巧添平行線　構造相似形

欒長偉

用平行線分線段成比例定理或相似三角形的知識來解題，是初中數學常用的方法.有時題目中沒有平行線或相似三角形，則要引入平行線，構造如圖1和圖2所示的相似三角形.這類相似三角形通常被稱為“平行線型”相似三角形. 題目中出現同一直線上或兩條平行線上的兩條線段之比時，通常要構造“平行線型”相似三角形.下面舉例探討不同背景下，如何構造“平行線型”相似三角形來解決問題.

一、在三角形中構造

例1 如圖3，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = BC，點D為BC邊上的中點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F.求[AFFC]的值.

分析：本題條件和結論中都出現了同一直線上的兩條線段的比，即已知的[BDDC] = 1和要求的[AFFC]，為此，考慮以點D或點F為分點添加平行線，構造“平行線型”相似三角形.

解法1： 如圖3，過點D作DG[?]BF，交AC于點G.

易證△BED∽△AEB，有[BDAB=BEAE=DEBE]，進而得出[AEDE] = 4.又因為DG[?]BF，所以[FGFC] = [BDBC] = [12]，FC = 2FG，結合[AFFG] = [AEDE] = 4，可得[AFFC] = [AF2FG] = 2.

解法2：如圖4，過點C作CG[?]AD，交BF的延長線于點G.同解法1可得[AEDE] = 4.因為D為BC中點，CG[?]AD，所以[DEGC=12]，進而得到[AEGC=2].再證明△AEF∽△CGF，可得[AFFC=AEGC=2].

變式：已知，如圖5，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F.若[ABBC] = [BDDC] = n，求[AFFC]的值（用含n的式子表示）.

分析：本題看似已知條件發生了變化，但題中“同一直線上的兩條線段的比”這一特征沒有變化，所以還是添加平行線，構造“平行線型”相似三角形.

解： 如圖5，過點D作DG[?]BF交AC于點G.由條件得BD = nDC，BC = （n + 1）DC，AB = n（n + 1）DC.易證△BED∽△AEB，所以[DEBE] = [BEAE]，得到[AEDE] = （n + 1）2.因為DG[?]BF，所以[FGGC] = [BDDC] = n，所以FG = nGC，FG = [nn+1]FC.因為DG[?]BF，所以[AFFG] = [AEDE] = （n + 1）2，可得[AFnn+1FC] = （n + 1）2，所以[AFFC] = n2 + n.

二、在四邊形中的運用

例2 如圖6，在四邊形ABCD中，AD[?]BC，∠ABC = 90°，AD = CD，F是對角線AC的中點，連接BF并延長交CD于點E，BE⊥CD.求[ADBC]的值.

分析：本題的顯著特征是所求比值的兩條線段所在直線互相平行，可以考慮構造“平行線型”相似三角形.

解：分別延長BA，CD交于點G.在Rt△ABC中，F為斜邊AC的中點，有FB = FC.又因為DA = DC，可證∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°，易得∠G = ∠2 = 30°，可得AC = AG.在Rt△ABC中，[ACAB=2]，可知[AGAB=2]，所以[AGGB=23]，所以[ADBC=AGGB=23].

三、在圓中構造

例3 如圖7，AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，AD⊥CD于點D，交⊙O于點E，連接BD交AC于點F， BA = BD，求[DFBF]的值.

分析：本題圖形較復雜，題目中的特殊條件也較多，細心觀察發現待求比值的線段在同一直線上，可考慮連接BE，得到直角，通過“垂直于同一直線的兩直線平行”構造“平行線型”相似三角形來解決問題.

解：連接BE交OC于點H，交AC于點G.

由DC為⊙O切線，AD⊥CD，可證明CO[?]AD，可得∠DAC = ∠ACO，由OA = OC，可證∠ACO = ∠CAO.又可知四邊形DEHC為矩形，可得△AEG≌△CHG，所以EG = HG，EG = [13]BG.又可證EG = [12]CD，因此[DCBG] = [2EG3EG] = [23]，又因為△DCF∽△BGF，所以[DFBF=DCBG=23].

例4 如圖8，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2 = CE·CA，分別延長AB，DC交于點P，若PB = OB，CD = [22]，求⊙O的半徑.

分析：在圓中，構造等腰三角形比較容易，結合角平分線，可以較為方便地得到平行，構造“平行線型”相似三角形.

解：連接OC，設⊙O的半徑為r.

由DC2 = CE·CA和∠ACD = ∠DCE，可證得△CAD∽△CDE，得到∠CAD = ∠CDE，易證OC[?]AD，利用平行線分線段成比例定理得到[PCCD=POOA] = 2，則PC = 2CD = [42]，然后證△PCB∽△PAD，利用相似比得到[PCAP=PBPD]，即[423r=r62]，解得r = 4，即⊙O的半徑為4.

通過上述幾個問題的解決，我們可體會到解決這類問題的兩個關鍵之處：一要熟悉“平行線型”相似三角形的適用背景；二要準確地確定過哪個點且作哪條線的平行線.只有抓住這兩個關鍵，才能有效解決問題.