一類單中心三次Hamilton 系統的Abel 積分零點個數

張永康，李寶毅，隋世友

（1.天津師范大學數學科學學院，天津 300387；2.天津商業大學理學院，天津 300134）

考慮Hamilton 系統的n次多項式擾動系統

式中：Hamilton 函數H（x，y）為關于x、y的m+1 次實系數多項式，P（x，y）和Q（x，y）為關于x、y次數不超過n的實系數多項式，0 ＜ε?1.記Γh為H（x，y）=h的連通閉分支，其中h∈Σ=（h1，h2）?R.令ω=Qdx-Pdy為次數不超過n的1-形式，Abel 積分定義為

弱化Hilbert 第十六問題[1]即確定Abel 積分的零點個數的最小上界（記為B（n）），這一問題與確定Hamilton系統極限環的個數密切相關. 對于一類特殊形式的Hamilton 函數H（x，y）=y2/2+U（x），當U（x）的次數degU（x）≤4 時，許多研究[2-12]對相應的Abel 積分的零點個數給出了一些估計.

對于四次Hamilton 函數H（x，y）=x2+y4，文獻[2]得到其對應的n次擾動系統的Abel 積分的零點個數的最小上界B（n）≤2[（n- 1）/2]. 對于H（x，y）=x2+cx4+y4，文獻[3]得到Abel 積分零點個數的上界滿足

對于H（x，y）=x2-x4+y4，文獻[4]得到Abel 積分零點個數的上界滿足

本文討論Hamilton 函數H（x，y）=x2+cx4+y4的情形，此時對應的系統為單中心三次Hamilton 系統.當c≠0 時，通過變換x=（c·sgnc）-1/2X，y=（c·sgnc）-1/4Y，t=（c·sgnc）1/4T，可將系數c轉化為±1.設H（x，y）=x2±x4+y4，在n次多項式擾動下，本文估算了擾動系統Abel 積分的孤立零點個數，得到了較小的上界，所得結論改進了文獻[3-4]的結果.本文的主要結果如下：

定理設Hamilton 函數H（x，y）=x2±x4+y4，P（x，y）和Q（x，y）為關于x、y的次數不超過2n+2 或2n+1的實系數多項式.對于系統（1）對應的Abel 積分，有

特別地，B（2）=B（1）＝0，B（4）=B（3）≤2.

設Γh為代數曲線的連通閉分支，其中c=±1，當c=1 時，Σ=（0，+∞），當c=-1 時，Γh對應的連通閉分支見圖1.

圖1 Γh 對應的連通閉分支Fig.1 Closed trajectories of Γh

1 預備知識

閉軌Γh：H（x，y）=x2+cx4+y4關于x軸和y軸均對稱，記其中i、j為非負整數，則有Ii，2j（h）=I2i+1，2j+1（h）≡0.因此，對任意非負整數n，有B（2n+1）=B（2n+2）.

對于H（x，y）=x2+x4+y4，設max{degP（x，y），degQ（x，y）}=2n+1，則如下命題1—4 成立.

命題1設i+j=n≥2，則有

式中：a1（h）、b1（h）、c1（h）和d1（h）均為關于h的實系數多項式，且

命題2當n≥2 時，Abel 積分I（h）可表示為

式中：f0，1（h）、f2，1（h）、f0，3（h）和f2，3（h）均為關于h的實系數多項式，且

命題3V=（I0，1，I2，1，I0，3，I2，3）T滿足Picard-Fuchs方程

命題4設Z=4I0，3+16I2，3，則I0，1、I2，1、I0，3、Z滿足方程

注由式（5）計算可得

式中λ1、λ2為非零常數，但I′2，1和I′0，3不能表示為初等函數的形式.

命題1—4 的證明可見文獻[3].

對于H（x，y）=x2-x4+y4，設max{degP（x，y），degQ（x，y）}=2n+1，因為c=-1 和c=1 對應的Abel積分的代數結構相同，下面僅給出c=-1 時生成元滿足的Picard-Fuchs 方程.

命題5V=（I0，1，I2，1，I0，3，I2，3）T滿足Picard-Fuchs方程（Ah+B）V′=RV，式中：

命題6設Z=-4I0，3+ 16I2，3，則I0，1、I2，1、I0，3、Z滿足方程

式中：D（h）＝h（4h-1）

2 主要結論的證明

引理1對于H（x，y）=x2+x4+y4，當1≤k≤q+1時，有

式中：degF0，1（h，q+2）≤p+q+1，degFZ（h，q+2）≤p+q.

證明利用歸納法證明式（7）.當k=1 時，由式（4）可得

對式（3）關于h求導，并將式（8）代入，可得

由命題2 可知

因此當k=1 時，式（7）成立.

假設當k=l（1≤l≤q）時，式（7）成立，即

此時有

則當k=l+1 時，由式（5）可得

由假設可知

因此

又由于max{degF2，1（h，l），degF′0，3（h，l）}≤q，所以

同理可得degFZ（h，l+1）≤p+l-1.因此當k=l+1時，式（7）成立.

在式（7）中取k=q+1，則有

由于degF2，1（h，q+1）≤q-q=0，degF0，3（h，q+1）≤q-q=0，所以對式（9）求導可得

將式（5）代入上式，有

由假設可知degF0，1（h，q+2）≤p+q+1，degFZ（h，q+2）≤p+q.引理證畢.

由與引理1 類似的證明過程可得引理2.

引理2對于H（x，y）=x2-x4+y4，當1≤k≤q+1時，有

定理的證明當c=1，n≥2 時，由引理1 可知

將式（6）代入上式，有

當n=0 時，I（h）=c0I0，1（h），其中c1≠0 為常數，于是B（1）=0.

當n=1 時，I（h）=c0I0，1（h）+c2I2，1（h）+c3I0，3（h），其中c1、c2、c3為不同時為零的常數.對I（h）求二階導得I″（h）=c0I″0，1（h）+c2I″2，1（h）+c3I″0，3（h），將式（5）代入上式，有

令分子為零，再將式（6）代入，化簡得

即572h2+191h+16=0，故I″（h）≠0，因此B（3）≤2.

當c=-1 時，利用引理2，同理可證定理成立.