Moran-Sierpinski地毯及Moran-Sierpinski海綿的維數(shù)結(jié)果

胡 曉 梅

(華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)編輯部, 武漢 430079)

圖1 Sierpinski地毯的構(gòu)造

Sierpinski海綿是由奧地利數(shù)學(xué)家卡爾·門格爾(Carl Menger) 于1926 年提出的一種分形.它形如一座“千窗百孔”的幾何大廈.其構(gòu)造如下.

1) 從一正方體S0開(kāi)始.

2) 將S0的六個(gè)面9等分(立方體的每條棱長(zhǎng)均三等分), 相當(dāng)于將此正方體27等分．

3) 把每一面中間的小正方體去掉, 把體心處的小正方體也去掉, 留下20個(gè)小正方體, 并保留它們的表面,得到S1．

圖2顯示了前面幾步S0,S1,S2．

圖2 Sierpinski海綿的構(gòu)造

Moran集[1]作為經(jīng)典自相似集的推廣,有許多關(guān)于它的維數(shù)研究結(jié)果[2-4]. 但是,高維Moran集的Hausdorff維數(shù)、packing維數(shù)往往難以得到[5-6]. 本文利用Moran 理論將如上定義的Sierpinski地毯及Sierpinski海綿進(jìn)行推廣,得到Moran-Sierpinski地毯和Moran-Sierpinski海綿,它們分別是2和3中的齊次Moran集. 本文利用分形幾何中的技巧[7-9],通過(guò)計(jì)算,分別得到它們的Hausdorff維數(shù), packing維數(shù)和上盒維數(shù)．

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Hausdorff維數(shù)、上盒維數(shù)和packing維數(shù)

設(shè)F?d,ε>0,d中的可列(或有限)子集族{Fi}i≥1稱為F的一個(gè)ε-覆蓋, 如果對(duì)所有的i,都有 |Fi|≤ε且這里|Fi|表示Fi的直徑.設(shè)s≥0,F的s-維Hausdorff測(cè)度定義為

F的Hausdorff維數(shù)定義為

dimH(F)=inf{s:Hs(F)=0}=

sup{s:Hs(F)=∞}.

F的上盒維數(shù)

F的packing維數(shù)

上述三種維數(shù)分別從不同方面刻畫(huà)了分形集的復(fù)雜程度, 這三種維數(shù)之間的關(guān)系如下[8]:

下面的質(zhì)量分布原理是估計(jì)維數(shù)下界的一種技巧．

引理1[8](Hausdorff維數(shù)的質(zhì)量分布原理)設(shè)μ是E上的質(zhì)量分布, 且對(duì)某個(gè)s, 存在C>0 和δ>0, 使對(duì)所有滿足 |U|≤δ的集U, 有

μ(U)≤C|U|s,

則dimHE≥s.

引理2[8](packing維數(shù)的質(zhì)量分布原理) 設(shè)E?d,

1) 設(shè)μ為E上的有界Borel測(cè)度, 若存在正常數(shù)C,s,r0滿足

μ(B(x,r))≥Crs,x∈E,0

則dimpE≤s.

2) 設(shè)μ為E上的非零Borel測(cè)度, 若存在正常數(shù)C,s及正數(shù)序列rn→0,使得

μ(B(x,rn(x)))≤Crn(x)s

對(duì)所有x∈E成立, 則dimpE≥s.

1.2 R上齊次Moran集

定義1[2]設(shè)I=[0, 1].稱I的閉子區(qū)間族Ι={Iσ;σ∈D}具有齊次Moran結(jié)構(gòu),如果它滿足:

1)I?=I;

3) 對(duì)任意k≥1及σ∈Dk-1,1≤j≤nk, 有

(1)

這里, |A| 表示A的直徑．

2 Moran-Sierpinski地毯和Moran- Sierpinski海綿的構(gòu)造

Moran-Sierpinski地毯T是一個(gè)具有Moran結(jié)構(gòu)的非空緊集.很明顯, 當(dāng)mk≡3時(shí),Moran-Sierpinski地毯T是一個(gè)經(jīng)典的Sierpinski地毯．

按如下步驟構(gòu)造Moran-Sierpinski海綿.

1) 從一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體J0開(kāi)始．

Moran-Sierpinski海綿J是一個(gè)具有Moran結(jié)構(gòu)的非空緊集.很明顯, 當(dāng)mk≡3時(shí), Moran-Sierpinski海綿J是一個(gè)經(jīng)典的Sierpinski海綿．

3 結(jié)果和證明

定理1Moran-Sierpinski地毯T的Hausdorff維數(shù)

證明記

首先證dimHT≤s*.對(duì)任意t>s*, 存在一子列{ki}, 當(dāng)i足夠大時(shí), 使得

即

(2)

令i→∞, 有

因此dimHT≤t,由t的任意性可得dimHT≤s*．

下面再證dimHT≥s*.令μ是T上的一自然測(cè)度, 對(duì)任意k階基本正方形W,

對(duì)任意tN時(shí),

μ(U)≤

由質(zhì)量分布原理, dimHT≥t,由t的任意性,dimHT≥s*.證畢．

定理2Moran-Sierpinski地毯T的packing維數(shù)與上盒維數(shù)

證明記

先利用packing維數(shù)的質(zhì)量分布原理證dimpT≥s*.令μ是T上的一自然測(cè)度, 對(duì)任意k階基本正方形W,

對(duì)任意t

(3)

當(dāng)i足夠大時(shí), |Uki(x)|→0,再由(3)式,有μ(Uki(x))≤q|Uki(x)|t.于是根據(jù)packing維數(shù)的質(zhì)量分布原理,有dimpT≥t,由t的任意性dimpT≥s*．

再證dimpT≤s*, 此時(shí)需要利用關(guān)于上盒維數(shù)的下面式子:

于是,

vol2(Tδ)≤

因此,

定理3Moran-Sierpinski海綿J的Hausdorff維數(shù)

證明令

先證dimHJ≤l*.對(duì)任意t>l*, 存在一個(gè)子列{ki} 使得當(dāng)i足夠大時(shí)有

即

令i→∞, 有

因此dimHJ≤t, 由t的任意性可得dimHJ≤l*．

下面再證dimHJ≥l*.令μ′是J上的自然測(cè)度, 對(duì)任意k-階基本立方體W′,

對(duì)任意tN′時(shí),

μ′(U′)≤

于是, 由質(zhì)量分布原理,dimHJ≥t, 由t的任意性, dimHJ≥l*.證畢．

定理4Moran-Sierpinski 海綿J的packing維數(shù)與上盒維數(shù)

證明記

先證dimpJ≥l*.類似地, 記μ′為J上自然測(cè)度, 對(duì)任意k-階基本立方體W′,

對(duì)任意t

再證dimpJ≤l*.利用不等式

于是,

因此,