深度挖掘學情　有序轉化提升

［摘? 要］ 如何在高三一輪復習中告別“負重低效”的學習現狀？開展深度學習下的高三一輪復習可以擔此重任. 文章以“裂項相消法求數列前n項和”為例，從前期分析（深度挖掘學情）、片段回顧（有序轉化提升）及教學反思三方面具體闡述深度學習的可行路徑.

［關鍵詞］ 深度學習；裂項相消法；挖掘學情；有序轉化

“老師，為什么可以裂成-？”

“你將式子通分逆用就會發現它們是相等的！”

“哦？！”

這是筆者和學生在“數列求和”復習課后的一段對話，望著學生那“依然困惑”的表情，聽著那一聲略帶失望的“哦”，筆者意識到我們的課堂需要改變……

回想“數列”這一章內容，學生的新課學習在高一網課期間，這導致學生的基礎不扎實，雖然在高二學考復習中也進行過模塊式復習，但是由于其時間短、任務重，因此大部分學生對一些數列求和方法的掌握仍停留在“記憶—模仿—強化”的淺層學習階段，對數列求和方法的本質知之甚少. 究其根本在于教師一味地追求教學進度而忽視探尋學生思維的起點、厘清數學問題的本質，用高密度、低思維的刷題訓練取而代之，現在想來，實在不可取！

如何在高三一輪復習中告別“負重低效”的學習現狀？如何讓學生由淺層學習走向深度學習呢？深度學習并不是什么神秘的新創造，它是北京師范大學郭華教授對優秀教學實踐與理論研究的總結、提煉與升華，界定為“在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程”［1］. 即在數學學習過程中，不僅關注知識技能“是什么”“怎么用”，還要探究知識技能的來龍去脈［2］，逐步實現學生思維的進階. 現以“裂項相消法求數列前n項和”為例，具體闡述在高三一輪復習中追尋深度學習的可行路徑.

1. 前測：挖掘學情

（1）前測設計.

為改變教師主觀想象學情的習慣，特設計了課前任務單（見圖1）用以了解學生對“裂項相消法求和”的現有理解狀態. 該任務單由問題1和問題2兩部分組成. 問題1由一組從易到難的常見的有裂項相消結構的問題組成，幫助學生重拾用裂項相消法求數列前n項和的步驟，并對學生的易錯點“裂項后系數配平”“裂項相消后還剩多少項”進行了量化統計. 問題2由三道開放題組成，第②題、第③題意在挖掘平常教學中尚未發現的真問題，第①題把困難前置，打破學生的思維定式，量化統計學生對裂項相消法本質的理解.

（2）結果分析.

執教班級共40人，發放任務單40份，收回40份，結果統計（如圖2所示）及分析如下：

第一，問題1的統計結果表明，常見的、簡單的裂項式子，，，甚至要做適當變形的，學生完成得比較好. 對于第②題，班級只有4名學生裂項后忘記了系數乘. 但是對于學生不常見的第⑤題，正確率只有25%，主要原因有：不知道怎么裂項、裂項后哪些項要作抵消.

第二，問題2暴露了筆者意料之外的情況，解題正確并不意味著學生對數學方法真正理解，只是源于學生刷題熟練后的機械記憶. 對于第①題，35%的學生認為不能用裂項相消法求和，原因是（2n-1）不是分式形式，且｛2n-1｝是等差數列，直接用等差數列求和公式就行了；雖然65%的學生認為可以用裂項相消法求和，但沒有學生給出正確解釋，從學生的答題情況可以看出，很多學生嘗試把（2n-1）轉化成分式形式，打算裂項求解，但最終都失敗了. 對于第②題，很多學生不約而同給出的是分子為1，分母上兩個相乘式子的差是常數的分式，但其中可裂而不可消的式子也占35%，如等.

總之，大部分學生只有面對形如

（k為常數）的數列才能用裂項相消法求和，稍作變化就不知所措. “怎樣的數列可以用裂項相消法求和”“怎樣裂項”“裂項相消后還剩多少項”是大部分學生當前最難解決的思維癥結.

2. 教法：深度學習

深度學習注重新知與學生已有經驗的相互轉化，從而使學生與知識建立意義關聯［3］.

從人教A版選擇性必修第二冊教材看“數列”的知識脈絡（見圖3）可知：裂項相消法是數列求和的通性通法，其更具一般性. 從裂項相消法的角度重新審視等差數列求和、等比數列求和、差比數列求和，有助于將數列求和方法構建成有機網絡，從中領悟數列求和的本質是化簡，即如何將n項化為有限項，滲透化歸思想，與后續利用數學歸納法及放縮法求數列前n項和一脈相承.

基于學生經驗與新知脈絡的分析，筆者以“裂項相消法求數列前n項和”這節復習課為教學支點，沿著“初識本質—再識本質—深識本質”的邏輯路線展開教學，不僅關注裂項相消法求和“是什么”“怎么用”，還探究裂項相消法求和的來龍去脈，幫助學生將碎片化的數列求和方法結構化，從整體視角厘清各種數列求和方法間的區別與聯系，實現數列這一章節的知識網絡的構建. 為此，本節課確定了以下三個教學任務.

任務1：以學前任務單問題2第②題學生的解答為情境，期望幫助學生明晰“怎樣的數列可以用裂項相消法求和”，使學生初步理解裂項相消法的原理以及操作步驟.

任務2：以人教A版必修5第47頁習題2.3B組第4題為資源，引領學生對“熟而不透”的數列再探，通過師生、生生的對話交流，幫助學生解決“怎樣裂項”和“裂項相消后還剩多少項”的學習困惑；嘗試判斷、評論，使學生進一步理解裂項相消法的原理以及操作步驟.

任務3：以學前任務單問題2第①題為資源，引領學生對其進行深度探究，通過對比、交流、反思，使學生深度理解裂項相消法的原理以及操作步驟；嘗試編題、交流、互評，從整體視角認識數列求和，優化知識結構.

1. 迷失概念的轉化

迷失概念是概念偏離科學性獲得而產生遷移（應用）障礙的一種現象. 筆者通過對學前任務單問題2第②題學生解答的整理與分析，針對學生對“怎樣的數列才能用裂項相消法求和”問題的迷失，挑選出兩位學生具有代表性的解答編寫成問題1及遞進的拓展題.

問題1 （對學前任務單問題2第②題的整理）班級有同學認為下列數列都可以用裂項相消法求和，你覺得可以嗎？請說明理由！

拓展題1：請理性審視同伴對課前任務單問題2第②題作答的情況，并給予評判.

拓展題2：如何修改②③④數列，可以用裂項相消法求和？

（1）誘導思考.

多數學生對區分“怎樣的數列可以用裂項相消法求和”沒有十足的把握，因此將學生作答的情況作為情境，能夠喚醒學生的內驅力，無論學生作對與否，都渴求知道“為什么”. 學生的探究欲被激發，思維被激活.

（2）由淺及深.

片段1 筆者請生1、生2闡明理由.

生1：都可以，因為①②③④數列的通項都是分式的形式，而且通項都可以拆分成“兩項的差”

-；⑤數列的通項經過理化可得=-. 都滿足裂項相消的條件.

生2：我也覺得都可以，因為它們滿足兩個條件，一是通項都是分式的形式，二是通項的分母都是兩項相乘的形式，而且這兩項的差為常數.

師：其他人有沒有不同的意見呢？

生3：我覺得①⑤數列可以，但②③④數列不可以，這三個數列裂項后并不能相互抵消.

師：到底行不行呢？解答這個問題不僅需要我們動腦思考，還需要我們動筆實踐.

師：它們可裂，但不能相消，為什么不能相消呢？

生4（積極舉手）：數列

不能相消的原因是和不是一個新數列相鄰或相間的兩項，即數列

的通項不能成為一個新數列相鄰或相間的兩項之差. 同理數列

的通項也都不能成為一個新數列相鄰或相間的兩項之差. 而數列

的通項可寫成新數列

的相鄰兩項之差-，數列

可寫成新數列｛｝的相鄰兩項之差-，故可用裂項相消法求和.

師：非常好，你道出了裂項相消法的本質：若原數列的通項公式可裂成一個新數列相鄰或相間的兩項之差，則可實現相互抵消，化無限為有限. （板書）

隨后筆者逐次拋出拓展題1及拓展題2，進一步提高學生的學習興趣，學生在解釋舉例、區分辨別、評價創造等思維活動中，實現了對迷失概念“怎樣的數列才能用裂項相消法求和”的轉化. 當然，在拓展題2中，學生雖然能正確修改數列為

2. 迷失方法的轉化

在高三教學中，我們對方法性問題的求解，不但要關注方法的本質，還要注重適用范圍和操作步驟的探究. 在問題1中，學生初步認識了裂項相消法的原理，但對裂項相消的“源”與“流”甚是陌生. 為此，筆者設計了問題2，從知識源頭幫助學生解決裂項相消法的適用范圍及操作步驟等問題.

問題2 （人教A版必修5第47頁習題2.3B組第4題）數列

的前n項和S=++++…+，研究一下，能否找到求S的一個公式.你能對這個問題作一些推廣嗎？

變式：（學前任務單問題1第⑤題）令c=，求數列｛c｝的前n項和S.

（1）思考實踐，暴露思維誤區.

片段2 筆者給學生充分的時間解答，問題1的錯答者生2，積極要求回答問題2.

生2：現在我明白了，因為=-，所以可以寫成新數列

的相鄰兩項之差，故用裂項相消法可得S=1-+-+-+…+-+-=1-.

師：嗯，從裂項相消法的本質進行分析，很贊！那你能對這個問題作一些推廣嗎？

生2：因為=-，所以可以寫成新數列

的相間兩項之差，用裂項相消法求得S=1-+-+-+…+-+-=1-. 類似推廣，因為=-，所以可以寫成新數列

的相隔兩項之差，用裂項相消法求得S=1-+-+-+…+-+-=1-. 同樣，形如

的數列都可以用裂項相消法求其前n項和.

（2）展示交流，提升思維品質.

師：這種裂項，誰能概括一下它的操作要領？

生6：觀察分子與分母的關聯性，用分母中相乘的兩個因子去表示分子，蘊含著整體代換的數學思想.

師：裂項相消后，剩下多少項呢？

師生在課堂活動中建立積極、友善的心理環境，可以提升學生的學習興趣和積極的情感體驗，學生通過思考實踐、展示交流、診斷評價等思維活動，自覺地融入數學，全身心地參與課堂教學. 經課堂統計發現，上述變式的正確率由課前的25%提升到了95%. 可見，學生迷失的“裂項后系數不平衡及剩下的項數”得到了轉化！

3. 高階思維的發展

深度學習的達成是學生能把新學的知識遷移到新的情境中去，將知識學“活”. 問題3以學生的優秀解答為資源，引發學生的思維在深處碰撞，打破學生的錯誤認知——只有通項為“分式”的數列才能用裂項相消法求和，讓學生深度理解裂項相消法的本質.

問題3 （學前任務單問題2第①題）你能不能用裂項相消法求數列｛2n-1｝的前n項和？

變式題1：你能不能用裂項相消法求數列｛2n｝的前n項和？

變式題2：你能不能用裂項相消法求數列｛（2n-1）·2n｝的前n項和？

筆者以學生Z的解答過程（圖5）為情境，兩次引導學生進行判斷、評論. 第一次，筆者適時提出問題：能否體會Z同學裂項的想法？Z同學這樣裂項的依據是什么？在思維的碰撞中，學生對裂項相消法中“裂”的形式（數列通項不一定是分式的形式）和“裂”的操作步驟（a=S-S（n≥2））有了進一步的認識，同時有了探究方法普適性的訴求，即如何尋找一般數列“裂”的結果. 學生觀察對比、比較反思、提煉總結出了“裂”的特征：一般的，形如｛（an+b）dn｝的數列求和，可以用待定系數法裂項. 當學生合作得出裂項相消法后，筆者第二次引導學生對學生Z的“作品”進行評議.

學生Z的解答過程得到同學充分肯定后，對自己的作答也進行了反思：我是用數感拼湊出來的“裂”的結果，但是像變式2中這樣的數列就很難一眼看出結果了，現在用待定系數法很容易拼湊出“裂”的結果，使得數列求和變得更加簡潔. 感覺裂項相消法適用的范圍很廣，是不是所有數列都可以用裂項相消法求和呢？

借著學生Z的疑問，筆者追問道：所有的數列都可以用裂項相消法求和嗎？大部分學生很快就想到了已作評判的問題1，認為裂項相消法適用的范圍的確很廣，但并不是所有的數列都可以用裂項相消法求和，關鍵要看該數列能不能“裂”成一個新數列相鄰或相間的兩項之差. 繼而，筆者給出問題鏈接高考，實現知識應用遷移.

1.深度學習更加注重復習教學的定位

高三一輪復習具有查漏補缺，梳理基礎知識、基本技能和基本思想，構建有機網絡的作用，但依靠題型堆砌的復習課很難擔此重任，需要教師深度加工教學內容：將離散的知識點按一定的邏輯順序有序聯結，將知識結構化、系統化地呈現在學生面前；從學生的思維起點出發，精心設計系列階梯式的數學活動，讓學生全身心地參與其中，引領學生的思維從低級向高級進階，使學生深刻把握問題的本質. 唯有這樣，深度學習才會悄然發生：構建知識結構，拓展知識技能，感悟思想方法，提升學習能力，發展核心素養.

2.深度學習更加注重課前任務單的利用

部分教師習慣根據經驗單方面地想象學生在學習中存在的困難而進行教學設計，但是他們的“盲目自信”是導致學生的學“浮”于表面、無法下“沉”的主因，使得學生只能跟著教師的想法被動地學，因此機械式記憶在所難免. 深度學習的主體是學生，教師只有根據學生已有的知識和經驗去激發和引導學生學習，這樣深度學習才會真正地發生. 課前任務單可以讓教師真實了解學生的實際水平，明確學生能實現的發展目標. 由此，在實際水平與發展目標之間，教師利用課前任務單的反饋，設計層層遞進的數學活動，讓學生感受到知識與自己的關系，從而喚醒學生的思維，使其自覺地卷入數學學習，讓學生的深度學習成為可能.

3.深度學習更加注重數學交流水平的提升

學會數學交流是《普通高中數學課程標準（2017年版）》的基本理念之一，也是深度學習的體現. 教師要營造民主、平等、合作的課堂氛圍，給予學生敢于表達見解的機會. 為此，筆者將課堂生成（錯解或優秀解答）作為教學資源，把其加工成逐級遞進的探究性和開放性問題，持續引發學生積極思考與交流，鼓勵學生暴露所思所想，在師生、生生間的傾聽、分享、評價，以及小組交流和全班討論中，學生片面的經驗變成全面，繁雜的經驗變得簡約，錯誤的經驗得以糾正，實現了深度學習.

可以說，高三每天都在和題打交道——選題、做題、講題，但教師用題帶給學生的不僅僅是分數，還有題背后的數學之美、數學之魅. 教師應不失時機地引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，落實學生的數學學科核心素養，使數學課堂成為鮮活的、有溫度的、理智與情感共存的教學陣地.

參考文獻：

［1］ 郭華. 如何理解“深度學習”［J］. 四川師范大學學報（社會科學版），2020，47（01）：89-95.

［2］ 伍春蘭，許綺菲. 追求深度學習的高三數學課堂實踐與思考——以“離散型隨機變量分布列、期望與方差”復習課為例［J］. 數學通報，2020，59（01）：19-22.

［3］ 郭華. 深度學習的五個特征［J］. 人民教育，2019（06）：76-80.

作者簡介：董輝（1983—），教育碩士，高級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲杭州市新銳教師榮譽.