基于“意義建構”理論的數(shù)學思維的引導研究

［摘? 要］ 思維貫穿數(shù)學教學整個過程，不論是教師的思維，還是學生的思維，對課堂的“意義建構”都有著至關重要的影響. 文章以“基本不等式”的教學為例，具體從“情境創(chuàng)設，誘發(fā)思維”“問題驅(qū)動，激活思維”“實際應用，提升思維”三方面，談一談基于“意義建構”的數(shù)學課堂思維的引導措施.

［關鍵詞］ 意義建構；思維；情境；應用

布倫達·德爾文（Brenda Dervin）在1972年提出“意義建構”理論，認為知識由學習者主觀建構而成. 該理論是在皮亞杰“認知發(fā)展”理論的基礎上，經(jīng)過實踐與研究而來的，其中“同化”與“順應”為認知發(fā)展的主要過程，學習者的內(nèi)部行為與外部行為的共同作用促進了意義建構. 如何在課堂中引導學生充分暴露思維過程，有效促進意義建構呢？本文以“基本不等式”的教學為例展開分析，與同行交流.

情境創(chuàng)設，誘發(fā)思維

數(shù)學是思維的體操. 想要誘發(fā)學生的數(shù)學思維，教師就要站在學生的立場上，通過合適的情境激發(fā)學生的熱情，調(diào)動學生思維的積極性，讓學生主動參與到知識的建構中來. 豐富的教學情境，能誘發(fā)學生的多向思維，促使學生從不同角度客觀認識知識. 在教學實踐中，良好的情境常能帶給學生較好的情感體驗，促進學生進行思考與探究，幫助學生更好地把握數(shù)學本質(zhì).

初學基本不等式，學生的思維仍停留在“式子”“大于”“小于”等基本知識層面，想讓學生立即認識到基本不等式是一種新的知識模式，確實存在一定的難度. 為此，教師需要研究學生的思維起點與思維習慣，通過豐富的情境讓學生感知基本不等式與之前接觸的方程、函數(shù)等的區(qū)別. 引導學生發(fā)現(xiàn)這是一種新的數(shù)學現(xiàn)象，主要研究的是兩個變量所組成的代數(shù)式間的不等關系.

“兩個變量”“兩個代數(shù)式”“一個恒成立的不等關系”是基本不等式的特點，但學生對此是陌生的. 想要幫助學生突破思維定式的影響，需要創(chuàng)設豐富的情境，在耐心等待中誘發(fā)學生的多向思維，促使學生多方位建構新知.

情境1 如圖1所示，此為2002年在我國北京召開的國際數(shù)學家大會的會標，該圖案是根據(jù)趙爽弦圖設計的，透過明暗色彩不難看出這是一個風車圖案. 大家能從這幅精美的圖案中探尋出一些相等或不等的關系嗎？

學生分組合作學習，每組派一名代表匯報探究結果. 為了充分暴露學生的思維過程，促進學生進行知識意義建構，筆者開始點撥如下.

師：圖2為會標的簡圖，大家從中發(fā)現(xiàn)了哪些熟悉的幾何圖形？

生1：分別有大正方形ABCD、小正方形EFGH以及四個全等的直角三角形.

師：很好！既然我們發(fā)現(xiàn)了這些圖形，能否從這些圖形的面積著手，探尋出其中存在哪些相等與不等的關系呢？

生2：從圖中發(fā)現(xiàn)，大正方形ABCD的面積S=a2+b2，小正方形EFGH的面積S=（a-b）2，四個全等的直角三角形的面積和S=2ab，其中S>S，也就是a2+b2>2ab.

生3：若a=b，可將直角三角形理解成等腰直角三角形，小正方形EFGH縮成一個點，此時S=S. 因此，S≥S，不等關系應是a2+b2≥2ab.

將數(shù)學史作為情境素材，不僅能起到激發(fā)學生興趣、滲透數(shù)學文化的作用，還能發(fā)展學生的人文素養(yǎng). 通過適時點撥，引導學生自主從背景豐富的圖案中探尋出面積間的數(shù)量關系，并抽象出不等關系. 該情境，成功地幫助學生從幾何與代數(shù)的角度認識到了不等式.

情境2 如圖3所示，已知半圓的直徑為AB，點C位于圓周上，且CH⊥AB，H為垂足. 若AH=a，BH=b，為算術平均值，為幾何平均值.

師：說一說圖中的哪些線段可以代表a，b的算術平均值？

生4：線段AO，OB，OC都可以，它們都是圓的半徑.

師：很好，那么圖中哪些線段為a，b的幾何平均值呢？

生5：結合射影定理，不難發(fā)現(xiàn)CH==.

師：若想比較它們的大小，該如何處理呢？

生6：可過點O作AB的垂線，與半圓相交于點E，OE為半徑. 觀察圖形發(fā)現(xiàn)，半弦CH不大于半徑OE，即CH≤OE，所以≤，當且僅當點H與圓心O重合，也就是a=b時，半弦和半徑為相等的關系，此時可取等號.

師：很好！有其他意見嗎？

生7：若從Rt△CHO著手分析，或許更直觀也更容易理解CH≤OC.

師：非常好！從“幾何意義”的角度出發(fā)，咱們又獲得了一個不等式≥，這個不等式中的a，b的取值范圍有什么規(guī)律嗎？

生8：有，a>0且b>0.

生9：不對，應該是a≥0，b≥0. 若a，b均為負數(shù)或一正一負，則該不等式不成立.

師：非常好！但咱們現(xiàn)在只研究該不等式成立的條件a>0，b>0.

該情境從學生熟悉的幾何圖形出發(fā)，讓學生從圖形中自主探索出基本不等式. 這種方式不僅鍛煉了學生的觀察能力與思考能力，還讓學生切身體會到數(shù)形結合思想在數(shù)學學習中的應用，同時深化了學生對基本不等式的認識，為接下來的教學奠定了基礎.

利用趙爽弦圖引出不等式，借助幾何圖形讓學生自主抽象出不等式，學生在兩個情境的啟發(fā)下，不僅發(fā)展了數(shù)形結合思想，還初步獲得了用幾何法證明不等式的能力.

問題驅(qū)動，激活思維

問題是數(shù)學的心臟. 在教學中，不斷涌現(xiàn)的問題體現(xiàn)了數(shù)學的生命力. 問題分為外顯的知識性問題與內(nèi)隱的經(jīng)驗生成性問題. 外顯的知識性問題是單純的教學知識問題化，而內(nèi)隱的經(jīng)驗生成性問題則是數(shù)學問題意義化、形式化. 一般情況下，問題能將知識間的邏輯關系暴露出來，讓學生的思維沿著問題的深化螺旋式上升.

實踐證明，在數(shù)學概念、規(guī)律等的教學中，教師不能滿足于演繹問題或形式地呈現(xiàn)問題，而應將數(shù)學本質(zhì)展露出來，讓學生在問題的驅(qū)動下提出更好的新問題. 同時，課堂問題應具備啟發(fā)性、探索性、開放性與推廣性等特征，遵循“少而精”的原則，如此才能讓學生擁有充足的時間進行分析與思考.

師：通過剛才對兩個情境的分析，大家經(jīng)歷了不等式形成的過程，其實該過程實則為不等式的證明方法. 大家還有其他證明方法嗎？

生10：-==（-）2≥0，即≥，當且僅當a=b時取等號.

師：很好，這就是證明基本不等式的方法之一——作差法. 還有其他方法嗎？

生11：根據(jù)a>0，b>0的條件，要證明≥，即證明a+b≥2，也就是證明a+b-2≥0，即證明（-）2≥0. 我們知道（-）2≥0恒成立，所以≥成立.

師：非常好！這種方法以結論為起點，通過推導到已知條件而完成證明，這也是證明基本不等式的方法之一——分析法. 值得注意的是，書寫“要證明”“即證明”“?”等文字或符號時，要保證每一個步驟都具有可逆性.

生12：能否將生11的證明方法反過來？如對正數(shù)a，b，因為（-）2≥0，所以a+b-2≥0，即a+b≥2，因此≥.

師：這也是基本不等式的證明方法的一種——綜合法. 即以已知條件或結論為出發(fā)點，通過“由因索果”的方法獲得結論. 還有其他方法嗎？

生13：因為a2+b2≥2ab，所以a2+2ab+b2≥4ab，也就是（a+b）2≥4ab. 由于a>0，b>0，因此可將（a+b）2≥4ab的兩側(cè)同時開方，得a+b≥2，也就是≥，當且僅當a=b時取等號.

師：這里應用到了“當且僅當”這個說法，為什么會這么說？

生14：為了表示兩者相等的關系，“當且僅當”可從以下兩個方面進行理解. 一方面，當a=b時取等號，也就是a=b?=；另一方面，僅當a=b時取等號，也就是=?a=b.

師：對于“≥（a>0，b>0），當且僅當a=b時取等號”，大家是怎么理解的？

生15：可以理解為兩個正數(shù)的和與積之間的不等關系.

生16：可以理解為兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)必然不大于它們的算術平均數(shù).

生17：還可以從數(shù)列的角度來理解，即將視為正數(shù)a，b的等差中項，將視為正數(shù)a，b的等比中項，則基本不等式可作如下描述：兩個正數(shù)的等差中項必然不小于它們的等比中項.

師：非常好！大家從不同角度對基本不等式進行了理解與總結，今后若遇到涉及兩個正數(shù)的和與積的問題，可嘗試從基本不等式的角度來分析問題、解決問題.

“還有其他證明方法嗎？”這是一個開放性問題，為學生思考提供了充裕的空間. 在此環(huán)節(jié)中，通過言簡意賅的問題的驅(qū)動與提煉，讓學生自主探索出幾種常用于證明基本不等式的方法（作差法、分析法、綜合法）. 每一種方法都由學生自主領略而來，讓學生從真正意義上實現(xiàn)了基本不等式的意義建構，也充分揭示了知識的本質(zhì).

其中，生11的逆向思維令筆者驚嘆，該生能自主轉(zhuǎn)化思維方式，出其不意地從結論出發(fā)，為證明帶來新的突破. 由此可見，只要給予學生充足的時間與空間，學生就能給我們帶來驚喜. “執(zhí)果索因”的方法，不僅給所有學生都帶來了啟示，還從一定意義上突破了學生原有的認知. 同時，筆者規(guī)范了書寫要求，為培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習習慣奠定了基礎.

實際應用，提升思維

數(shù)學結論為實際應用服務，數(shù)學學習重在辨別、模仿與創(chuàng)新. 基本不等式的幾種證明方法，不僅開闊了學生的視野，還為接下來的實際應用夯實了知識基礎.

例題：若a，b均為正數(shù)，求證（1）+≥2；（2）a+≥2.

生18：（1）+=，因為（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab. 又a>0，b>0，所以≥2，也就是+≥2.

（2）a+=，因為（a-1）2≥0，所以a2+1≥2a. 又a>0，所以≥2，也就是a+≥2.

師（未置可否）：有沒有其他解題方法？

生19：（1）a2+b2≥2ab，因為a>0，b>0，所以≥2，也就是+≥2.

（2）a+-2=，因為a>0，所以≥0，也就是a+-2≥0，所以a+≥2.

師：還有其他意見嗎？

生20：若直接用基本不等式證明更簡單.

（1）因為a>0，b>0，所以+≥2=2，當且僅當=，也就是a=b時取等號.

（2）由于a>0，故a+≥2=2，當且僅當a=，也就是a=1時取等號.

三位學生分別從綜合法、重要不等式與基本不等式三個角度來分析并解決問題. 雖然用基本不等式解決此題更簡潔，但由于是新知，因此學生應用時并不十分流暢. 為了增加學生的熟練度，筆者應用變式題誘導學生思考，增強學生的應用意識.

變式題：求函數(shù)f（x）=+x的值域.

生21：f（x）=+x≥2=2，當且僅當x=，也就是x=1時取等號，因此函數(shù)f（x）=+x的值域是［2，+∞）.

生22：不對，題設條件并沒有明確指出x>0，我們應該將x<0的情況考慮進去.

師：非常好！考慮得很周全，也就是說要對x進行分類討論，誰來說說x<0時該怎么處理呢？

生23：當x<0時，則-x>0，-f（x）=-x≥2=2，因此f（x）≤ -2，當且僅當-x=-，也就是x=-1時取等號. 綜上分析，函數(shù)f（x）=+x的值域為（-∞，-2］∪［2，+∞）.

生24：函數(shù)f（x）=+x屬于對勾函數(shù)，通過作圖，結合函數(shù)的單調(diào)性，也可獲得該函數(shù)的值域.

變式題的應用不僅深化了學生對基本不等式的理解，還強化了學生對“一正二定三相等”的認識，將基本不等式和函數(shù)最值問題聯(lián)系起來，從真正意義上實現(xiàn)了知識建構.

蘇霍姆林斯基認為，每個人都希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 學生對知識的探索欲與生俱來，關鍵是教師如何利用好學生的這種心理. 涂榮豹先生認為，在教學中，教師要注重啟發(fā)式的提問，盡可能多采用一些元認知問題，少采用一些認知性問題，讓學生在開放性的狀態(tài)下應用所學知識解決實際問題，以強化學生對知識的應用能力.

總之，情境創(chuàng)設、問題驅(qū)動與實際應用是引導學生充分暴露思維過程，促進知識意義建構的重要途徑. 作為教師，應想盡一切辦法了解學生的思維，提煉學生的思維，尤其將數(shù)學思想方法巧妙地融入教學的各個環(huán)節(jié)，讓學生自主感悟、體會知識的意義建構，從真正意義上發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

作者簡介：蒯龍（1981—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.