基于李雅普諾夫指數的混沌行為分析

安鴻宇 王云翔 周迪克

摘?要：文章探討了在新冠肺炎疫情前后，云南板塊指數系統動態特性的變化，并且通過計算混沌度量化云南板塊指數系統的混沌性質。結果顯示，新冠肺炎疫情前后，云南板塊指數系統的混沌度發生了顯著變化。不僅最大李雅普諾夫指數增加，極差也呈上升趨勢，這表明系統的動態性和不穩定性有所增強，整體上系統的混沌度有所提高，反映了系統在特殊時期沖擊下的復雜響應。這一研究不僅有助于深入理解云南板塊市場的行為特征，還為金融市場風險調控提供了新的視角和方法。此結果為構建混沌時間序列模型和探索系統的非線性特性提供了支持，有助于更好地應對金融市場的變化與挑戰。

關鍵詞：混沌時間序列；李雅普諾夫指數；混沌度；云南板塊

中圖分類號：F830.9文獻標識碼：A文章編號：1005-6432（2023）36-0042-04

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2023.36.042

1?引言

在新冠肺炎疫情的背景下，云南板塊指數凸顯出其作為評估云南上市企業表現的重要尺度。這一指數不僅展現了云南企業在市場上的價值和引導作用，更在特殊時期彰顯了其特殊意義。在這充滿不確定性的大背景下，云南板塊指數突顯了其代表云南上市企業的關鍵地位。

然而，僅僅基于線性時間序列來研究股指波動性，難以充分考量系統本身的不規則性和復雜性[1]。為了更全面地揭示這些方面，提出了利用混沌系統的混沌度來解釋云南板塊指數系統的不規則性和復雜性。

2?混沌檢驗方法

現有的研究文獻在研究股票市場中是否存在非線性和混沌行為所獲得的結果主要取決于每項研究中使用的數據和方法。在檢驗方法上，現有文獻中存在大量檢驗方法來檢驗金融市場的混沌信號，如White?檢驗、Teraesvirta?檢驗、Keenan?檢驗、Tsay?檢驗、Engle?LM?檢驗、BDS?檢驗、李雅普諾夫指數和?0-1?檢驗。從技術上講，李雅普諾夫指數被認為是唯一明確設計用于檢驗混沌信號，并測量系統信息丟失速率的一種方法，學者對李雅普諾夫指數檢驗的研究也是較為豐富的[2-3]。相比于傳統的李雅普諾夫指數，也有學者用李雅普諾夫指數的衍生方法做過混沌信號檢驗[4]。

可以看出現有文獻主要集中在對各國大盤或特定行業的金融市場進行混沌信號研究。少數文獻關注了地方板塊的金融混沌信號，其中以云南板塊為例。云南板塊作為一個代表性地方性市場，在全球經濟變動和新冠肺炎疫情沖擊下的混沌信號研究相對較少。因此，對于地方性市場的金融混沌信號研究具有重要意義。

文章旨在填補這一研究空白，將焦點聚焦在云南板塊的金融混沌信號上。為了深入了解云南板塊市場的波動性和復雜性，采用李雅普諾夫指數來進行混沌信號檢驗。

3?相空間重構

相空間重構可以將云南板塊指數轉化為一個多維空間，幫助更好地理解云南板塊系統的動態行為。相空間重構技術有兩個關鍵參數：嵌入維數?m和延遲時間?τ。其核心思想是通過觀測值構建出一組m維向量：

y（t）=［xt，xt+τ，xt+2τ，…，xt+（m-1）τ］∈Rm

按照?Takens?定理就可以恢復其動力學特性。因此需要尋找一個合適的嵌入維數?m，使得?m≥2d+1（d是動力系統維數），以及一個延遲時間使得原系統經過時間延遲后可以作為獨立的坐標來使用。

本研究所選用的數據范圍為自?2016?年?1?月?19?日至?2023?年?7?月?31?日，采集自東方財富網的云南板塊指數的日交易數據。針對新冠肺炎疫情這一時間節點，將數據序列分割成兩個子序列：其一為?2016?年?1?月?19?日至?2019?年?11?月?29?日，即特殊時期前；其二為?2019?年?12?月?2?日至?2023?年?7?月?31?日，即特殊時期后。

3.1?虛假臨近點法計算嵌入維數

將一維空間的云南板塊指數序列逐漸恢復到高維空間中，一維空間上有的時候相鄰的兩點也會被分離，這兩個在一維空間相鄰的點也就是虛假鄰近點。虛假鄰近點法的核心就是隨著嵌入維數的增大，混沌運動的軌道會被打開，偽鄰近點就會被逐漸剔除，從而整個混沌運動的軌跡得到恢復。對于?m維相空間的向量?y（t）存在?yNN（t）使得有一個歐幾里德距離的最鄰近點距離是：

Rm（t）=︳︳y（t）-yNN（t）︳︳

然后增加空間的維數為?m+1，?新的歐幾里德距離則變為?Rm+1（t）。令

ρ（t，m）=︳︳y（t+mτ）-yNN（t+mτ）︳︳Rm（t）

如果

ρ（t，m）＞Rτ（Rτ∈［10，50］）

那么?yNN（t）就是?y（t）的虛假鄰近點。對于云南板塊指數序列，計算中從嵌入維數的最小值?2?開始，計算虛假鄰近點的比例，然后逐漸增加維數直到虛假鄰近點的比例小于?5%?或者虛假鄰近點數量不再隨著維數的增加而減少時，可以認為混沌吸引子已經完全打開，此時的維數就是嵌入維數。

特殊時期前后的云南板塊指數的嵌入維數從?2?開始增加到?3?為一個頂峰，此時的維數為最佳嵌入維數3。

3.2?自相關系數法計算延遲時間

自相關系數可以用以下公式表示：

r（τ）=∑nt=τ+1（xt-x—）（xt-1-x—）∑nt=1（xt-x—）2

其中，r（τ）是延遲時間為?τ?時的自相關系數；x—是時間序列數據的平均值；n是時間序列數據的總長度。

通過計算可得，新冠肺炎疫情前延遲時間?τ為?2，特殊時期后延遲時間τ為?1。

4?最大李雅普諾夫指數

最大李雅普諾夫指數是用于衡量動態系統的混沌特性的一個關鍵指標。它通過測量在相空間中相鄰軌跡的指數分離率來判斷系統是否呈現出混沌行為。令最大李雅普諾夫指數為?λ，且

λ=limΔt→∞limΔx（0）→01ΔtlnΔx（Δt）Δx（0）

當?Δt趨近于無窮大時，表示系統在相空間中的軌跡已經發生了足夠的演化。Δx（0）是初始狀態下的微小差異，它在相空間中定義了軌跡之間的初始距離。Δx（Δt）是時間間隔Δt后，初始狀態下微小差異的演化距離。

由結果可知，特殊時期前后的云南板塊指數的最大李雅普諾夫指數均大于?0。結果還表明，在特殊時期之前和之后，云南板塊的李雅普諾夫指數均呈現出大于?0?的趨勢，說明隨著時間推移，云南板塊按指數形式分離。表明云南板塊指數系統的高度敏感性和不可預測性。特殊時期可能對經濟、社會以及其他影響因素造成劇烈的影響，導致系統中微小變化的非線性擴散，進而引發了混沌行為。

5?混沌度

設向量：

α=（λ，d，g）

表示云南板塊系統的混沌度向量，其中，?λ為該系統的最大李雅普諾夫指數，d為系統的幾何結構的關聯維數，g為極差。

通過?G-P?算法估計動態系統的關聯維，對于每一對嵌入向量Xi和Xj計算它們之間的歐氏距離dij：

dij=∑mk=1（x（i+（k-1）τ）-x（j+（k-1）τ））2

對于給定的半徑?，計算出在該半徑范圍內與每個點Xi關聯的點的數量Ni（），然后計算處所有點的平均關聯數〈N（）〉，即在給定半徑下的平均關聯數。

最終，通過計算對數關聯數和對數半徑之間的斜率來估計關聯維d：

d=lim→0ln〈N（）〉ln

α向量可以作為對云南板塊指數系統的一個綜合度量。對于不同的序列，可能會有不同的向量?α。在特殊時期前，云南板塊指數系統的混沌度為：

α（0.3123，4.4314，0.1326）

特殊時期后，云南板塊指數系統的混沌度為：

α′（1.3054，2.8506，0.1400）

除了關聯維數外，最大李雅普諾夫指數和極差都呈現出增加的趨勢。最大李雅普諾夫指數從?0.3123?增加到?1.3054，極差從?0.1326?增加到?0.1400。這種變化暗示了系統動態的混沌特性在特殊時期得到了增強。最大李雅普諾夫指數的增加意味著微小初始差異在時間演化中擴散更快，而極差的增加可能反映了系統狀態的不穩定性增加。雖然關聯維數在這個情況下保持不變，但在考慮最大李雅普諾夫指數和極差的增加時，整體上系統的混沌度有所提高。

6?結論

研究表明，特殊時期后，云南板塊指數的混沌度明顯增加，表明在特殊時期影響下，云南板塊的市場表現出更為復雜和不確定的動態行為。混沌度的增加意味著市場中的變動更加不可預測，波動性增強，投資者難以準確預測市場走勢。

在特殊時期前，云南板塊指數可能表現出較為穩定的市場趨勢。2019年12月后市場出現劇烈波動使市場變得更加復雜。

總之，云南板塊指數在特殊時期前后混沌度的增加表明了市場中更為復雜和不可預測的動態行為。這種趨勢提醒著投資者在不確定時期更加謹慎，需要采取適當的風險管理策略來應對市場的波動性增加。

參考文獻：

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