梁端約束條件和梗腋對箱梁彎曲簡諧振動的影響

張玉元, 張元海, 張 慧, 余劍搏

(蘭州交通大學 土木工程學院,蘭州 730070)

薄壁箱梁是現代橋梁工程建設中主要采用的一種主梁形式,其具有自重輕、抗彎性能好、抗扭剛度大等優點[1]。由于橋梁上汽車、人行及風荷載的作用,致使主梁發生彎曲、扭轉和橫向振動[2],它將對人行及車輛的舒適性和結構的安全服役性能產生重要影響。彎曲振動特性及動力響應是橋梁結構設計中主要考慮的一種變形狀態,箱形梁受剪切剪力滯效應的影響,將引起結構產生附加變形和應力。所謂剪力滯效應是由于翼板面內剪切變形使遠離腹板的翼板縱向位移滯后于靠近腹板的翼板縱向位移的一種力學行為,而剪切變形使彎曲變形后的截面與中和軸不垂直的一種力學現象[3]。目前,已有許多學者在箱梁剪切剪力滯效應的靜力特性[4-5]及自振頻率[6-7]等方面開展了比較深入的研究,而在彎曲空間效應對動力響應的影響及參數敏感性分析方面還極為缺乏,尚未見相關文獻報道。開展箱梁彎曲動力響應的精細化分析,對準確分析車橋耦合振動及振動控制等具有重要的理論意義。

近年來,國內外學者在箱梁彎曲自振特性及動力響應方面已開展了不少研究。在試驗和有限元研究方面,Luo等[8]基于相似理論建立高架鐵路箱梁橋的縮尺模型,研究了箱梁各板件的振動傳遞特性及支承剛度對結構振動特性的影響;張新亞等[9]制作了32 m鐵路簡支箱梁橋縮尺模型,研究了單點激振試驗條件下調諧質量阻尼器的布置形式對箱梁橋動力響應的影響;周力等[10]基于單自由度和多自由度多模態控制理論,建立多目標模態的多重動力吸振器參數優化方法,并通過車-軌-橋有限元模型確定吸振器的優化參數及安裝位置;王少欽等[11]以某三跨連續箱梁橋為例,通過試驗和數值模擬的方法研究了移動荷載作用下箱梁橋位移及加速度的時程曲線,并提出對橋梁振動起控制作用的頻率范圍。在理論研究方面,Beata等[12]基于Timoshenko梁理論建立了鋼-聚合物混凝土梁的振動特性分析模型,并通過Euler-Bernoulli梁理論驗證所提模型的可靠性;Feng等[13]基于哈密頓原理,提出一種綜合考慮剪力滯、界面滑移、剪切變形和轉動慣量影響的波形鋼腹板組合箱梁動力特性改進分析方法,并揭示剪力滯效應和界面滑移對組合箱梁自振特性的影響;Zhu等[14]基于有限元法和Euler-Bernoulli理論,提出一種考慮界面滑移和剪力滯影響的鋼-混組合箱梁有限元法,并分析了滑移和剪力滯對耦合系統動力響應的影響;Kong等[15]建立一種考慮剪切剪力滯效應影響的新型波形鋼腹板組合箱梁動力特性有限元法,分析了剪切剪力滯效應對該類箱梁橋動力特性的影響;潘旦光等[16]基于模態攝動法提出一種考慮剪力滯效應影響的箱梁振動特性新方法,分析了截面參數變化對模態剪力滯系數的影響;此外,還有學者研究了斜交箱梁橋[17]和懸索橋[18]的動力特性及減振機理。

綜上所述,上述研究在建立考慮彎曲空間效應影響的箱梁動力特性解析理論時,常以最大剪切轉角差描述剪力滯翹曲變形狀態,由于該廣義位移缺乏明確的物理意義,且求解時難以直接輸出空間效應引起的動力響應;此外,梁端約束條件和梗腋對箱梁橋彎曲動力響應的影響研究還未見相關文獻報道。本文以剪力滯效應引起的附加撓度為廣義位移,建立考慮剪切剪力滯效應影響的箱梁彎曲簡諧振動變分解析解,詳細分析梁端約束條件和梗腋對箱梁彎曲諧響應的影響,為箱梁橋動力響應的精細化分析及合理參數化設計提供理論依據。

1 簡諧振動控制微分方程

(a) 坐標系及荷載示意圖

以剪力滯附加撓度f(z)為廣義位移,考慮剪切變形對箱梁彎曲轉角的影響,根據截面幾何關系,則考慮剪切剪力滯效應(下稱雙重效應)影響的箱梁彎曲縱向位移u(x,y,z)表達為

(1)

根據彈性理論,則考慮雙重效應的箱梁體系總勢能Π表達為

(2)

考慮剪力滯附加變形對箱梁體系總動能的影響,則箱梁總動能T表達為

(3)

(4)

(5)

EIxθ″+EIyωf?+GAw(w′-θ)=0

(6)

體系總能量一階變分所需的自然邊界為

(7)

式中:變分項δf和δw分別對應翹曲廣義剪力Qω和豎向剪力Q;變分項δf′和δθ分別對應翹曲廣義力矩Mω和截面彎矩Mx。由于后續微分方程求解時邊界條件的需要,此處僅給出翹曲廣義剪力Qω的表達式,即:

Qω=-EIω(f?+ζθ″-k2f′)

(8)

為了簡化微分方程式(4)～式(6),可令w(z,t)=w(z)sin(ωt+ψ)、θ(z,t)=θ(z)sin(ωt+ψ)、f(z,t)=f(z)·sin(ωt+ψ),并將其代入后,整理可得關于豎向撓度w的控制微分方程為

(9)

求解微分方程式(9)可得考慮剪切影響的箱梁撓度ws(z)為

ws(z)=C1sin(λ1z)+C2cos(λ1z)+C3sin(λ2z)+C4·

cos(λ2z)+C5sinh(λ3z)+C6cosh(λ3z)+C7sinh(λ4z)+

(10)

式中:λ1～λ4為微分方程式(9)對應的特征方程根;C1～C8為待定系數,由相應邊界條件確定。

將式(10)代入式(4)后,根據恒等式原理可得考慮剪切影響的箱梁截面轉角θ(z)為

θ(z)=B1(C1cos(λ1z)-C2sin(λ1z))+B2(C3cos(λ2z)-

C4sin(λ2z))+B3(C5cosh(λ3z)+C6sinh(λ3z))+B4·

(C7cosh(λ4z)+C8sinh(λ4z))

(11)

整理式(5)～式(6)得到關于剪力滯附加撓度的微分方程,然后將ws(z)和θ(z)代入后,根據恒等式原理,可得附加撓度f(z)為

f(z)=D1(C1sin(λ1z)+C2cos(λ1z))+D2(C3sin(λ2z)+

C4cos(λ2z))+D3(C5sinh(λ3z)+C6cosh(λ3z))+D4·

(12)

式中:D1～D4為剪力滯附加撓度系數,

下標i和j的取值與式(11)同。

考慮雙重效應影響的箱梁彎曲簡諧振動控制微分方程滿足的邊界條件為

簡支端:ws=0,f=0,θ′=0,f″=0

固定端:ws=0,f=0,θ=0,f′=0

當不考慮剪切和剪力滯效應時,即消去式(4)～式(6)中的(w′-θ)項,并用w′替換θ,同時令f=0,可得初等梁簡諧振動的控制微分方程為

(13)

求解微分方程式(13)可得簡諧振動初等梁撓度w0(z)為

(14)

箱梁彎曲簡諧振動初等梁控制微分方程滿足的邊界條件為

2 簡諧振動的求解

如圖1(a)為任意簡諧荷載qsin(ωt+ψ)作用下的箱梁示意圖,則其將在豎平面oyz內以圓頻率ω做彎曲往復運動。根據第1章建立的簡諧振動初等梁撓度和剪力滯附加撓度解析解,可導出箱梁截面任一點的初等梁正應力σ0(x,y,z)和翹曲正應力σω(x,y,z),即:

σ0(x,y,z)=-Eyθ′=Ey[B1λ1(C1sin(λ1z)+

C2cos(λ1z))+B2λ2(C3sin(λ2z)+C4cos(λ2z))-

B3λ3(C5sinh(λ3z)+C6cosh(λ3z))-

B4λ4(C7sinh(λ4z)+C8cosh(λ4z))]

(15)

(16)

(1) 當考慮剪切剪力滯效應時,不同梁端約束條件下箱梁簡諧振動產生的動位移和應力所滿足的邊界條件為:

① 兩端簡支(SS箱梁):

ws(0)=0,θ′(0)=0,f(0)=0,f″(0)=0;

ws(l)=0,θ′(l)=0,f(l)=0,f″(l)=0。

② 左端固定右端鉸支(FS箱梁):

ws(0)=0,θ(0)=0,f(0)=0,f′(0)=0;

ws(l)=0,θ′(l)=0,f(l)=0,f″(l)=0。

③ 兩端固定(FF箱梁):

ws(0)=0,θ(0)=0,f(0)=0,f′(0)=0;

ws(l)=0,θ(l)=0,f(l)=0,f′(l)=0。

(2) 當忽略剪切剪力滯效應時(即初等梁變形狀態),不同梁端約束條件下箱梁簡諧振動產生的動位移和應力所滿足的邊界條件為:

① 兩端簡支(SS箱梁):

② 左端固定右端鉸支(FS箱梁):

③ 兩端固定(FF箱梁):

為分析簡諧振動頻率對箱梁動力響應的影響,此處定義箱梁截面應力和撓度放大系數κF,即:

(17)

(18)

式中:αs為剪切系數,αs=A/Aw。

滿跨均布荷載作用下,簡支箱梁(SS箱梁)翹曲正應力及附加撓度的表達式為

(19)

滿跨均布荷載作用下,左端固定右端鉸支的箱梁(FS箱梁)翹曲正應力及附加撓度的表達式為

(20)

滿跨均布荷載作用下,兩端固定的箱梁(FF箱梁)翹曲正應力及附加撓度的表達式為

(21)

3 算例分析

3.1 梁端約束條件影響分析

算例采用文獻[16]中介紹的跨度l=40 m簡支箱梁,兩端設置橫隔板,截面尺寸如圖2(a)所示。滿跨作用豎向對稱簡諧荷載qsin(ωt),荷載集度q=2×90 kN/m,質量密度ρ=2 500 kg/m3,彈性模量E=35 GPa,泊松比μ=0.166 7,剪切模量G=15 GPa。

(a) 箱梁橫截面尺寸(m)

為驗證不同梁端約束條件下箱梁簡諧振動變分解的正確性,運用ANSYS-shell63單元建立箱梁有限元模型(共劃分4 626個節點,4 608個單元),如圖2(b)所示。除梁端約束外,其余節點均施加UX、ROTY、ROTZ等3個約束(這樣可使模型僅顯示彎曲振型),分析過程不考慮系統阻尼影響。通過分析箱梁自振頻率來考證有限元模型的可靠性,利用該模型計算簡支梁前5階自振頻率;按照本文方法,當外荷載集度q=0時,可退化為考慮雙重效應的彎曲自振頻率控制微分方程,求解可得前5階自振頻率,具體計算過程見文獻[19];將上述結果及文獻[16]給出的解析解和有限元解,如表1所示。

表1 簡支箱梁前5階彎曲自振頻率對比

從表1可知,本文計算得到的ANSYS數值解與考慮雙重效應的彎曲自振頻率變分解、文獻解析解及有限元解吻合良好,進而驗證了本文建立有限元模型的可靠性。

采用本模型諧響應分析結果進一步考證不同梁端約束條件下箱梁簡諧振動變分解的正確性。在箱梁基頻內取振動頻率fn從0.4 Hz增大至2.4 Hz,步長為0.4 Hz;運用有限元諧響應模塊中的Full法進行分析,通過時程分析獲得不同梁端約束條件下,各頻率對應的箱梁跨中截面動撓度;利用本文方法計算得到相應頻率的跨中截面動撓度解,如表2所示。

表2 不同梁端約束下箱梁跨中截面動撓度對比

從表2可知,不同梁端約束條件下,考慮彎曲雙重效應影響的箱梁跨中截面撓度解析解與有限元數值解吻合良好,驗證了本文方法的正確性;相同振動頻率下,梁端約束條件越強,跨中截面動撓度越小;振動頻率從0.4 Hz增大至2.4 Hz時,簡支箱梁截面撓度增大了2.26倍,左端固定右端簡支的箱梁截面撓度增大了1.31倍,兩端固定的箱梁截面撓度增大了1.13倍。

梁端約束條件對箱梁簡諧振動響應的影響,利用本文解析解計算不同梁端約束條件下,箱梁跨中截面的剪切附加撓度wf、剪力滯附加撓度f及頂板肋處的翹曲正應力σω在初等梁理論中的占比,并繪制影響分布圖,如圖3所示;同時計算跨中截面各撓度放大系數及頂板肋處正應力放大系數,如圖4和圖5所示。

從圖3可知:梁端約束條件越強,附加撓度及翹曲正應力在初等梁中的占比越大;振動頻率越大,剪切附加撓度占比越大,剪力滯附加撓度及翹曲正應力占比越小;相同約束條件下,剪切附加撓度占比大于剪力滯附加撓度占比,剪力滯附加撓度占比大于翹曲正應力占比;振動頻率為2.4 Hz時,與簡支箱梁相比,左固右鉸的箱梁與兩端固定的箱梁跨中截面附加撓度占比增大了13.72%和32.25%,對應頂板肋處的翹曲正應力占比增大了3.55%和7.18%。

從圖4和圖5可知:梁端約束條件越強,應力及撓度放大系數越小;約束條件對剪力滯附加撓度及翹曲正應力放大系數的影響較小,而對剪切附加撓度放大系數的影響尤為顯著;與簡支箱梁相比,左固右鉸的箱梁和兩端固定的箱梁縱向應力及總撓度放大系數、剪切附加撓度放大系數的差值比隨振動頻率的增大而增大;振動頻率為2.4 Hz時,與簡支箱梁相比,左固右鉸的箱梁和兩端固定的箱梁跨中截面總撓度放大系數減小了41.67%和50.48%,頂板肋處縱向應力放大系數減小了41.75%和49.23%。

3.2 梗腋影響分析

采用文獻[20]中介紹的某30 m預應力混凝土簡支箱梁橋,截面尺寸如圖6(a)所示,滿跨作用豎向對稱簡諧荷載qsin(ωt),荷載集度q=2×80 kN/m,質量密度ρ=2 500 kg/m3,彈性模量E=35.5 GPa,泊松比μ=0.167。

(a) 箱梁橫截面尺寸(m)

為了便于研究梗腋對箱梁彎曲動力響應的影響,此處引入梗腋特性參數υ為

(22)

采用有限元法驗證本節理論方法的正確性,運用ANSYS-solide185單元建立箱梁實體模型,如圖6(b)所示。共劃分19 144個節點,13 842個單元,除梁端約束外其余節點均施加約束UX(這樣可使箱梁僅顯示彎曲振型,通過觀察多階模態來確定),分析過程不考慮系統阻尼影響。在箱梁基頻內取振動頻率fn從0.6 Hz增大至3.0 Hz,步長為0.6 Hz;利用諧響應模塊中的Full法進行分析,通過時程分析獲得各頻率下考慮梗腋影響的箱梁跨中截面豎向撓度;利用本文方法計算得到相應解析解,如表3所示。

表3 考慮和忽略梗腋的箱梁跨中截面動撓度對比

從表3可知,考慮梗腋的箱梁動撓度與有限元數值解吻合更好,誤差比控制在7%以內,而不考慮梗腋的箱梁動撓度與有限元數值解差值比為12%以內,進一步驗證了本文方法的正確性。

分析梗腋對箱梁諧響應的影響,此處引入差值比參數Δχ,即:

(23)

利用本文解析解計算考慮和忽略梗腋影響時箱梁跨中截面的初等梁撓度差值比Δw0及撓度放大系數κw0、頂板肋處應力差值比Δσ0及應力放大系數κσ0和考慮雙重效應影響的箱梁截面總撓度差值比Δw及撓度放大系數κw、縱向應力差值比Δσ及應力放大系數κσ,并繪制其隨振動頻率變化的分布圖,如圖7和圖8所示。

圖7 梗腋對箱梁撓度及應力差值比的影響

圖8 梗腋對箱梁撓度及應力放大系數的影響

從圖7可知:考慮和忽略梗腋影響的箱梁截面動應力和撓度差值在考慮梗腋的計算結果中占比較大,且應力差值比明顯大于撓度差值比;梗腋對初等梁動應力及撓度的削弱影響較為顯著,基頻內振動時,跨中截面關鍵點動應力和撓度分別減小了18.00%和10.00%左右;考慮雙重效應影響的應力和撓度差值比分布曲線與初等梁差值比分布曲線較接近,在分析梗腋對箱梁彎曲諧響應影響時,可忽略剪切剪力滯效應。

從圖8可知:考慮梗腋影響的應力及撓度放大系數略大于不考慮的計算結果,其中應力放大系數大于撓度放大系數,且二者差值比隨振動頻率的增大而增大;考慮和不考慮梗腋影響的截面放大系數分布曲線較接近,其最大差值比不足1.00%,說明梗腋對應力和撓度放大系數的影響很小;考慮雙重效應影響的應力和撓度放大系數分布曲線與初等梁分布曲線較接近,在分析梗腋對箱梁諧響應影響時可忽略雙重效應。

4 結 論

為了分析梁端約束條件和梗腋對箱梁簡諧振動的影響,本文以剪力滯效應引起的附加撓度為廣義位移,運用Hamilton原理建立了考慮剪切剪力滯效應影響的箱梁彎曲簡諧振動變分解析解,詳細分析了梁端約束條件和梗腋對箱梁諧響應的影響,并得到以下幾個主要結論:

(1) 不同梁端約束條件和梗腋影響的箱梁彎曲諧響應解析解與有限元數值解吻合良好,驗證了本文方法的正確性。

(2) 梁端約束條件影響分析表明, 梁端約束條件越強,附加撓度及翹曲正應力在初等梁計算結果中的占比越大,截面應力及撓度放大系數越小;剪切效應影響大于剪力滯效應,且其差值比隨振動頻率的增大而增大;當振動頻率為2.4 Hz時,與簡支箱梁相比,左端固定右端鉸支的箱梁和兩端固定的箱梁跨中截面附加撓度占比增大了13.72%和32.25%,對應頂板肋處的縱向應力放大系數減小了41.75%和49.23%。

(3) 梗腋影響分析表明,梗腋對初等梁彎曲諧響應的削弱影響較大,而對截面應力和撓度放大系數的影響較小;梗腋對雙重效應引起的截面附加應力、撓度及放大系數的影響很小,在分析梗腋對箱梁彎曲諧響應影響時,可按初等梁振動理論進行計算。