基于巖屑分形理論的巖石力學(xué)參數(shù)實時評價方法

徐聲馳, 楊虎, 李立, 常小龍, 劉銳, 周鵬高

(1.中國石油西部鉆探工程有限公司地質(zhì)研究院, 克拉瑪依 834000; 2.中國石油大學(xué)(北京)克拉瑪依校區(qū), 克拉瑪依 834000;3.克拉瑪依職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 克拉瑪依 834000)

眾所周知,巖石力學(xué)貫穿于整個石油天然氣勘探開發(fā)全過程。巖石的力學(xué)性質(zhì)研究和應(yīng)用越來越受到石油工程界的高度重視?？焖?、準確獲取巖石力學(xué)參數(shù)對于鉆完井和油氣田開發(fā)工程具有重要意義。目前,獲取巖石力學(xué)參數(shù)的方法包括:利用巖心開展室內(nèi)力學(xué)測試,獲得若干個深度點的巖心力學(xué)參數(shù);依據(jù)統(tǒng)計學(xué)方法建立研究工區(qū)的多口井測井?dāng)?shù)據(jù)與巖心測試力學(xué)參數(shù)的多元回歸關(guān)系式,借助專業(yè)軟件由完鉆井測井?dāng)?shù)據(jù)反演出巖石力學(xué)參數(shù)。該方法依賴于鉆井取心情況,且需要等待完井電測之后才能計算巖石力學(xué)參數(shù),具有較大的時效限制[1-2]。

分形理論是一門描述自然界中不規(guī)則、無序的現(xiàn)象和事物不規(guī)則程度的科學(xué),研究對象為一些具有自相似性的不規(guī)則曲線和形狀[3-4]。分形幾何學(xué)基本思想認為,客觀事物的層次結(jié)構(gòu),局部與整體方面,在時間、空間、功能、形態(tài)、信息、等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性,稱為自相似性。放大或縮小幾何對象,可看到局部和整體具有相似的結(jié)構(gòu)。維數(shù)是度量幾何對象的重要特征量,是描述空間位置所需的獨立坐標數(shù)目。分形理論引入了維數(shù)概念,可以定量描述客觀事物的“非規(guī)則”程度,并將維數(shù)從整數(shù)擴大到分數(shù),從而突破了一般拓撲集維數(shù)為整數(shù)的界限。

通過測量無序或不規(guī)則事物的維數(shù),進而研究維數(shù)與某些關(guān)鍵參數(shù)、信息之間的內(nèi)涵關(guān)系,是分形理論具體應(yīng)用的主要方式[3-6]。自20世紀70年代以來,分形理論在地理學(xué)、計算機、材料科學(xué)、物理學(xué)、巖石力學(xué)等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[5-7]。同時,中國多位學(xué)者在分形巖石力學(xué)領(lǐng)域也開展了有效探索。謝和平[8-9]率先將分形幾何理論應(yīng)用到巖石力學(xué)中,主要集中研究斷裂演示與分形維數(shù)的關(guān)系問題,其后又將分形理論應(yīng)用于巖石力學(xué)的其他領(lǐng)域中。李士斌等[10-12]利用分形幾何理論研究了鉆井過程中巖石破碎機理及形成過程,提出了一種以巖屑為對象的巖石可鉆性測試方法。李瑋等[13]從等破碎概率角度研究了上返巖屑分布規(guī)律問題,應(yīng)用分形幾何理論建立了等概率條件下上返巖屑的破碎規(guī)律表征模型。潘德元等[14]總結(jié)了巖屑分形規(guī)律的影響因素及影響程度。閆鐵等[15-17]通過分析巖屑的分形破碎特征及鉆井工況特點,建立鉆井工程能效評價模型,研究鉆井工程中破巖能耗與巖屑分形破碎特征的關(guān)系。李嵬巖[18]應(yīng)用巖屑分形理論與修正鉆速方程,預(yù)測了伊拉克魯邁拉油田石膏夾層巖石可鉆性。

上述學(xué)者的研究主要集中于巖石破碎分形規(guī)律和鉆頭可鉆性評價方面,而將分形理論用于深層巖石力學(xué)參數(shù)評價的成果鮮有報道。因此,如何借助分形理論探索巖屑分形幾何參數(shù)與巖石本體力學(xué)參數(shù)的關(guān)系,并將鉆井期間錄井巖屑進行分形測試,建立巖石力學(xué)參數(shù)的隨鉆評價方法,是研究的創(chuàng)新之處。首先,以準噶爾盆地瑪湖油田為研究對象,利用完鉆井巖心開展力學(xué)測試,建立巖石力學(xué)參數(shù)與多項測井物理量多元統(tǒng)計學(xué)模型。其次,借鑒文獻[13-15]建立的巖屑顆粒的分形維數(shù)測試方法,測試目標井上返巖屑及巖心二次破碎樣品的分形維數(shù),并依據(jù)測井巖石力學(xué)模型計算出巖屑原位地層的巖石力學(xué)參數(shù),將這些力學(xué)參數(shù)與巖屑分形維數(shù)建立統(tǒng)計模型。最后,建立目標油田或地區(qū)巖石力學(xué)參數(shù)的隨鉆評價流程,測試正鉆井上返巖屑的分形維數(shù),可實時計算正鉆井段的巖石力學(xué)參數(shù)。應(yīng)用案例的數(shù)據(jù)對比表明,巖屑分形維數(shù)計算的巖石力學(xué)參數(shù)具有較高的精度。研究成果拓展了分形巖石力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域,為巖石力學(xué)參數(shù)的實時預(yù)測提供了新方法。

1 巖石力學(xué)測井反演模型構(gòu)建

1.1 巖心力學(xué)測試

實驗采用的MTS巖石物理力學(xué)測試系統(tǒng)由數(shù)字電液伺服剛性試驗機、孔隙度和滲透率測試、超聲波測試3個子系統(tǒng)構(gòu)成。其軸向壓力、圍壓以及流體注入壓力最大值分別為1 000 kN、140 MPa和70 MPa,軸向壓力和圍壓的加載速率小于20 N/s,軸向位移傳感器量程為-50～50 mm,位移分辨精度為0.000 1 mm。系統(tǒng)可同時測試力學(xué)(軸向應(yīng)變、徑向應(yīng)變、位移、軸壓、流體注壓、圍壓)、聲學(xué)(縱波和橫波速度、初至?xí)r間)和溫度等物理量,可獲取的力學(xué)參數(shù)包括抗拉強度、單軸抗壓強度、內(nèi)摩擦系數(shù)(或內(nèi)摩擦角)、內(nèi)聚力、楊氏模量和泊松比等。

根據(jù)瑪湖油田完鉆井取心情況,選取Ma139、Ma15等4口井的全直徑巖心,在全直徑巖心同一深度處鉆取3塊巖心制作成3塊標準巖樣,共制作102塊標準巖樣(圖1)。

圖1 巖石力學(xué)測試篩選的標準巖樣Fig.1 Standard rock samples for rock experimental test

選取同一深度處的3塊標準巖樣為一個巖樣組,共計10個巖樣組,編號依次為1,2,…,10。選取的巖性具有多樣性和代表性,包括礫巖、泥巖、砂巖。每組標準巖樣開展單軸和三軸力學(xué)壓縮破壞測試,圍壓分別為0、20、40 MPa;力學(xué)測試后基于莫爾-庫倫準則開展力學(xué)參數(shù)分析,可獲得巖心的抗壓強度、楊氏模量、泊松比、內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦系數(shù)(表1)。

表1 瑪湖油田巖心力學(xué)測試結(jié)果Table 1 Mechanical test results of core in Mahu oil field

1.2 統(tǒng)計學(xué)模型構(gòu)建

巖石力學(xué)參數(shù)與測井物理量中的聲波速度、密度之間具有較好的相關(guān)性,但中外學(xué)者針對特定地區(qū)或地層建立的巖石力學(xué)參數(shù)的測井反演關(guān)系式不具有通用性[19-20]。需要將目標油區(qū)巖心測試數(shù)據(jù)與巖樣原位測井物理量對應(yīng),應(yīng)用多元回歸方法,建立目標油區(qū)巖石力學(xué)參數(shù)的測井統(tǒng)計學(xué)模型[21-22]。

由此,根據(jù)瑪湖油田巖心力學(xué)測試結(jié)果,構(gòu)建出適于瑪湖油田的巖石力學(xué)參數(shù)測井模型(表2)。其中,單軸抗壓強度與縱波時差和巖石密度的相關(guān)性最好,內(nèi)摩擦系數(shù)(內(nèi)摩擦角)與縱波速度相關(guān)性最好,動態(tài)楊氏模量由巖石密度、縱橫波速度的理論公式計算,動、靜態(tài)楊氏模量之間具有呈良好的冪函數(shù)關(guān)系,動、靜態(tài)泊松比大小呈隨機關(guān)系且相關(guān)性較差。

表2 瑪湖油田巖石力學(xué)參數(shù)與測井?dāng)?shù)據(jù)的關(guān)系Table 2 Relationship between rock mechanical parameters and logging data in Mahu oil field

2 巖石破碎的塊度分形維數(shù)

巖石結(jié)構(gòu)中充滿隨機的、無序的缺陷,巖石是一種具有天然損傷的復(fù)雜地質(zhì)材料。鉆井巖石破碎過程受巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)和鉆頭的作用力控制。由于巖石本身以及載荷的各向異性,巖石破碎形態(tài)表現(xiàn)的千差萬別[23-24]。巖石中小破裂群體逐漸聚集,形成宏觀上的破碎,這種從微觀損傷發(fā)展到宏觀破碎的過程是能量耗散過程。由于小破裂又是由更微小的裂隙演化和聚集而來,這種自相似的行為必然導(dǎo)致破碎后塊度分布也具有自相似的特征。因此,破碎巖屑還是存在內(nèi)在的統(tǒng)一性,其自相似性在統(tǒng)計意義上仍然成立。

2.1 巖石的分形維數(shù)

巖石經(jīng)鉆頭破壞后形成形態(tài)各異的巖屑顆粒,但從統(tǒng)計中仍滿足自相似規(guī)律,現(xiàn)常用Rosin-Rammler函數(shù)[式(1)]和Gaudin-Schuhmann函數(shù)[式(2)]描述巖屑顆粒分布規(guī)律[11]。

(1)

(2)

式中:N為巖屑粒度小于γ的相對累積量,%;γ為巖屑顆粒直徑,mm;γm為巖屑粒度分布直線與N=1直線交點的相對累積量值;γ0為粒度特性系數(shù);n為均勻性系數(shù)。

將式(1)按級數(shù)展開后,舍去第二項后面多項,即可得到式(2),表明當(dāng)巖屑粒度較小時,兩個分布函數(shù)均可用于巖屑顆粒分布規(guī)律,研究認為式(1)適用于顆粒分布趨于粗粒端,式(2)適用于顆粒分布趨于細粒端[10-12]。

將標注化處理后巖屑通過不同方形孔篩網(wǎng)篩選,孔徑記為γi,篩子孔徑選取大于5種,以獲得足夠的數(shù)據(jù)量用于回歸分析。以篩選粒徑小于γi的巖屑樣品被篩選漏下去,顆粒質(zhì)量記為Mdown(γi),對應(yīng)的留在篩網(wǎng)上的記為M(γi),顆?？倲?shù)記N(γi),稱重天平量程為0～250 g,精度為0.001 g。

巖屑樣品二次破碎后粒度分布遵循質(zhì)量-頻率分布關(guān)系可表示為

(3)

對式(3)兩邊求導(dǎo)有

dM∝γn-1dγ

(4)

將巖屑破碎后定義為一種破碎體分形,可表示為

N(γi)=Aγ-D

(5)

考慮破碎體質(zhì)量-尺寸-數(shù)量間關(guān)系為[18]

(6)

由式(5)和式(6)可知,巖屑質(zhì)量和顆粒直徑關(guān)系為

dM∝γ3dN

(7)

由式(4)和式(7)可得

γn-1dγ∝γ3γ-D-1dγ

(8)

因此,由式(8)可得到分形維數(shù)D的表達式為

D=3-n

(9)

式中:γmax為巖屑最大粒徑,mm;M為巖屑總質(zhì)量,g;A為常數(shù);D為分形維數(shù),無量綱;V為巖屑顆粒體積,mm3。

2.2 巖心分形維數(shù)測試

采用型號ST-E200的顎式巖石破碎機,對上述10組標準巖樣進行力學(xué)測試后的碎塊進行二次破碎處理。該破碎機由動和靜兩塊顎板組成破碎腔,廣泛運用于各種礦石與大塊物料的破碎,被破碎物料的最高抗壓強度為320 MPa。破碎機工作時,活動顎板對固定顎板作周期性的往復(fù)運動,物料在兩顎板間受到擠壓、劈裂、沖擊而被破碎。設(shè)備轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為100～1 000 r/min,進料口尺寸為0～80 mm,出料粒度為0～30 mm,處理能力為0.3～1.0 t/h,電機功率為6 kW。

首先,對巖心二次破碎后的巖屑進行稱重;然后進行篩分,將巖屑通過不同方形孔篩網(wǎng)篩選,孔徑記為γi(i為不同孔徑),篩子孔徑選取8種,把各尺寸級別的巖屑分離出來,并對各尺寸級別的巖屑進行稱重并記錄。

表3 巖屑篩分質(zhì)量累計百分比Table 3 The cumulative percentage of screened mass of upward return cuttings

圖2 巖心二次破碎樣品的分形曲線Fig.2 Fractal curve of core secondary crushing sample

3 基于分形維數(shù)的巖石力學(xué)模型構(gòu)建

將上述瑪湖油田10組巖心力學(xué)參數(shù)的測試數(shù)據(jù)與其對應(yīng)的分形維數(shù)繪制出散點圖(圖3),并建立各項力學(xué)參數(shù)的線性回歸方程,表明巖心二次破碎顆粒的分形維數(shù)與其各力學(xué)參數(shù)的相關(guān)性較好。其中,巖石抗壓強度、內(nèi)摩擦系數(shù)隨分形維數(shù)增大而增大,表明分形維數(shù)越大,巖石越堅硬;楊氏模量隨分形維數(shù)增大而增大,泊松比隨分形維數(shù)增大而減小,表明分形維數(shù)越大,巖石越難以變形。

圖3 巖石力學(xué)參數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve between rock mechanical parameters and cutting’s fractal dimension

結(jié)果(圖3)表明,巖石的各項力學(xué)參數(shù)均可用巖屑分形維數(shù)來表征或衡量,也表明巖屑的微觀結(jié)構(gòu)決定宏觀的巖石物理力學(xué)性質(zhì)和巖屑粒度分布。由此歸納出基于巖屑的分形維數(shù)的瑪湖油田深層巖石各項力學(xué)參數(shù)隨鉆計算模型(表4)。

表4 瑪湖油田基于巖屑分形維數(shù)的巖石力學(xué)參數(shù)模型Table 4 Rock mechanics parameter model based on fractal dimension of rock debris in Mahu oil field

4 模型驗證與應(yīng)用

4.1 模型驗證

Ma123井是一口部署于準噶爾盆地瑪湖油田的評價井,目的層為二疊系風(fēng)城組,巖性主要為灰色、褐灰色砂礫巖。該井鉆進到風(fēng)城組后,收集井深為3 700～4 100 m共14個深度點處的巖屑,經(jīng)清洗烘干,再二次破碎。將二次破碎巖屑樣品用8種不同目數(shù)的篩網(wǎng)分選,按照2.2節(jié)中的步驟,利用上返巖屑樣品的篩分質(zhì)量累計百分比數(shù)據(jù),通過線性回歸計算得到分形維數(shù)(表5)。將獲取的分形維數(shù),代入表4所示的模型,得到基于巖屑分形維數(shù)的各項巖石力學(xué)參數(shù)(表6)。由此。通過錄井隨鉆實測上返巖屑分形維數(shù),實現(xiàn)了深層巖石力學(xué)參數(shù)的實時預(yù)測和評價。待Ma123井完井電測后,將該井測井?dāng)?shù)據(jù)代入表2中的模型,得到基于測井?dāng)?shù)據(jù)的各項巖石力學(xué)參數(shù)(圖4)。

表5 Ma123井風(fēng)城組巖屑分形維數(shù)Table 5 Fractal dimension of cuttings in fengcheng formation of well Ma123

表6 分形維數(shù)與測井?dāng)?shù)據(jù)計算的巖石力學(xué)參數(shù)對比Table 6 Comparison of rockmechanical parameters calculated by fractal dimension and logging data

1 ft=0.304 8 m

以圖4中Ma123井測井?dāng)?shù)據(jù)反演出的巖石力學(xué)參數(shù)為基準,對比由巖屑分形維數(shù)計算的巖石力學(xué)參數(shù)(表6),分形維數(shù)計算的抗壓強度誤差為-7.5%～4.6%,內(nèi)摩擦系數(shù)誤差為-4.7% ～4.8%,楊氏模量誤差為-11.1%～13.3%,抗壓強度誤差為-7.0%～10.9%?？箟簭姸扰c內(nèi)摩擦系數(shù)的誤差相對較小,楊氏模量與泊松比的誤差略大,可滿足工程要求。結(jié)果表明,利用上返巖屑分形維數(shù)實現(xiàn)巖石力學(xué)參數(shù)的實時計算是可行的。

4.2 錄井實時評價方法

通過Ma123井錄井實踐,總結(jié)出一套基于分形理論的巖石力學(xué)參數(shù)的實時評價方法:①針對特定的工區(qū)或地層,利用完鉆井的巖心和對應(yīng)的測井?dāng)?shù)據(jù),測試巖石力學(xué)參數(shù),建立巖石力學(xué)參數(shù)與測井?dāng)?shù)據(jù)的關(guān)系式;②將力學(xué)測試后的巖心碎塊進行二次破碎,測試出巖屑分形維數(shù),建立巖石力學(xué)參數(shù)與巖屑分形維數(shù)的關(guān)系式;③獲取正鉆井巖屑,二次破碎后并測出其分形維數(shù),再利用巖石力學(xué)參數(shù)與巖屑分形維數(shù)的關(guān)系式,即可實時獲取巖石力學(xué)參數(shù)。

5 結(jié)論

(1)巖心碎塊和鉆井上返巖屑,經(jīng)過二次破碎后,巖屑塊度分形規(guī)律均符合分形幾何學(xué)的G-S分布函數(shù),室內(nèi)實驗數(shù)據(jù)表明,分形維數(shù)相關(guān)系數(shù)均大于0.89,巖石碎屑具有明顯的分形特征。

(2)巖石主要力學(xué)參數(shù)中抗壓強度、內(nèi)摩擦系數(shù)、楊氏模量和泊松比均與巖屑分形維數(shù)具有較好的線性關(guān)系;利用巖屑分形維數(shù)和測井?dāng)?shù)據(jù),兩者計算的巖石力學(xué)參數(shù)差異較小,證實了巖屑分形維數(shù)預(yù)測巖石力學(xué)參數(shù)的可行性。

(3)通過錄井實踐,總結(jié)出一套基于分形理論的巖石力學(xué)參數(shù)實時預(yù)測方法,該方法可利用上返巖屑實現(xiàn)巖石力學(xué)參數(shù)的實時預(yù)測,具有低成本和高時效性特點。研究成果拓展了分形巖石力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域。