中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維培養(yǎng)路徑探究

魏靖函 鄧方安

(陜西理工大學(xué),陜西 漢中 723001)

隨著社會科技的高速發(fā)展,培養(yǎng)高素質(zhì)人才以適應(yīng)社會需求成為教育的重要目標(biāo).數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科,廣泛應(yīng)用到社會發(fā)展的方方面面,數(shù)學(xué)教育不僅能幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識與基本技能,而且還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出,高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一[1].數(shù)學(xué)思維分為數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)形象思維以及數(shù)學(xué)直覺思維.其中數(shù)學(xué)形象思維作為數(shù)學(xué)思維能力的重要基石,對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升起著關(guān)鍵作用.

1 數(shù)學(xué)形象思維的概念

數(shù)學(xué)形象思維指以各種形象或表象為支柱的思考和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程,以達(dá)到揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的目的,從而進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)活動.數(shù)學(xué)形象思維的基本形式包含:數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)聯(lián)想和數(shù)學(xué)想象.數(shù)學(xué)表象是由數(shù)的形象、圖形、圖像、表格、表達(dá)式、數(shù)學(xué)符號、模型等觀念形象在人腦中復(fù)現(xiàn)所形成的,主要呈現(xiàn)為圖形表象和圖式表象兩種基本類型,它是數(shù)學(xué)形象思維的基本要素[2].數(shù)學(xué)聯(lián)想是指以具體的數(shù)學(xué)表象為基礎(chǔ),聯(lián)系頭腦中已有的數(shù)學(xué)表象.數(shù)學(xué)想象是指通過數(shù)學(xué)聯(lián)想將已有的數(shù)學(xué)表象加工成新的數(shù)學(xué)形象,使數(shù)學(xué)形象思維具有創(chuàng)造性的特點(diǎn).

2 培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維的重要性

2.1 有助于提高中學(xué)生知識水平

法國著名數(shù)學(xué)教育家紹蓋認(rèn)為:一堆沒有親身體驗(yàn)或視覺形象所支持的概念定義之類的抽象的東西,不能開發(fā)智力,只能關(guān)閉思路.數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和證明的依據(jù),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的組成部分.數(shù)學(xué)概念是不會孤立存在的,任何數(shù)學(xué)概念一定是許多相互聯(lián)系的知識網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)點(diǎn).數(shù)學(xué)形象思維可以加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)換,優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).例如,在學(xué)習(xí)多邊形后可以建立如圖1的知識網(wǎng)絡(luò)體系,使學(xué)生感受數(shù)系的擴(kuò)充和知識間的聯(lián)系,有助于學(xué)生形成良好的概念圖式[3].

圖1 凸多邊(角)形知識導(dǎo)圖

2.2 有助于提高中學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科不僅要提高學(xué)生的知識水平,還需調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.但在大部分中學(xué)生眼中數(shù)學(xué)是極其抽象、復(fù)雜、單調(diào)的.因此很多中學(xué)生沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,甚至討厭數(shù)學(xué).如果教師想提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,打消學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的偏見,重視學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維的培養(yǎng)可以很好解決此問題.數(shù)學(xué)形象思維有助于中學(xué)生在頭腦中對數(shù)學(xué)知識形成具體表象,便于理解與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識.例如在學(xué)習(xí)平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角時(shí),從學(xué)生的實(shí)際生活情境出發(fā),利用教室中存在的平行線:窗戶的上下邊框等,向?qū)W生展示生活中具體的同位角、內(nèi)錯(cuò)角,不僅豐富了學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)表象,也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,將數(shù)學(xué)與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系起來.

2.3 有助于提高中學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力

數(shù)學(xué)問題的解決是中學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.影響學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的因素有很多,如對知識、公式、定理的理解,問題解決的思路等.其中問題解決的思路是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)家斯蒂恩認(rèn)為:如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.可見把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)形象有助于解題思路的產(chǎn)生,如例1.

例1把表示同一平面內(nèi)所有模不小于1且不大于2的向量的有向線段的起點(diǎn)移動到0點(diǎn),則這些有向線段的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積等于多少?

分析此問題并不復(fù)雜,解決的關(guān)鍵就是把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形象.如圖2,將同一平面內(nèi)所有模等于1的向量的有向線段的起點(diǎn)移動到0點(diǎn)構(gòu)成半徑為1的圓,同理可知,模等于2的向量的有向線段的起點(diǎn)移動到0點(diǎn)構(gòu)成半徑為2的圓,畫出圖像,發(fā)現(xiàn)問題中的有向線段構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán).

圖2 向量圖

解S=π·22-π·12=3π

3 中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維培養(yǎng)方法

3.1 加強(qiáng)直觀演示,豐富數(shù)學(xué)表象

數(shù)學(xué)是一門較為抽象的學(xué)科,要解決數(shù)學(xué)高度抽象性與學(xué)生具體形象思維之間的矛盾,重要的是采取直觀教學(xué)[3].研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生對知識的感知大多數(shù)來自于視覺刺激.在教學(xué)過程中教師需運(yùn)用PPT、幾何畫板、GGB等軟件,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象.例如在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí),運(yùn)用幾何畫板如圖3,直觀展示直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相離、相切,豐富學(xué)生數(shù)學(xué)表象,促進(jìn)數(shù)學(xué)形象思維能力的提升.

圖3 直線與圓的位置關(guān)系展示圖

3.2 創(chuàng)設(shè)情境,進(jìn)行想象

愛因斯坦說:“想象比知識更重要,因?yàn)橹R是有限的,而想象力概括著世界上的一切,推動著進(jìn)步并且是知識進(jìn)化的源泉.”想象是數(shù)學(xué)形象思維過程的一個(gè)重要環(huán)節(jié),在教學(xué)過程中教師可以通過情境創(chuàng)設(shè),豐富學(xué)生的形象能力.例如,函數(shù)的概念是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要部分,由于函數(shù)概念具有高度的概括性和抽象性,脫離了學(xué)生的實(shí)際生活,使學(xué)生難以理解.因此在教學(xué)中,教師從豐富多彩的現(xiàn)實(shí)生活出發(fā),展示“復(fù)興號”列車路程和時(shí)間的關(guān)系,工資與一周工作天數(shù)的關(guān)系,以及一天內(nèi)時(shí)間和空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系.由此引發(fā)學(xué)生想象:以上式子有什么特點(diǎn),它們之間有共同特征嗎?導(dǎo)入函數(shù)的具體概念以及本質(zhì)屬性.

思維定式是中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種常見現(xiàn)象,是指學(xué)生按照已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式,用某種固定的思維模式去思考和解決問題.思維定式可以幫助學(xué)生在解決同一類數(shù)學(xué)問題時(shí),通過不斷的練習(xí)和總結(jié),使學(xué)生再面對此類型題時(shí)可以將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題情境.思維定式也具有消極影響,學(xué)生形成思維定式之后在面對類似的問題時(shí),不善于轉(zhuǎn)變思維方式以多個(gè)角度去分析問題.因此,在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)過程中教師可以打破常規(guī),轉(zhuǎn)化角度對問題進(jìn)行思考,一題多解,培養(yǎng)學(xué)生的想象能力,促進(jìn)數(shù)學(xué)形象思維能力的提高,如例2.

例2 等差數(shù)列{an}中,a1<0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小?

分析本題首先通過已知條件確定數(shù)列是遞增數(shù)列,解法一是常規(guī)解法,通過等差數(shù)列的公式解決問題.解法二是運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì),結(jié)合題目條件得出答案,不僅解題過程簡單,還可加強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力,促進(jìn)數(shù)學(xué)形象思維的發(fā)展.

∵a1<0∴d>0,即等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.

解得10≤n≤11.

∴當(dāng)n為10或11時(shí),Sn取得最小值,

綜上數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.

∵a1<0∴d>0,即等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.

∵S9=S12,∴a10+a11+a12=3a11=0,∴a11=0.

∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴數(shù)列{an}前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.

3.3 注重?cái)?shù)形結(jié)合

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,建立了形象思維和抽象思維之間的橋梁,把復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)關(guān)系、直觀的數(shù)學(xué)表象連接起來,促進(jìn)中學(xué)生左右腦共同發(fā)展,如例3.

例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有兩實(shí)根,其中一根大于-1且小于0,另外一根大于1且小于2,求m的取值范圍.

分析根據(jù)已知條件畫出一元二次函數(shù)的圖形是解決問題的關(guān)鍵.二次項(xiàng)系數(shù)大于零,則函數(shù)圖象開口向上;一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根,則函數(shù)圖象與x有兩個(gè)交點(diǎn),根據(jù)題目畫出大概的函數(shù)圖象,如圖4.

圖4 一元二次函數(shù)圖

綜上,數(shù)學(xué)形象思維作為中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ),對中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要.在教學(xué)過程中,教師可通過加強(qiáng)直觀演示,豐富中學(xué)生的數(shù)學(xué)表象;創(chuàng)設(shè)情境,提高學(xué)生的想象能力;注重?cái)?shù)形結(jié)合來培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維能力.隨著教育改革的不斷深化,越來越多的人關(guān)注中學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)形象思維作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法,其有待研究之處還有很多,豐富數(shù)學(xué)形象思維思想方法的研究成果,不僅有助于學(xué)生自身的發(fā)展,也有利于數(shù)學(xué)其他方面的發(fā)展.