高觀點下利用矩陣研究分式線性遞推數列

江蘇省揚中高級中學(212200)薛建龍

高中數學的有些問題,如果運用高等數學中的經典理論去研究,往往能夠擁有更廣闊的視角,讓人迅速抓住其本質,“居高臨下”的解決問題.對于數列的有關問題,羅增儒教授曾在文[1]中提到可以利用矩陣求解.

一般地,定義

為分式線性遞推數列.特別地,當c=0,a=d時,{an}為等差數列;當c=0,b=0 時,{an}為等比數列;當c=0,b?=0時,{an}為等比差數列.

一、數列(*)遞推與矩陣乘方對應

將該數列系數寫成矩陣M=而an+1=則M與{an}的一次遞推對應;而

二、利用矩陣求通項公式

定理1(Hamilton-Cayley Theorem)設f(λ)為M的特征多項式,則f(M)=0.

例1已知數列{an}中,a1=2,an+1=求數列{an}的通項公式.

解析系數矩陣M=,M的特征多項式f(λ)=|λE-M|== (λ-4)2=0,所以λ1=λ2=4,M不可對角化.由定理1 有f(M)=(M-4E)2=0(E為單位矩陣),設B=M-4E,B2=0,由二項式定理:

因此,an=

評析若系數矩陣M的特征根λ1=λ2=λ0,則由定理1 和二項式定理,本例的一般結論是:Mn-1=

例2若數列{an} 滿足a1=1,8an+1an-16an+1+2an+5=0,求{an}的通項公式.

解析顯然an?=0,2,則an+1=其系數矩陣M的特征多項式:

所以λ1=-6,λ2=-12,由定理1:(M+6E)(M+12E)=0,記6A=M+12E,6B=-M-6E,有M=-6A-12B,AB=BA=0,A+B=E,An=A,Bn=B,故

評析若系數矩陣的特征根λ1?=λ2,則可構造矩陣A、B滿足:(λ1-λ2)A=(M-λ2E),(λ1-λ2)B=(-M+λ1E) 由上述的推導過程,本例的一般結論:

例3基本列的通項公式再推導:

(1) 等差數列:an+1=an+d

解析遞推關系可化為分式型,an+1=系數矩陣M==E+B,由二項式定理,Mn-1=(E+B)n-1=,所以an=a1+(n-1)d.

(2) 等比數列:

解析遞推關系可化為:an+1=系數矩陣,由對角陣運算性質:Mn-1=所以an=a1qn-1.

(3) 等比差數列:an+1=qan+d(q?=1,d?=0)

解析遞推關系可化為系數矩陣由數學歸納法:所以

評析用矩陣方法非常簡單地解決了三個數列通項公式,把握住本質,實現了“多題一解”.

三、利用矩陣求數列周期

課標中強調,數列是一類特殊函數.而分式線性數列經常具有周期,若是常數列,那么系數矩陣是數量陣.

定理2分式線性遞推數列的系數矩陣M,若有是周期為k的數列.

例4已知數列{an}滿足:則a2023=____.

解析系數矩陣由定理2,{an}的周期為3,a1=,a2=2,a3=-1,a4=

例5數列{an}的首項a1=3,若an+1=,則a2023=____.

解析,系數矩陣M=,由定理2,{an}的周期為4,a1=3,a2=a4=-2,a5=3,所以a2023=a3=

例6數列{an} 的首項a1=-2,an+1=則a2023=____.

解析系數矩陣M=由定理2,{an}的周期為6,a1=-2,a2=a4=a6=5,a7=-2,所以a2023=a1=-2.

思考矩陣M滿足什么條件時,Mk=,設其為數量陣,則?a+d=0,類似的,可得到以下推論:

推論1若{an}滿足(*),當a+d=0 時,T=2,特別地,當

推論2若{an}滿足(*),當a2+ad+d2+bc=0,則T=3.

推論3若{an}滿足(*),當a2+d2+2bc=0,則T=4,特別地,當a=d,則a2+bc=0,T=4.

推論4若{an}滿足(*),當a2+d2-ad+3bc=0,則T=6,特別地,當a=d,則a2+3bc=0,T=6.

推論5若an+1=(k∈N*),則{an}是周期為k的數列.

“數列單元要以‘運算’為一般理論,通過運算發現和提出問題,通過運算得出數列的取值規律,通過運算就能發現解決問題的方法.”[2]利用高數中的矩陣知識,對分式線性遞推數列進行嚴格而又充分的計算,就能發現這類數列的本質.在高觀點下理解高中數學更有助于提高學生的數學核心素養,讓其落地生根.