問題情境助力數學教學

［摘? 要］ 問題情境是落實“素養本位”的重要舉措，對培養學生的“四基”“四能”與“三會”具有深遠的影響. 文章從以下幾方面談談問題情境助力數學教學：趣味型問題情境，激發學習興趣；探究型問題情境，喚醒探索意識；應用型問題情境，促使命題呈現；啟發型問題情境，突破思維難點；挑戰型問題情境，發展創新意識.

［關鍵詞］ 問題情境；數學教學；思維

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出：培養與發展學生的數學學科核心素養是數學教學的導向，恰當的問題情境不僅能有效啟發學生的思維，激發學生對教學內容的探究興趣，還能讓學生從本質上掌握知識內涵，發展學生的數學學科核心素養. 實踐證明，將問題情境應用在教學中是落實“素養本位”的重要舉措，對培養學生的“四基”“四能”與“三會”具有深遠的影響.

趣味型問題情境，激發學習興趣

興趣是學習最好的老師，基于學生“興趣點”設置的問題情境，能有效激發學生的好奇心，讓學生對情境內容產生自主探索的動機. 結合學生認知發展規律與心理發展特征，教師創設妙趣橫生的問題情境，一方面能活躍課堂氣氛，拉近師生心靈之間的距離；另一方面能讓學生對教學內容產生探索欲，更加積極地參與到課堂活動中來.

案例1 “等比數列”的教學.

為了有效激發學生的好奇心，筆者在本節課創設了如下情境，以引發學生對等比數列概念的探索興趣.

有一天，兔子與烏龜賽跑，已知烏龜在兔子前方1千米處，兔子的速度是烏龜速度的10倍. 當兔子追到1千米處時，烏龜向前爬行了千米；當兔子追到千米處時，烏龜向前爬行了千米；當兔子追到千米處時，烏龜向前爬行了千米……

問題：（1）分別寫出各個時間段內兔子和烏龜各自奔跑的路程；

（2）根據這個規律，在這場賽跑中，兔子能否贏過烏龜？

龜兔賽跑是學生耳熟能詳的童話故事，因此成功地吸引住了學生的探索興趣，學生從情境中成功地探尋出了等比數列的定義. 這種趣味型的教學法，不僅深化了學生對教學內容的認識，還讓學生感到了數學獨有的魅力，為學生創新意識的形成奠定了基礎.

探究型問題情境，喚醒探索意識

林清玄在其一篇文章中寫道：墾地播種，都是“花未發而草先萌，禾未綠而草先青”. 學習與種莊稼一樣，都是一個從“有一點”到“有更多”的過程. 建構主義理論認為，教學應當把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中生長出新的知識經驗.

探究型問題的設計，首要考查學生已有的知識結構，根據知識結構關系圖（見圖1），明晰探索的聯結點. 這里提到的聯結點，可以是知識拓展關系、思想同源關系，也可以是方法類比轉化關系等. 不論從哪種關系出發，均為喚醒學生的探索意識，讓學生積極主動地參與到知識的深入探索中做鋪墊.

案例2 “函數的零點”的教學.

對于函數圖象與x軸的交點、方程的根以及函數的零點，學生已經有了一定的認知基礎. 基于此探索函數零點存在性定理，需要引導學生思考該怎樣判斷函數零點存在的情況，想要解決這個問題，存在兩條思路：①把函數零點問題轉化成求方程的根的問題；②探索函數圖象與x軸交點的情況.

函數零點存在性定理為什么可以從函數圖象著手進行分析呢？挪威數學家阿貝爾明確證出五次及五次以上的方程不存在根式解. 由此能看出第一條思路無法作為通性通法來解決這個問題.

基于學生原有認知結構與新知的聯結點，此處可設計如下問題情境.

問題1：函數f（x）=x5+x-1有沒有零點？為什么？

問題2：確定函數圖象與x軸是否存在交點后，回顧畫圖過程，思考是否需要畫出完整的圖象，是否存在更便捷的方法.

問題3：如果（a，b）為函數y=f（x）的單調區間，思考在什么條件下該函數存在零點.

設計意圖 第一個問題，低起點的情境設計，意在讓每一個學生都能參與到問題的思考中來. 后面兩個問題的逐層深入，能有效驅動學生的探索行為，培養學生的思考習慣，為形成科學嚴謹的求真精神奠定基礎.

應用型問題情境，促使命題呈現

建構主義學習理論將真實情境作為“意義建構”的前提，認為創設真實的情境是實施教學的重要手段之一. 在教學中，一些問題情境的創設，不僅僅是為了讓學生解決純粹的數學問題，更重要的是發展學生的認知，讓學生從情境中自主抽象出數學概念、定義與命題等.

事實證明，情境是問題產生的土壤，精心創設情境是促使學生自主發現并提出問題的關鍵，當學生面臨處于最近發展區的問題情境時，能有效調動自身的探索意識，進一步提升鉆研精神，為形成創新能力奠定基礎.

案例3 “正弦定理”的教學.

如圖2所示，一名測繪員準備測量河兩岸A，B之間的距離，經緯儀分別測出∠CAB=105°，∠ACB=45°，AC的距離為100米. 通過這幾個數據，該測繪員就能獲得A，B之間的距離，為什么呢？

面對這個問題，大部分學生將△ABC轉換成直角三角形來分析，筆者趁勢提出：是否有相應的定理可以直接用來解決這個實際問題呢？

這個問題成功地將學生的思維引入本節課的教學主題——正弦定理. 這個應用型問題情境的提出，不僅激發了學生的探索欲，還彰顯了正弦定理研究的必要性與實用性. 那么，該從什么角度來探索正弦定理呢？

結合學情與教學內容的特點，筆者決定帶領學生從著名的哥德巴赫猜想出發：哥德巴赫在一次研究中發現3+3=6，3+5=8，3+7=10，5+7=12，3+11=14，…. 由此，他猜想任何一個不小于6的偶數均能表示成兩個質數的和. 顯然，哥德巴赫猜想應用了從特殊到一般，由具體到抽象的歸納法，屬于數學研究的常用方法之一.

以此作為探索的切入口，帶領學生采取從特殊到一般的方法來探索正弦定理，如通過對上述問題中A，B之間的距離的探索，延伸到其他類似問題的探索，而后總結歸納一般情況下的正弦定理.

類比思想的應用，不僅讓學生對正弦定理的研究方法有所了解，還成功激發了學生的數學精神，讓學生充分感知創新源于生活的真諦. 同時，數學史的引入，也成功滲透了數學文化，從一定意義上提高了學生的數學素養. 學生在這些具有豐富內涵的問題情境的熏陶下，積極開動腦筋，形成想學、會學、樂學的氛圍.

啟發型問題情境，突破思維難點

問題情境確實能助力有效教學，但并不是要求所有的問題情境設計都要做到面面俱到. 事實告訴我們，問題情境的創設須從學生的思維出發，把控學生思維的活動點，讓學生在豐富的問題情境中碰撞出新的火花. 例如從學生思維的障礙點處、思維的拐角點處、思維的發散點處設計問題情境，常能啟發學生的思維，幫助學生突破思維難點.

案例4 “函數的單調性”的教學.

怎樣科學合理地讓學生自然理解數學問題的“代數化”，如何把文字語言轉換成抽象的代數符號？這是本節課的教學重點與難點，也是學生思維的障礙點. 一旦解決了這個問題，本節課就算圓滿了. 為此，筆者結合教情與學情，創設了如下問題情境.

師：函數的單調性，亦可稱為函數的增減性. 即當函數f（x）的自變量x位于其定義區間內增大（或減小）時，函數值y也隨之增大（或減小），此為該函數位于該區間所具有的單調性. 結合我們已有的知識經驗，請大家思考該怎樣用代數語言對“x增大，y也隨之增大”這句話進行精準刻畫，并將其特征表述清楚.

這個問題作為課堂導入的核心問題，對學生來說，確實比較抽象，不少基礎薄弱的學生難以理解并給出準確的結論. 為此，筆者在此問題的基礎上，利用幾個逐層深入的“子問題”啟發學生的思維，讓學生實現自我突破.

問題1：請大家思考，想要體現“x增大”，最少要有幾個數？怎樣將這些數進行代數化？

問題2：從函數單調性的概念出發，請大家說說，在什么情況下會出現“x增大，y隨之增大”的情況？

問題3：在一次函數y=2x+1中，x逐漸增大，y值會發生怎樣的變化？這種變化反映了一次函數y=2x+1的什么特性？

問題4：說一說該用怎樣的代數語言來準確表達一次函數y=2x+1的單調遞增.

問題5：根據函數單調性的概念，分析“當x=1，x=2時，可得y=3，y=5，這就表示y=2x+1為一個單調遞增的函數”，這種說法對嗎？若不對，請正確表述.

x，x的任意性是學生在高中階段首次碰到的“任意”的情況，想要讓學生精準理解這個詞的實際含義，從真正意義上突破認知難點，需要教師創設豐富的問題情境，引導學生自主去辨析，并通過反例的應用，引發學生思考，讓學生在自主探索中發現奧秘.

問題串以低起點、小步子、多層次的方式啟發學生的思維，讓學生親歷函數單調性形成與發展的過程. 問題5的提出，意在讓學生學會追根溯源，發現錯誤的原因，為更深刻地理解函數的單調性夯實基礎，這對培養與發展學生的邏輯思維與抽象素養具有重要意義.

挑戰型問題情境，發展創新意識

數學教學的目標并不僅僅是為了讓學生掌握相應的知識與技能，還要讓學生在知識學習的基礎上提升實踐能力，形成創新意識，發展數學學科核心素養. 這要求教師在課堂中除了常規授課外，還要創設一些富有挑戰性的問題情境，引發學生質疑，促進學生對知識的理解，為培養學生的“四基”“四能”與“三會”奠定基礎.

案例5 “點到直線的距離公式”的應用.

當學生掌握了點到直線的距離公式后，為了激發學生的潛能，引發學生產生質疑能力，筆者創設了如下問題情境.

問題：已知點P（x，y），直線l：Ax+By+C=0，如果作PQ⊥l，Q為垂足，設點Q（a，b），那么點P到直線l的距離d=（*），求d的表達式.

看到這個問題，大部分學生會直接利用兩條直線（直線PQ和直線l）的方程獲得點Q的具體坐標，再借助兩點間的距離公式獲得d的表達式. 不過也有學生提出，這種思路雖然比較容易理解，但是整個運算過程煩瑣、冗長，容易出現失誤，因此考慮換一個角度來解決這個問題.

學生的想法暴露出了真實的思維狀態，想要突破這個難點，可從宏觀的角度引發學生思考，讓學生感知整體思想的優勢.

從宏觀的角度來分析這個問題，不難發現求出a，b絕非解決本題的關鍵，關鍵的一步在于求出（x-a）和（y-b）. （計算是否煩瑣就在于這兩個出發點的區別）

若設A≠0，那么Aa+Bb+C=0，

=，從求解目標出發，可將Aa+Bb+C=0轉換成A（x-a）+B（y-b）=Ax+By+C. 根據=的比例關系，可設x-a=At，y-b=Bt，將此代入A（x-a）+B（y-b）=Ax+By+C中，求得t=，將此代入式（*）中，則d=t= . 容易證明，當A=0時，此公式亦成立.

這種處理方法顯然比大部分學生的初始思路要簡便許多. 為什么換個角度就能讓解題過程變得如此便捷呢？這就是站在整體性、系統性的角度來分析問題的優勢. 擁有洞察全局的能力，則能分清矛盾的主次關系，從而探尋出解決問題的突破口.

此問題情境不僅讓學生體會了整體思想在解題中的妙處，還讓學生強化了“目標意識”和“設而不求”的解題技巧. 上述求解過程，彰顯了從不同角度、不同思維去分析問題，會有完全不一樣的解題路徑，這給學生帶來了啟示：數學是一門有魅力的學科，在學習過程中不一定要有特別強大的理論功底，只要勇于質疑、勤于思考，便能開啟創造的篇章.

總之，借助問題情境助力數學教學是踐行高中數學有效教學的重要手段之一. 教師應不斷地更新教學理念，將“立德樹人”“五育并舉”等理念放在教學首位，創設各種符合學情、教情與考情的問題情境，激趣啟思、引發質疑、突破自我，為培養學生良好的創新意識，提升學生的核心素養夯實基礎.

作者簡介：錢勇（1980—），本科學歷，中學一級教師，市級學科帶頭人，從事高中數學教學工作.