一種含慣容的接地剛度時滯反饋動力吸振器的多目標優化設計

楊柳青, 趙艷影

(南昌航空大學 飛行器工程學院,南昌 330063)

動力吸振器(dynamic vibration absorber, DVA),是一種用于抑制不期望的振動的機械裝置。它由附加在需要保護以免受到振動的主質量塊上的另一個質量塊以及彈性元件組成。Frahm[1]于1909年首次提出吸振器的概念,這種初次提出的DVA為無阻尼吸振器,它通過在目標頻率產生反共振達到抑制振動的目的,但這種DVA的減振頻帶有限,也被稱為窄帶DVA。Ormondroyd等[2]和Den[3]在無阻尼DVA的基礎上加入阻尼進行深入研究,進而提出Voigt式DVA,該模型不僅能夠拓寬減振頻帶,還能有效降低振幅;并首次提出固定點理論,發現主系統的幅頻響應曲線始終通過兩個與阻尼系數無關的固定點。Brock[4]和Hahnkamm[5]根據固定點理論分別在1932年和1946年得到動力吸振器的最優頻率比以及最優阻尼比。Asami等[6]和Nishihara等[7]在不考慮主系統結構阻尼的情況下,通過固定點理論對有阻尼DVA進行參數設計,保證兩個共振峰的幅值相等并且最小,從而得到吸振器的最優結構參數并給出其解析式。Ren[8]提出了一種含接地阻尼元件的新型動力吸振器,發現也存在相似的固定點,并且可以通過調整接地阻尼系數來改善減振效果。

隨著對振動系統研究的深入,眾多學者發現含有接地剛度元件的振動系統減振能力比傳統動力吸振器強,并且固有頻率低,承載能力大。彭解華等[9]利用判定結構穩定性的能量準則,推導了判定彈性系統靜態穩定性的剛度準則,采用正負剛度并聯彈性元件,有效降低了系統的固有頻率,從而提高了隔振效果。彭海波等[10-13]將接地負剛度元件運用于多種DVA之中,其中文獻[10]提出了一種含接地負剛度元件的動力吸振器模型,通過固定點理論得到了接地負剛度動力吸振器的最優頻率比,最優阻尼比以及最優負剛度比,研究表明接地負剛度元件動力吸振器相比于傳統動力吸振器,減振效果更好,減振頻帶更寬。文獻[11]對含有接地負剛度彈簧元件的三要素型動力吸振器模型的最優參數進行了研究,根據接地負剛度彈簧元件的特性通過使靜位移和固定點近似相等的思想得到使系統穩定的最優負剛度比。文獻[13]發現當質量比和放大比的耦合項達到一定值時,最優接地剛度比為正值且系統具有更好的減振特性。范舒銅等[14]將帶有黏彈性特性的Maxwell模型引入DVA,極大地降低了系統振幅,同時拓寬了減振頻帶。

慣容是一種兩端點受力與加速度相關的新型結構控制元件,應用在吸振系統中可以獲得更好的性能。Smith[15]在提出慣容概念后,將其運用在車輛上,改善其懸架的性能,對多種ISD(Inerter-Spring-Damper)懸架進行了分析優化。Chen等[16-17]將慣容運用于汽車懸架以改善其性能,利用半主動控制策略調節慣容系數,實現懸架力的動態控制;他們還將慣容運用于動力吸振器,并設計優化準則從而給出最優設計參數[18-20]。Barredo等[21]提出了利用拓展固定點理論得到含慣容的DVA的解析解。Wang等[22]提出的含慣容和負剛度的DVA減振性能很好,同時拓寬了減振頻帶。陳杰等[23]提出了兩種基于含慣容的負剛度吸振器的被動減振控制模型,利用固定點理論分別推導了兩種模型最優系統參數的解析式,從而抑制梁的橫向振動。Lewis等[24]在列車轉向架中引入多種慣容減振結構,研究表明慣容結構可以提高乘客舒適度并同時減少軌道磨損。隋鵬等[25]提出了一種含慣容和接地剛度的DVA模型進行參數優化并與多種DVA對比,證明了該模型能夠極大降低主系統振幅,拓寬減振頻帶。

被動式線性吸振器和線性隔振器的減振頻帶有限,在受到變頻以及寬頻外激勵時的控制效果較差。Olgac等[26]在1992年首次提出將時滯反饋控制應用于系統減振的問題當中。時滯減振是一種主動減振技術,能夠實時追蹤外激勵頻率并調節反饋增益系數及時滯的大小從而在反共振點抑制系統振動。Zhao等[27]研究了時滯反饋控制在非線性系統中的應用,研究表明時滯反饋控制在非線性系統中的減振頻帶更寬以及系統穩定的范圍更大。Sun等[28-29]在主系統質量塊上加入一個吸振器質量組成一個二自由度吸振系統,通過數值仿真以及實驗驗證了時滯反饋控制比被動式動力吸振器具有更好的減振效果。Yan等[30-31]研究了時滯減振控制在汽車懸架系統中的減振效果,利用最優控制理論進行參數優化,對隨機激勵下的懸架系統進行控制分析,證明了主動時滯對懸架系統控制的有效性。Meng等[32]在時滯耦合非線性振動系統中設計等峰優化準則,對系統結構參數進行優化,有效地解決了外激勵幅值較大的情況下非線性振動系統的等峰優化問題。

慣容和接地剛度這兩種器件,均可以通過改變系統固有頻率從而改善動力吸振器性能。但目前大多數研究僅僅是在DVA中單獨引入慣容或接地剛度結構。而隨著對工程中對振動控制需求的增加,這類動力吸振器的性能很難滿足工程實際需求的增長。同時少部分同時含有慣容和接地剛度的DVA結構也只是將慣容接地,并不能完全體現慣容的兩端點慣性特性,主系統振幅仍然較大,同時系統減振頻帶相對較窄。因此,本文通過在含慣容的接地剛度系統中耦合時滯反饋控制,對系統進行多目標優化設計,達到控制共振峰和反共振峰的幅值以及拓寬系統減振頻帶的目的。

1 力學模型以及振動微分方程

考慮到主系統阻尼的存在,同時為了進一步降低主系統的振幅及拓寬系統的減振頻帶,以提高減振效果,本文考慮在文獻[25]含慣容和接地剛度的動力吸振器系統中耦合時滯反饋控制,力學模型如圖1所示。

圖1 含慣容的時滯耦合接地剛度吸振器系統力學模型

圖1中:m1和m2分別表示主系統和DVA的質量;b表示慣容系數;k表示可變的接地彈簧剛度系數;c1和c2分別表示主系統和DVA阻尼;g1和τ分別表示時滯反饋增益系數和時滯量;F0和ω分別表示外激勵力的幅值和外激勵頻率。

根據牛頓第二定律可得該系統的動力學方程為

(1)

g1x2(t-τ)+kx2=0

(2)

若式(1)和式(2)中時滯反饋增益系數g1=0以及主系統阻尼系數c1=0,本文系統就退化為文獻[25]所述系統。

引入如下參數及無量綱量

(3)

(4)

(5)

設微分方程解的形式為

(6)

將式(6)代入式(4)和式(5)中,解得:

(7)

式中:

Δ(Ω)=[(1+β)(-Ω2)+2(ξ1+pμξ2)jΩ+

α)p2+p2ge-jΩτ]+[β(-Ω2)+2pμξ2jΩ+μp2+

(8)

引入變量A1和A2分別代表主系統和吸振器的振幅放大因子,如下:

(9)

2 時滯反饋控制系統的穩定性分析

為保證系統在穩定的前提下工作,要對時滯反饋控制系統的穩定性進行分析,進而得到反饋增益系數g和時滯量τ的穩定工作區域。在此之前,可以根據實際系統的工作情況,設定反饋增益系數g和時滯量τ的取值區間,將兩個控制參數限定在一定范圍

L0={(g,τ)|gmin≤g≤gmax,τmin≤τ≤τmax}

(10)

(11)

將無量綱運動微分方程式(4)和式(5)改寫成狀態方程式(12)的形式

(12)

式(12)的特征值滿足

det(λI-A-Be-λτ)=0

(13)

式中:

(14)

特征方程為:

2λ3[(β+μ)ξ1+pμ(1+μ)ξ2](β+μ+βμ)-1=0

(15)

因為振動微分方程含有時滯項,所以特征方程式(15)是一個含有指數項e-λτ的超越方程,含有無數個特征根。本文采用CTCR(cluster treatment of characteristic roots)方法[33]進行分析,分析的具體步驟如下:

(1) 定義Kernel Hypercurves(KH):當系統的結構參數固定在某一系列值時,(g,τ)的二維平面內一點使得一個實部為零的特征值λ=jΩc,Ωc∈R+,且0≤Ωcτ≤2π,0≤g≤20,在(g,τ)的二維平面中所有符合條件的點形成曲線,稱為KH。

(2) 定義Offspring Hypercurves(OH):上述定義的KH通過以下非線性轉換式(16)得到OH

(16)

(3) 定義特征值的變化趨勢為Root Tendency(RT):

(17)

臨界時滯τk∈(τk-ν,τk+ν),0<ν?1,k=1,2,3,…時,當RT=+1時,特征根從(g,τ)的二維平面左半平面穿過虛軸到右半平面,同時表示時滯從左側穿過時滯τk時,不穩定根的個數增加兩個;當RT=-1時,特征根從(g,τ)的二維平面右半平面穿過虛軸到左半平面,同時表示時滯從左側穿過時滯τk時,不穩定根的個數減少兩個;在其它時滯區間,穩定根的個數保持不變。

(4) 由歐拉公式,對指數項進行如下替換

e-jΩcτ=cos(ψc)-jsin(ψc),ψc=Ωcτ

(18)

余弦函數cos和正弦函數sin利用正切函數tan的半角公式轉換成如下形式

(19)

接下來根據CTCR理論,對系統的穩定性進行分析。由式(18)和式(19),特征方程,即,式(15)可以寫成關于Ωc的多項式函數如下:

(20)

式中:υk為關于g,z1的函數,同時也為Ωc的系數。

對式(20)進行實虛部分離,整理得到

(21)

(22)

式中:Rk,Ik也是和g,z1相關的Ωc的系數,具體如下:

(23)

(24)

從式(23)和式(24)中解出Ωc,需通過判別式以及Dixon結式得到充分必要條件。Dixon結式是求解多項式非平凡解的充分必要條件,但Dixon結式相比于其它結式,精確度更高。

依據Dixon結式,令:

k1(Ωc)≡Re[k(Ωc,g,z1)]

(25)

k2(Ωc)≡lm[k(Ωc,g,z1)]

(26)

(27)

式中:k1(Ωc)和k2(Ωc)為式(25)和式(26)用輔助變量σ替換掉Ωc的表達式,如下:

(28)

(29)

將式(27)展開得到的式子是關于Ωc和σ對稱的deg-1次多項式,稱其為關于q1(Ωc)和q2(Ωc)的Dixon多項式。由于式(27)是對稱的多項式,因此可以調換Ωc和σ的位置,即,δ(Ωc,σ)=δ(σ,Ωc)。

上述的deg,代表著k1(Ωc)和k2(Ωc)中關于Ωc的最高階數,即,deg=max(deg(k1(Ωc)),deg(k2(Ωc))),其中deg(k1(Ωc))和deg(k2(Ωc))是關于Ωc的最高階數,k1(Ωc)和k2(Ωc)的每個共同零點同樣也是δ(Ωc,σ)對所有σ值的零點。因此可以知道,在共同的零點下,δ(Ωc,σ)中σi的系數等于零,表示成矩陣的形式

(30)

式中:i=0,1,2,…,deg-1,系數矩陣D(g,z1)∈d稱作Dixon矩陣,d=deg×deg。

q1(Ωc)和q2(Ωc)有公共零點的充要條件是D(g,z1)是奇異矩陣,即

Det[D(g,z1)]=0

(31)

若g在給定的范圍之內取值,則Det[D(g,z1)]=0會轉換成形式上關于z1的最高階次為16的多項式

(32)

式中,φK(g)為z1的各階系數,由于比較復雜,此處不再列出。

按照下列步驟分析可得到能夠使得系統穩定的時滯反饋增益系數g和時滯量τ的范圍

步驟1設置參數g,求解式(32)的根,并選取實數根代入式(19),得到ψc;

步驟2從式(19)求得ψc后,代入式(18),得到e-jΩcτ,再將其代入特征方程,即,式(15),得到所有的特征根;

步驟3在步驟2得到的特征根中篩選出純虛根,記為Ωc,將其和步驟1得到的ψc代入式(18),求得時滯量τk,k=1,2,3,…;

步驟4參數g在給定范圍內線性遞增,重復上面所述步驟,可以得到所有滿足特征根j為負的時滯反饋增益系數g和時滯量τ的范圍。

步驟5確定控制參數的范圍

(33)

3 多目標優化準則設置

本文研究的是一個二自由度線性系統,可以通過求解主系統振幅的極值對共振峰以及反共振峰的幅值進行優化,優化準則如下

(34)

(35)

Ωamid-Ωrmid≤Vsym

(36)

(37)

其中:A1(Qopt,Ωri,g,τ)和A1(Qopt,Ωa,g,τ)分別代表滿足優化準則下共振峰和反共振峰的幅值。Ard和Aad分別是共振峰和反共振峰幅值的限定范圍。Ωamid=(ΩaS+ΩaE)/2代表反共振頻率可調節區間的中值,其中ΩaS代表反共振頻率可能調節的最小值,ΩaE代表反共振頻率可能調節的最大值。Ωrmid=(Ωr1+Ωr2)/2代表第一共振峰和第二共振峰的中值頻率,Ωr1和Ωr2代表第一共振峰和第二共振峰的頻率。Vsym代表了反共振頻率的對稱性,該值越小,表明反共振頻率越接近兩個共振峰頻率的中間值,說明反共振點的對稱性越好。

首先,由主系統振幅的極值條件得到共振峰的頻率Ωri(i=1,2)和反共振峰的頻率Ωa,再將其代入式(9),得到共振峰和反共振峰的幅值。針對優化目標對結構參數進行優化,同時得到控制參數反饋增益系數g和時滯量τ的取值范圍。

4 參數優化例證

首先,定義系統的質量比μ=m2/m1=0.1,阻尼比c1/c2=10,結構參數ξ1opt由下列關系式決定

ξ1opt=μpoptξ2optc2/c1

(38)

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,

0.454 5～1.5}

(39)

結構參數的初值Q0以及終值Q如下

Q0={μ,ξ1,ξ2,p,α,β0}=

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,0.454 5}

(40)

Q={μ,ξ1,ξ2,p,α,β}=

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,1.5}

(41)

最后,將得到的結構參數Qu+1代入優化準則,得到控制參數反饋增益系數g和時滯量τ的范圍,循環流程如圖2所示。

圖2 共振峰及反共振峰計算流程圖

根據實際系統的工作情況,式(10)中控制參數的取值區間設為gmin=0,gmax=20,τmin=0,τmax=2,優化目標式(34),式(35)和式(37)中設定Ard=1.1,Aad=0.15。

ξ1=0,β取不同值時的g和τ的穩定區域圖,如圖3所示。

(a) 三維圖

首先,研究不考慮主系統阻尼的情況下慣容比對系統穩定性的影響規律。從圖3可知,β在0.454 5～1.5這個取值范圍內,隨著慣容比β取值不斷增大,反饋增益系數g和時滯量τ穩定的可調節區間在不斷減小,說明慣容比的增大增加了系統的不穩定性;反饋增益系數g取較小值時,時滯量τ的穩定范圍較大;相反地,反饋增益系數g取較大值時,時滯量τ的穩定范圍較小。工作中,要根據系統的實際工作狀況綜合考慮反饋增益系數和時滯量的取值。

其次,研究主系統阻尼系數ξ1對系統穩定的影響規律。ξ1取不同值時g和τ的穩定區間,如圖4所示。

(a) ξ1=0.1

對比圖3和圖4可知,對某一特定的慣容比,隨著主系統阻尼系數的不斷增大,反饋增益系數和時滯量的穩定工作區間不斷增大,說明主系統阻尼具有穩定系統的作用;以主系統阻尼系數ξ1=0.391 6為例,研究慣容比對系統的影響規律。在不同慣容比下,滿足優化目標的幾組控制參數下的主系統的幅頻響應曲線,如圖5所示。

(a) β=0.454 6

從圖5可知,隨著慣容比β取值增大,在不加入時滯反饋控制時,系統反共振峰的幅值會隨之降低,但系統第二共振峰的幅值有顯著的增大。引入時滯反饋之后,在滿足優化準則的條件下,合理的調節控制參數對降低第二共振峰的幅值有顯著的效果。

為了進一步研究如何在時滯主動反饋控制下合理的選擇慣容比,在控制參數滿足優化準則的條件下,對應不同慣容比的反共振頻率的調節區間,如圖6所示。不同慣容比下反共振頻率點可調節的最大和最小值,如圖7所示。

圖6 不同β下的反共振頻率的調節區間

圖7 不同β下反共振頻帶的寬度

此時系統的最優參數如下

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,1.299 4}

(42)

圖8 A1,g和τ響應曲線圖

5 多目標優化方法的優越性

表1 不同優化方法下的最優結構參數

圖9 單目標優化和多目標優化下的幅頻響應曲線

從圖9可知,由于單目標優化只控制了兩個共振峰幅值的差值,使得兩個共振峰幅值幾乎相等,但是主系統共振峰的幅值仍然偏大。在進行了多目標優化后,雖然兩個共振峰幅值的差值稍微變大,但共振峰的幅值得到了很大程度的控制。因此進行多目標優化,對進一步控制主系統的共振峰幅值有顯著的效果,也證明了本文提出的多目標優化方法相比于單目標優化方法更具有優越性。

6 不同吸振器模型優化結果對比分析

表2 不同吸振器模型的最優結構參數

圖10 本文和其它動力吸振器模型的幅頻響應曲線

與其它吸振器模型相比,本文的時滯耦合接地剛度吸振器有良好的減振效果,不僅可以降低共振峰和反共振峰的幅值,同時具有平坦且較寬的反共振頻帶區間,在此區間內主系統的振幅得到了很好的抑制。

為了定量的分析本文減振效果,在選定的某一段頻率區域內,定義:

(43)

式中:Ap為本文吸振器模型主系統的振幅;Ak(k=1,2,3,4)分別為經典Voigt型,接地型,N-Voigt型,IG-Voigt型動力吸振器模型的主系統振幅;Ek(k=1,2,3,4)為本文和上述其它四個吸振器模型對比后的降幅百分比。主系統減振效果對比,如圖11所示。

圖11 主系統減振效果對比圖

為了將本文模型與其它吸振器模型在共振峰Ar1,Ar2和反共振峰Aa的幅值進行對比,各模型主系統振幅的幅值及降幅百分比,如表3所示。

表3 共振峰和反共振峰的幅值及衰減比

由表3可以看出,采用時滯反饋主動控制并進行優化后,主系統的振幅與其它幾種典型的被動控制系統相比,在共振峰及反共振峰處獲得了很好的減振性能。

下面,以反共振點為例,分別給出本文模型和其它吸振器模型主系統的時間歷程響應曲線如圖12所示。從圖12可知,仿真的結果與圖10中的解析結果相吻合。

(a) 本文與經典Voigt型和接地型動力吸振器對比

7 結 論

本文對含慣容的接地剛度時滯反饋控制系統進行優化設計,得到的主要結論如下:

(1) 當考慮主系統阻尼系數時,對某一特定的慣容比,隨著主系統阻尼系數的不斷增大,反饋增益系數和時滯量的穩定工作區間不斷增大,說明主系統阻尼具有穩定系統的作用。

(2) 隨著慣容比的不斷增大,反饋增益系數和時滯量兩個控制參數穩定的可調節區間不斷減小,說明慣容比的增大降低了系統的穩定性。

(3) 慣容比對振動系統第一共振峰的幅值和頻率影響較小,對第二共振峰的幅值和頻率影響較大。

(4) 慣容比對反共振峰的幅值和頻率影響較大,可以通過調節慣容比控制反共振點的頻率值,使得可調反共振頻帶具有很好的對稱性。

(5) 通過對慣容比、反饋增益系數和時滯參數的優化,時滯反饋控制獲得了很好的減振效果。不僅實現了對主系統共振峰和反共振峰幅值抑制的目標,同時還獲得了對反共振減振頻帶的寬頻控制。