基于幾何直觀和空間觀念滲透數形結合思想

王芳珍 高思遠

【摘要】教學是一種科學和藝術相結合的過程，它強調了教師“教”的方法.作業是學生學習的重要手段，它能夠滿足學生“學”的需求，促進學習進步.學生的發展離不開高質量的作業，因此，教師要設計高質量的作業，讓學生在做作業的過程中鍛煉“思維”，發展“智慧”，讓學生能夠解決日常生活中的問題，同時在做作業的過程中培養情感、態度和價值觀.基于此，文章以“勾股定理”為例進行了單元作業設計，并進行了反思，希望能為廣大教師設計單元作業提供參考.

【關鍵詞】單元作業；幾何直觀；空間觀念；數形結合

《義務教育數學課程標準（2022年版）》的發布，指出教師需要有針對學生特點自主設計和改編作業的能力，而不是簡單使用“大一統”的作業.經過系統評估與檢驗的作業不僅能夠有效提高教學效果，還能夠為學生的全面成長打下良好的基礎.那教師應該怎樣設計高質量的單元作業呢？下面筆者以“勾股定理”為例，談談作業設計的思路及反思.

一、單元作業設計

（一）作業主題及其解析

數學是一門深入探索數量關系和空間形式的學科，因而研究總是圍繞著數與形進行的.“數缺形時不直觀，形少數時難入微”，這是數形結合的形象表述.通過幾何的直觀性來分析問題，利用空間觀念來理解實際情況，可以使復雜的數學概念變得更加清晰、生動，從而幫助我們更好地探索解決問題的方法，并預測結果.

本單元作業設計以人教版教材八年級下冊十七章“勾股定理”的內容為載體，先引導學生借助幾何直觀看圖猜想，再利用條件探求解題的方向，幫助學生鞏固單元教學中借助幾何直觀和空間觀念解決數學問題的方法，從而培養學生的幾何直觀素養與解決問題的能力，同時滲透數學文化，培養其民族自豪感.

（二）單元學習內容及其解析

1.單元學習內容

本單元的內容包含兩個方面：一是深入探討勾股定理，以觀察、計算、猜想、證明等步驟推導勾股定理；二是介紹勾股定理的逆定理和實際應用，通過猜想、證明得到勾股定理的逆定理，并簡單運用此定理.

2.地位和作用

勾股定理是數學史上的一個里程碑，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，為數學的發展奠定了堅實的理論基礎，并且在平面幾何、三角學、解析幾何學、微積分學等多個領域都發揮著重要的作用.它構建起一座橋梁，讓數學家們可以深入探索數學的真諦，并以此為基礎找到更有效的解決問題的方案.這種定律已經成為數學史上的經典定律，是當今世界最具影響力的數學定理之一，為我們搭建了一座宏偉的數學殿堂.

（三）學習現狀分析

1.認知基礎

在學習本章以前，學生已經深入探討了三角形的基本概念，包括三邊不等的定義、三角形的全等性及其判定方法、直角三角形內角的關系、特殊直角三角形的特征等，同時，他們學習了如何利用圖形面積來推導數學公式，例如單項式乘多項式法則、多項式乘多項式法則等，這能使其更好地理解和解決勾股定理相關問題.于是，教師可讓學生在原有的認知水平基礎上探尋勾股定理的相關知識，讓學生的知識形成知識鏈，讓學生已具有的數學思維能力得以充分發揮和發展.

為了了解學生對之前知識的學習情況，教師可設計一份單元前測試題.單元前測試題的主要內容是與本章學習內容有聯系或能進行技能疊加的相關知識.根據前測的結果，教師可以檢測學生對之前知識的掌握情況，然后針對學生掌握情況設計適合學生的單元作業，更好地讓學生學好本章知識，達到預期的目標.

2.年齡特征和心理特征

八年級學生充滿好奇心，思維敏捷，渴望探索，樂于實踐.在學習中，他們能更加積極地參與到觀察、猜測、嘗試、質疑、實驗、歸納、總結等活動中，并且獲得豐富的實踐經驗.教師根據這些特征指導學生學習，可使他們更加樂于從日常生活中發掘數學的相關性，并且通過獨立思考分析、解決問題，激發他們的學習熱情，從而更好地掌握數學知識.通過激勵和鼓勵，教師可以更好地開發學生的潛力，培養他們的智力.

（四）作業目標

目標層次解析：

Ⅰ水平：能在簡單圖形中識別直角三角形基本圖形結構，發展學生對直角三角形基本圖形結構的幾何直觀，同時掌握應用勾股定理及其逆定理進行簡單計算的技能.

Ⅱ水平：能夠在簡單圖形中構造直角三角形的基本圖形結構，即簡單圖形中只出現基本直角三角形圖形結構的一部分，學生依據較強的幾何直觀和空間觀念構造直角三角形的圖形結構，并能應用勾股定理及其逆定理進行簡單推理，為在復雜圖形中識別和構造直角三角形圖形結構奠定基礎.

Ⅲ水平：能在復雜圖形中識別直角三角形基本圖形結構，掌握以等腰三角形、平面直角坐標系等知識為基礎的技能疊加，能依據較強的直觀想象在復雜圖形中分離出基本圖形，也為綜合應用已學知識解決問題奠定基礎.

Ⅳ水平：能在復雜圖形中構造直角三角形基本圖形結構，即復雜圖形中只出現基本圖形結構的一部分，學生依據較強的幾何直觀和空間觀念構造直角三角形，猜想與直角三角形相關的結論，并綜合應用圖形的性質解決問題.

（五）作業設計的層次安排

單元層次：勾股定理→勾股定理的逆定理→單元小結.

課時層次：①勾股定理→勾股定理的簡單應用→運用勾股定理解決實際問題.

②勾股定理的逆定理→勾股定理逆定理的簡單應用→勾股定理及其逆定理的綜合應用.

作業除了滿足單元本身的要求，同時要滿足學生學業水平層次性的需求.

二、單元作業設計反思

（一）作業設計原則

1.整體性

本單元作業設計主要以“勾股定理”的內容為載體，整章知識結構是：探索發現圖形的性質，提出猜想，獲得定理的證明，最后是“勾股定理”的實際應用.作業應將直角三角形與平面直角坐標系、等腰三角形等知識點進行有機結合，體現整體性.基于整體性，教師可設計跨課時作業，即跨越第1，4，6課時，以加強知識前后聯系，形成知識結構化.

2.層次性

本單元作業在目標層次上分為四個水平層次：在簡單圖形中能識別直角三角形基本圖形結構，在簡單圖形中能夠構造直角三角形的基本圖形結構，在復雜圖形中能識別直角三角形基本圖形結構，在復雜圖形中能構造直角三角形基本圖形結構.

3.豐富性

本單元作業的豐富性主要體現在以下兩個方面.①作業情境豐富.勾股定理在實際生活中有廣泛的應用，在本單元作業中可設計航海、木板過門框、建育苗棚、快速道建設等問題，以發展學生的綜合應用能力.②作業類型豐富.本單元作業設計可以基礎性作業為主，適當設置綜合運用性作業，增設探究拓展性作業（跨課時作業）和實踐活動性作業，讓學生在各方面都能得以發展.

4.創新性

本單元作業設計以能力素養的發展水平為主線、以直角三角形的基礎知識和基本技能為暗線進行設計，作業中設計了原創題，以新情境考查、診斷學生能力素養的發展，還設計了跨課時作業和實踐活動性作業，以創新發展學生的能力.

5.適切性

本單元作業的適切性主要體現在以下兩個方面.①符合課標要求，重視教材中練習題的使用.本單元作業應控制題目難度，不選擇超綱或與還沒學習的內容的技能疊加等繁難題目.②控制作業時長.課時作業應按選擇題、填空題、解答題“3+3+4”的量進行設計，學生完成時長為35分鐘左右；單元小結作業也按選擇題、填空題、解答題“3+3+4”的量進行設計，學生完成時長為40分鐘左右.每份作業還要分為基礎鞏固和拓展提升兩部分，以滿足不同層次學生的需求.

（二）課時作業規劃表

教師需要有大單元作業設計的基本理念、基本策略與方法，并能夠像學科專家那樣從多角度綜合分析作業的每一部分，以確保作業的完整性和結構性.教師應思考課時作業的題型、類型、知識點、技能、能力、思想方法、目標層次、對象、預估難度等方面，并以表格的形式展現，讓作業設計的策略可視化，讓作業設計不再是模模糊糊一大片，而是變成具體可操作的要求與整體理念的完美結合.

下面給出“勾股定理”課時1的作業規劃表.

（三）單元作業屬性表

教師在作業設計過程中需要展示設計的思維過程，對作業的各個關鍵要素的屬性有清晰的判斷，如設計過程中需要思考哪些關鍵因素，對這些關鍵因素應基于怎樣的標準進行設計和思考，并準確判斷其屬性，等等，針對這一系列的思維過程，教師可借助列表形式，清晰思考作業設計過程中的關鍵問題.下面給出“勾股定理”單元作業屬性統計表.

結 語

如果說教學從某種角度上著重體現了教師“教”的科學與藝術，那么作業則充分體現了學生“學”的需求，故教師要設計高質量的作業.筆者認為，首先，教師需要對單元進行整體規劃，確保作業設計的整體結構性，明確單元的基本屬性；其次，單元目標應根據單元規劃進行整體設計，再進行課時目標的設計；最后，依據目標設計作業.這樣，學生可在做作業的過程中鍛煉思維，發展智慧，同時在做作業的過程中培養情感.

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