就側翻了.

筆者通過這一生活中常見的情境,理論聯系實際,進一步理解與加深平面基本性質,并讓學生舉出生活中的實例,讓學生理解數學來源于生活,同時也鼓勵學生將數學用于生活,體會數學的生活美,從而提高學生學習數學的興趣,進而落實數學抽象素養.

案例3 從線線平行到線面平行再到面面平行(以判定定理為例)

筆者對于空間的位置關系教學處理,延續了“平面基本性質”的模式,從低維低級開始,層層“加碼”,以動態的點線面為線索,探究判定定理及性質成立需要的條件.

問題1:如果已知一條直線與另一條直線平行,需要一些什么條件才能得到一條直線與平面平行呢?

生:當然需要其中的一條直線“生”出一個平面咯.

師:那一條直線能確定一個平面嗎?不能,這個平面會“動”的,但是,盡管如此,無論這個平面“運動”到哪里,另外的那條直線始終與這個平面保持平行嗎?(圖8)

圖8 線面平行的判定

圖9 面面平行的判定

筆者先構建兩條平行的直線,再同案例2中圖6的操作生成一個包含直線AB的“轉動”綠色平面(這里隱藏了一個在單位圓上轉動的G點,可以生成G的動畫, 綠色平面就會圍繞直線AB進行360度旋轉),請學生親自操作移動視角,可以觀察到,在綠色平面的360度轉動過程中都是與另一條直線平行的,但有唯一一個位置除外,就是綠色平面“包住”這條直線時.

師:既然我們觀察到,“生”出來的這個平面雖然會“動”,但也足夠保證另一條直線與它平行了,只需要排除掉這條直線不在平面內就行了.由此我們可以得到線面平行的判定定理.

在得到線面平行的判定后,筆者又讓學生舉出生活中的實例(教師適當提示,比如我們現在坐在的教室里)比如門框、作業本等,理論聯系實際,以此來鞏固理解理論.

問題2:已經得到一個線面平行了,如果我還想進一步得到面面平行呢?

生:繼續“生”唄,這不還有一條直線嘛,由它再“生”個平面出來.

師:這個“生”出來的平面還是不確定的(因為只有一條直線),會“動”,那在這個平面的轉動過程中,也能始終保持與已有平面保持平行不變嗎?

生:不行!只有一個位置可以保持與已有平面平行,其它位置都不平行.

師:那看來“動”是不能滿足我們的要求了,怎么讓它確定下來呢?

生:加條件!再加一條直線,兩條直線可以確定一個平面.

師:加一條怎樣的直線,才能保證平面“待在”我們想要的位置呢?

生:與已知直線相交的直線,并且與已知平面平行.

至此,借助GGB軟件,我們將線線平行、線面平行與面面平行的判定定理建立了聯系,并建立了一套思維模式,也繼續用于性質定理以及垂直關系的推導與理解.更重要的是,通過信息技術的直觀展示,在學生頭腦中建立了動態想象,極大地提高了學生的空間想象力,從而落實數學直觀想象素養和邏輯推理素養.

信息技術應用于中學課堂教學,是可視化教學的優勢載體,能讓學生有直觀的感受,為形成概念、辨析理論打下良好基礎.利用GGB軟件的3D動態效果,為立體幾何單元規則課建立了很好的探究模型,課堂“動”起來,學生思維才會“動”起來,調動了學生探索的興趣,促進了學生的深度學習.