巧借數(shù)形結(jié)合思想提升中職數(shù)學(xué)解題效率

李陽陽

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想對各學(xué)段教學(xué)極為重要，會影響學(xué)生解題效率的提升.但從現(xiàn)階段中職數(shù)學(xué)教學(xué)水平來看，數(shù)形結(jié)合的運用效果并不理想，存在數(shù)形結(jié)合思想運用較少的情況.因此，文章結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想觀念、運用方法，圍繞直線與圓及圓錐方程、函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、集合等案例，探討數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過程，以優(yōu)化數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的思維，全面掌握數(shù)學(xué)知識和思維能力，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；中職數(shù)學(xué)；解題效率

引 言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是單純學(xué)習(xí)“數(shù)”的概念，如果教學(xué)只停留在“數(shù)”的層面，學(xué)生會感到枯燥乏味.故有效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式是將“數(shù)”與“形”相結(jié)合，這也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因為任何數(shù)學(xué)問題都是圍繞這兩個方面展開、發(fā)展、演變的.每個圖形都包含著數(shù)量關(guān)系，描述數(shù)量關(guān)系又可通過圖形進(jìn)行直觀觀察和判斷.因此，教師應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想運用于數(shù)學(xué)教學(xué)，幫助學(xué)生提高解題效率.

一、數(shù)形結(jié)合思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用方法

（一）認(rèn)識“數(shù)”與“形”的關(guān)系，提高數(shù)形感知能力

“函數(shù)”是中職數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重點內(nèi)容，也是學(xué)生認(rèn)為的學(xué)習(xí)難點.在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，不僅要讓學(xué)生理解函數(shù)概念、函數(shù)解析式等知識點，還要讓學(xué)生理解函數(shù)知識下“數(shù)”和“形”的內(nèi)在關(guān)系.這樣學(xué)生才能真正掌握函數(shù)概念、性質(zhì)、圖形及其運用原理，建構(gòu)知識框架，提高學(xué)習(xí)效率.因此，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生對“函數(shù)”這一章節(jié)中的重點知識進(jìn)行解析，借助黑板畫圖等傳統(tǒng)呈現(xiàn)方式，或借助多媒體技術(shù)、白板等現(xiàn)代化教學(xué)手段，讓學(xué)生直觀感受“數(shù)”和“形”之間的關(guān)系.

（二）引入生活中的“形”，以“形”加深對“數(shù)”的認(rèn)識

我們在日常生活中會遇到各種圖形知識，如繩子與繩結(jié)，溫度計與刻度，將每天走過的一條馬路看作一條直線，教室中每個學(xué)生的座位，等等.教師應(yīng)將這些生活中的“形”和“數(shù)”相結(jié)合的例子遷移到教學(xué)中，并挖掘教材，創(chuàng)造滲透機會，比如，將不等式及不等式的解集在數(shù)軸上進(jìn)行表示，以直觀的圖像理解抽象的概念與性質(zhì)，或者結(jié)合生活中的周期現(xiàn)象建立三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題，如物理中的簡諧振動、交流電中的電流等.以常見的停車場設(shè)計為例，在一些地形比較特殊、形狀不規(guī)則的地段，要想規(guī)劃建設(shè)停車場，就需要運用三角函數(shù)來計算車位和停車場的面積等.此外，食品包裝設(shè)計也需要借助三角函數(shù)計算外包裝的尺寸，不僅要能夠承載食品數(shù)量，還要使用料成本最少.教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實例，利用圖形進(jìn)行整合與分析，利用所學(xué)圖形知識將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念直觀化、簡單化，梳理數(shù)學(xué)知識與具體問題的內(nèi)在聯(lián)系，快速找到解決問題的方法，實現(xiàn)知識內(nèi)化.

（三）結(jié)合數(shù)量關(guān)系，解決圖形問題

很多幾何問題只通過圖形分析就已經(jīng)觸及數(shù)量關(guān)系.學(xué)生要能通過其“形”的外表總結(jié)出圖形與數(shù)量關(guān)系的規(guī)律，將圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，以此促進(jìn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合.中職數(shù)學(xué)課本中包含很多圖形規(guī)律問題，要想解決這一類問題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析圖形位置和圖形關(guān)系，從幾何圖形問題中提取代數(shù)信息、數(shù)字信息，實現(xiàn)“以數(shù)解形”.

例1 小明購買了一套住宅，準(zhǔn)備將地面鋪上地磚，請結(jié)合圖1所示的數(shù)據(jù)（單位：m）分析下列問題.

問題一：用含x，y的代數(shù)式表示地面總面積.

對于該問，應(yīng)結(jié)合已知條件和圖示分析圖形數(shù)量關(guān)系，分別求出客廳、臥室、衛(wèi)生間、廚房的面積，再求和，得出地面總面積為（6x+2y+18）m2.

問題二：已知客廳面積比衛(wèi)生間面積多21m2，地面總面積是衛(wèi)生間面積的15倍.若鋪1m2地磚的平均費用為80元，則鋪地磚的總費用為多少元？

由問題一可知地面總面積為（6x+2y+18）m2，結(jié)合問題二的已知條件，可得出地面總面積6x+2y+18=45（m2），鋪1m2地磚的平均費用為80元，則總費用為45×80=3600（元）.

解這道題的關(guān)鍵是先理解題意，結(jié)合已知條件和問題對圖示給出的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行整合、分析，把握數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，再利用方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型.教師要幫助學(xué)生從形象思維過渡到抽象思維，從抽象概念轉(zhuǎn)化為形象圖像，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識解決實際問題.總之，中職數(shù)學(xué)教師要注重在教學(xué)過程中對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行滲透、概括和歸納，尤其要重視總結(jié)解決一類題的數(shù)形結(jié)合方法.

二、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用案例分析

（一）數(shù)形結(jié)合思想在解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值問題結(jié)合的題目在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)較大比重，幾乎每年都會將其作為重點考查的知識點，并且將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于求導(dǎo)與函數(shù)問題也是常見的考查方式.為此，教師可結(jié)合導(dǎo)數(shù)、極值的相關(guān)問題進(jìn)行分析和講解.

例2 已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x不小于0時，存在等式f（x）=x2+2x.假設(shè)f（2-a2）>f（a），那么實數(shù)a的取值范圍為.

在例2的解析過程中，教師可以以奇函數(shù)性質(zhì)為基礎(chǔ)，完成函數(shù)解析式的分析工作，然后通過畫出具體圖像的方式降低解題難度，最后參照函數(shù)單調(diào)性完成求導(dǎo)工作.具體來說，在分析過程中，考慮到f（x）為奇函數(shù)，那么在x不小于0的情況下，可以得出f（x）=x2+2x=（x+1）2-1，這部分圖像如圖2所示.結(jié)合題目可以了解到，f（x）在實數(shù)R范圍內(nèi)為增函數(shù).此時，若存在關(guān)系f（2-a2）>f（a），那么可以判定2-a2>a，對這一判定進(jìn)行求解，可以得到-2

（二）數(shù)形結(jié)合思想在解三角函數(shù)題目中的應(yīng)用

對于三角函數(shù)求定義域、值域、求取值范圍等問題，直接求解相對煩瑣，而運用數(shù)形結(jié)合思想則比較容易，可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題來解決，快速找到解題的關(guān)鍵，使抽象問題更具象化、形象化.

這道題的解題關(guān)鍵是利用函數(shù)解析式畫出對應(yīng)圖像（如圖3所示），從而更直觀地得出答案.

（三）數(shù)形結(jié)合思想在解不等式問題中的應(yīng)用

直接觀察或者求解不等式問題很難快速找到解題思路，并且計算過程非常煩瑣，很容易使學(xué)生在計算中出現(xiàn)錯誤，從而導(dǎo)致整個結(jié)果的錯誤，但運用數(shù)形結(jié)合思想可以避免這一問題，讓學(xué)生更直觀地把握問題核心和解題關(guān)鍵.

例5 某學(xué)校想要租借A，B兩種型號的客車，組織學(xué)校600名師生研學(xué)旅游，讓學(xué)生拓寬視野.已知A型客車能載客24人，租金為1600元/輛，B型客車能載客40人，租金為2400元/輛.學(xué)校要求租車的總數(shù)不超過21輛，而且B型車不多于A型車7輛，求最少的租金是多少.

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想可以有效幫助中職學(xué)生面對無法直接求解、存在理解困難的問題時快速找到解題的“鑰匙”，鍛煉學(xué)生思維、實踐等多方面的能力，提高其解題效率.因此，教師要進(jìn)一步深入探究數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，以學(xué)生為中心，聚焦直線與圓及圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、集合等問題，通過數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化、以數(shù)解形、以形助數(shù)找出數(shù)量關(guān)系，畫出圖像，提高學(xué)生靈活運用知識的能力，確保其高效解題.

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