復合材料曲梁的能量輻射傳遞模型研究

余海寧, 陳海波, 黃進安

(中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室 中國科學技術大學,合肥 230027)

復合材料曲梁因其優越的力學性能而被廣泛應用于航空航天、汽車船舶等工程領域的組合結構和拱形結構中。(曲梁結構在多種服役工況下會受到高頻激勵作用,從而導致結構疲勞損傷甚至可能超過結構的承載極限而造成強度破壞[1],因此,研究復合材料曲梁的高頻振動響應是十分重要的。另一方面,自1991年碳納米管(carbon nanotube,CNT)被Iijima[2]發現,其優越的材料性能吸引眾多學者對其進行研究,近年來CNT開始被應用于下一代復合材料的研發,已被用于替代傳統纖維作為增強復合材料的增強相[3],這樣碳納米管增強復合材料(carbon nanotube reinforced composite,CNTRC)曲梁的高頻響應分析即成為有待開展的重要課題。

分析振動響應的數值方法很多,其中應用最為廣泛的方法為有限單元法[4](finite element method,FEM),其次為邊界元法[5](boundary element method,BEM)。但是在高頻范圍內,結構振動的波長遠小于結構尺寸而導致計算時長與儲存成本較大,同時計算結果對結構建模的細節十分敏感,即微小的建模誤差就會導致顯著的計算差別。為了解決這些分析困難,學者們提出多種以能量為基本變量的分析方法,其中最為著名的是統計能量分析法[6](statistical energy analysis,SEA)以及它的拓展方法能量有限元法[7](energy finite element method,EFEM)。這些方法在工程領域已經得到廣泛的應用,如法國的ESI基于SEA法開發的商業軟件VAone已被廣泛應用于航空航天等領域。然而,SEA基于擴散場假設,只能給出結構的平均能量響應,而EFEM對于二維和三維問題存在理論缺陷,容易產生較大誤差[8]。Le Bot提出能量輻射傳遞法[9-10](radiative energy transfer method,RETM),能夠準確預測結構中任意位置的能量響應,且相較于EFEM計算量更小,計算速度更快。目前,針對結構高頻響應的分析方法研究,李翱等[11]推導計算了各向異性層合板殼耦合結構的能量傳遞系數,并給出了耦合處的耦合損耗因子,王幸[12]將RETM拓展到功能梯度梁的高頻響應分析中,Zhong等[13]將RETM推廣到各向異性結構的振動響應分析中,分析結果相較于EFEM計算的結果更為精確。

近年來,許多學者針對曲梁動力學特性開展了研究。黃修長等[14]利用波動法研究了耦合曲梁的能量傳遞系數;Le Bot等[15]采用能量流分析方法建立了曲梁在中高頻激勵下的能量模型;Mao等[16]研究了考慮剪力和慣性矩曲梁的面外振動,并根據曲梁的控制方程研究了曲梁的波傳播特性。李琳等[17]采用高階剪切理論和廣義混合律建立了CNTRC梁的有限元動力學模型; Heidari等[18]研究了CNTRC鐵木辛柯梁的線性和非線性振動;Civalek等[19]研究了CNTRC梁在簡諧點載荷作用下的受迫振動響應。目前,針對曲梁高頻振動響應的研究較少,RETM法也未曾應用于曲梁的高頻振動響應的求解中,值得深入研究。本文將基于正交曲線坐標中的彈性力學幾何方程[20],推導歐拉-伯努利梁(classical beam theory,CBT)和鐵木辛柯梁理論(Timoshenko beam theory,TBT)下曲梁的平衡微分方程,并采用能量輻射傳遞法計算曲梁高頻振動的能量密度分布,通過與波傳播法[21](wave propagation approach,WPA)計算結果進行對比驗證其準確性,最后討論了CNTRC材料CNT體積分數和分布形式對曲梁高頻振動性能的影響。

1 復合材料曲梁的平衡微分方程

曲梁的正交曲線坐標系與直角坐標系的關系,如圖1所示。

圖1 曲梁

圖1中:X和Z為直角坐標;x和z為為正交曲線坐標且為曲梁的軸向徑向;R為曲梁的曲率半徑;h為曲梁厚度。基于鐵木辛柯梁理論,曲梁的任意一點的軸向位移u(x,z,t)和橫向位移w(x,z,t)為

(1)

式中:u(x,t)和w(x,t)分別為曲梁中性面處的軸向位移和橫向位移,φ為截面轉角,z0為曲梁中性面坐標

(2)

式中,E11為彈性模量。在高頻振動分析中,由曲率因素產生的縱波對能量分布特性的影響很小可以忽略,本文不考慮曲梁的軸向振動,故設u(x,t)=0,由正交曲線坐標系下的幾何方程得鐵木辛柯曲梁的正應變εxx和剪切應變γxz為

(3)

曲梁的應力為

(4)

式中,G12為材料的剪切剛度。軸力N、剪力Q和彎矩M為

(5)

式中:b為曲梁寬度;k為剪切修正系數,取5/6。

將軸力與彎矩代入曲梁微元體的力平衡方程

(6)

式中,f為曲梁所受到的徑向載荷。通過式(5)和式(6)可得鐵木辛柯曲梁平衡微分方程

(7)

(8)

對于歐拉伯努利曲梁,曲梁的橫截面轉角φ=?w/?x,細長曲梁的梁厚度很小,z/R可忽略,由此可以退化得到歐拉-伯努利曲梁的平衡微分方程

(9)

求解歐拉伯努利曲梁的波傳播特性與能量響應與求解鐵木辛柯曲梁的步驟相同,下面只列出求解鐵木辛柯曲梁的公式步驟。

當曲梁曲率半徑R→∞時,可以退化得到直梁的平衡微分方程,此處不再單獨列出。

2 曲梁的能量輻射傳遞模型

2.1 曲梁的波傳播特性

能量輻射傳遞法是一種用于估計結構高頻聲振響應的幾何聲學分析方法,這種方法滿足以下基本假設:①研究的系統線性均勻且處于穩態;②忽略波之間的干涉。為了建立曲梁的RETM模型,首先要對曲梁的波傳播特性進行分析。

式(8)忽略軸向載荷f,將行波解w(x,t)=exp(-iκx+iωt)代入,可以獲得鐵木辛柯梁的頻散方程

(10)

式(10)是一個二次型的一元四次方程,令X=κ2,則一元二次式aX2+bX+c=0的判別方程為Δ=b2-4ac,方程的兩根為

(11)

四個波對應的波數為

(12)

且存在臨界頻率

(13)

當頻率ω<ωcr1,四個波數都為復數,每個波數均對應一個復波;當ωcr1<ω<ωcr2,κ1,2為純實數,對應左行和右行的兩個傳播波,κ3,4為純虛數,對應左行和右行的兩個倏逝波;當ω>ωcr2,κ1,2和κ3,4為純實數,均對應新的左行和右行的兩個傳播波。

第i個波分量的群速度與相速度為

(14)

2.2 曲梁RETM控制方程的建立與求解

基于RETM理論,結構的振動響應由功率流強度I與能量密度W表示,為了獲得曲梁的振動響應,首先需要建立曲梁的RETM控制方程。在RETM中,功率流強度I與能量密度W成正比,比例系數為群速度向量cg即

I=cgW

(15)

由能量守恒且在穩態情況下,曲梁中無窮小單元的輸入功率等于輸出功率與耗散功率之和

?·I+Pdiss=Pin

(16)

式中:?為散度算子;Pdiss為耗散功率;Pin為輸入功率。耗散功率與能量密度成正比

Pdiss=ηωW

(17)

將式(15)與式(17)代入式(16)得

(18)

式中:m=ηω/cg,為能量衰減系數;η為阻尼。令r=|x-x0|,對式(18)進行求解可以得到功率流強度

(19)

相應的能量密度為

(20)

式中:功率流強度和能量密度分別與兩個函數成正比,即能量密度核函數G(S,M)=e-mrS,M/(2cg)和功率流強度的核函數H(S,M)=0.5e-mrS,MeS,M,其中rS,M為實源S到接收點M的距離。

正交曲線坐標系下曲梁的RETM模型示意圖,如圖2所示。坐標為x=qL的S是輸入功率為Pin的域內實源,q∈(0,1),梁邊界處分別設有虛源σA和σB,兩邊界的外法向分別為n1和n2。梁上任意一點M的能量由激勵點處的實源S引發的直接場和兩端點處的虛源σA和σB引發的反射場共同產生,M點的功率流強度和能量密度為

圖2 曲梁RETM模型示意圖

(21)

在高頻激勵作用下,有限曲梁的點導納與無限曲梁的點導納幾乎完全相等,實源的輸入功率可以通過無限大系統的平均輸入導納求得

(22)

Y=

(23)

邊界虛源強度由邊界處的能量平衡關系確定,即邊界處反射的能量等于入射的總能量。對于虛源σA其反射的功率為-IA(x=0)·n1,入射到σA的總功率為實源S與虛源σB發射到σA的功率之和[Is(x=qL)+IB(x=L)]·n1。對虛源σB的分析類似。可得下列方程組

-IA(x=0)n1=[Is(x=qL)+IB(x=L)]n1

-IB(x=0)n2=[Is(x=L-qL)+IA(x=L)]n2

(24)

將能量密度核函數G和功率流強度的核函數H表達式代入后可得

(25)

解得

(26)

將式(23)和式(26)代入式(21)即可求得曲梁上任一點的功率流強度和能量密度。

2.3 波傳播法求解曲梁能量響應

為了驗證能量輻射傳遞模型的準確性,這里采用波傳播法求解曲梁的能量響應與RETM模型的計算結果進行對比驗證。

式(7)的通解可用各個行波分量疊加表示

(27)

式中,aj為第j波的幅值。將式(27)第j個波分量代入式(6),令f=0可得

(28)

因此,Nj為式(28)的特征向量之比,即

(29)

對式(7)進行傅里葉變換再進行傅里葉逆變換并由柯西留數定理可以獲得自由場的振動解

(30)

(31)

曲梁的位移是通解與自由場振動解之和,其中aj由邊界條件求得。曲梁的能量密度W由動能密度Wk和彎曲正應變引起的勢能密度Wp構成,功率流強度I由橫向剪力引起的功率流IQ和彎矩引起的功率流IM構成。將曲梁的位移代入動能密度和勢能密度的表達式可以證明曲梁的動能密度Wk等于勢能密度Wp。彎曲振動的能量密度與功率流強度為

(32)

3 數值算例分析

CNT具有良好的力學和物理性能,化學性質穩定是目前可以制備的具有最高比強度的材料。目前對碳納米管材料的應用主要是將碳納米管陣列、薄膜、纖維結合到聚合物、陶瓷、金屬基體中形成CNTRC。本文將以CNTRC為例,求解曲梁的高頻振動響應。

3.1 碳納米管增強復合材料的物理參數

碳納米管在厚度為h的CNTRC梁沿厚度方向上均勻分布(uniform distribution,UD)以及三種類型的梯度分布(FGA,FGO,FGX),如圖3所示。

(a) UD

CNTRC的物理參數為

(33)

式中:E、G、ν、ρ分別為楊氏模量、剪切模量、泊松比以及密度;上標cnt、m分別為CNT和基體;ηi(i=1,2,3)為CNTRC的效率系數;Vcnt與Vm分別為CNT與基體材料的體積分數且

Vcnt+Vm=1

(34)

CNT沿厚度方向的四種不同分布形式下的體積分數為

(35)

CNTRC的基體材料為聚甲基丙烯酸甲酯(polymethyl methacrylate,PMMA)材料,CNT的材料屬性與基體的材料屬性分別如表1、表2所示。

表1 CNT材料屬性

表2 基體材料屬性

碳納米管體積分數及其對應的效率系數[22]如下

以圖2所示的簡支曲梁為例,梁的長寬高為L×b×h=1 m×0.005 m×0.005 m,在x=0.5 m處受到橫向簡諧點激勵。CNTRC有良好的阻尼性能和可設計性,其阻尼因子可達0.1～0.3[23],本文曲梁的阻尼因子取η=0.1。

3.2 頻散曲線、相速度和群速度

當橫截面b×h=5 mm×5 mm、曲率半徑R=10 m時,曲梁的頻散曲線,如圖4所示。從圖4可知,歐拉-伯努利曲梁的傳播波與鐵木辛柯曲梁的第一個傳播波均存在一個臨界頻率fcr1,在臨界頻率前,曲梁曲率半徑的影響占據主導,兩者的傳播波均為復波且兩種模型波數大小相同。當f>fcr1,對兩者的κ1,彎曲變形占據主導地位,兩者的傳播波均為實波。對于κ2,彎曲變形的影響與剪切變形和轉動慣量的影響相互抵消;當頻率ffcr2,κ2為純實數,剪切變形與轉動慣量占據主導地位,波為傳播波。

圖4 曲梁的頻散曲線

曲率半徑R=10 m時,曲梁的群速度和相速度隨頻率變化的曲線,如圖5所示。在臨界頻率f1 000 Hz,其波群速度逐漸變得和相速度一致(非色散波)。而對于歐拉伯努利曲梁在臨界頻率fcr1后一直存在cg=2cp,當頻率達到fcr2時,鐵木辛柯曲梁的第二傳播波開始出現,且在頻率高于200 kHz,其群速度與相速度幾乎一致(非色散波)。

3.3 RETM與WPA計算結果對比

針對曲率半徑R=1 m、梁厚h=0.005 m和阻尼η=0.1的情況,計算了不同頻率下兩種梁模型的振動能量響應級,如圖6所示。激勵頻率f=4 kHz的能量密度分布,可以看到曲梁的能量密度從中心激勵點到兩端邊界呈對稱衰減,其中WPA計算的結果振蕩衰減,而RETM結果是一條平滑的曲線,這是因為RETM不考慮傳播波之間的干涉(見圖6(a))。考慮倏逝波影響的能量輻射傳遞法計算得到結果在激勵點附近與WPA計算的結果一致,傳統的能量輻射法忽略倏逝波的影響,在激勵點附近有較大誤差。

(a) f=4 kHz

在頻率f=4 kHz時,鐵木辛柯曲梁與歐拉伯努利曲梁計算的結果差別較小;當激勵頻率f=10 kHz時,兩種模型計算的結果有較大的差別,這是由于剪切變形與截面轉動慣量在高頻階段的影響變得顯著;當f=100 kHz時,兩種模型計算的差異更為顯著,這是由于梁的振動能量主要由剪切變形與截面慣性轉矩主導,同時因為激勵頻率大于臨界頻率fcr2,鐵木辛柯曲梁沒有倏逝波的存在,所以在激勵點處沒有能量的凸起。

3.4 梁厚、曲率半徑對能量響應的影響

曲率半徑為1、阻尼η=0.1、激勵頻率為10 kHz下的兩種曲梁模型在不同梁厚條件下的能量響應結果,如圖7所示。從圖6(b)和圖7可知,隨著梁厚增加,歐拉伯努利曲梁與鐵木辛柯曲梁兩種模型計算能量響應差別增大,這主要是因為隨著梁的厚度增加,剪切變形以及轉動慣量的影響逐漸變大。

(a) h=0.001 m

阻尼η=0.1、激勵頻率f=10 kHz條件下不同曲率半徑對能量響應的影響圖,如圖8所示。從圖8可知,隨著曲率半徑增加,曲梁的能量響應變化不大,但是對于歐拉伯努利曲梁以及梁厚為0.005 m的鐵木辛柯曲梁,隨著曲率半徑增加,能量響應有所減小。雖然曲率的引入會導致梁的剛度增加,但是歐拉伯努利曲梁基于細梁假設,厚徑比忽略不計,曲率增大彎曲剛度不變,能量密度減小是因為曲率增大軸力減小,軸力引起的勢能減小。對于鐵木辛柯曲梁,不可忽視梁厚的影響,曲率半徑增大,彎曲剛度減小,當梁厚較小時,曲率半徑的增大對軸力的影響更大,能量密度隨曲率半徑增大而減小,當梁厚為0.02 m時,曲率半徑的增大對彎曲剛度的影響更大,能量密度隨曲率半徑增大而增大。

(a) EU,h=0.005 m

3.5 CNT體積分數、分布形式對能量響應的影響

當曲率半徑為1、阻尼η=0.1、激勵頻率為10 kHz時,鐵木辛柯曲梁在不同CNT體積分數以及不同分布形式下的能量響應,如圖9和圖10所示。隨體積分數增大,由于彎曲和剪切剛度增加,激勵處能量密度減小,能量衰減速度減小。對于不同分布形式的碳納米管增強復合材料,分布形式對彎曲剛度的影響較大,對剪切剛度影響較小,可以看出彎曲剛度O型分布A型分布>均勻分布>X型分布。

圖9 不同CNT體積分數均勻分布鐵木辛柯曲梁的能量響應

圖10 不同CNT分布形式鐵木辛柯曲梁的能量響應

4 結 論

本文以碳納米管增強復合材料曲梁為研究對象,基于歐拉伯努利和鐵木辛柯梁理論推導了曲梁的平衡微分方程,計算了CNTRC曲梁的頻散關系曲線以及波速度,采用RETM求解CNTRC曲梁高頻能量響應,并與WPA的計算的理論解進行對比以驗證RETM方法的準確性,討論了曲率半徑以及板厚對兩種梁理論模型曲梁的能量響應的影響,最后分析了不同CNTs體積分數以及分布方式對高頻能量響應的影響。數值算例結果表明:

(1) 當頻率大于臨界頻率fcr1時,曲梁的頻散關系與波群速度與直梁的變化趨勢相同,兩種梁理論模型曲梁中的傳播波均為復波且波數大小相等,波群速與波相速度相等的非色散波。

(2) RETM計算的曲梁的能量響應與WPA的計算結果吻合很好,對于TBT曲梁,剪切變形與截面轉動慣量主要在高頻階段以及梁厚較大時對能量響應有較大影響。曲率半徑增大會導致TBT曲梁剛度增大,軸力減小,在梁厚較大時,TBT曲梁的能量密度增大,在梁厚較小時,TBT曲梁的能量密度減小;曲率半徑增大使CBT曲梁軸力減小但剛度不變,所以曲率半徑增大,CBT曲梁的能量密度減小。

(3) CNTs體積分數增加會增大CNTRC曲梁的彎曲剛度和剪切剛度,導致能量密度減小,能量衰減速度增大,而不同的分布方式對CNTRC曲梁的剪切剛度影響較小,而彎曲剛度O型分布