基于Fair 函數神經網絡的厚度傳感器輸出特性分析

張艷肖，李守智，張江江，曹小鴿，徐 微

（1.西安交通大學城市學院，陜西西安 710018；2.西安理工大學自動化學院，陜西西安 710048）

在印刷、化工、建筑等領域，廣泛需要厚度檢測，國內外相繼出現多種厚度檢測技術，常見的有基于各種射線、超聲波、渦流、太赫茲時域光譜等[1-4]。電容傳感器具有價格低、動態響應快、分辨率高等優點，將電容式傳感器用于厚度測量，相比于其他方法成本低、功耗小，而且對人體不會造成傷害。電容傳感器因受到邊緣效應、寄生電容及操作誤差等因素的影響，存在較大誤差，制約了其測量精度。為了減小誤差，需要對傳感器輸出特性進行補償，常用的方法有最小二乘法[5-6]，支持向量回歸算法[5-6]及人工神經網絡[9-10]算法，最小二乘法和神經網絡是基于誤差平方和下降的計算來求最優解，對擬合數據準確性要求較高，不具備抗擊壞數據的能力。然而擬合數據來源于現場測試，隨機誤差和過失誤差可能同時存在，將導致補償效果變差。針對以上問題，該文引入抗差理論中的Fair 函數，提出一種基于Fair 估計函數BP 神經算法，使得電容式測厚傳感器測量精度得到有效提高。

1 電容傳感器測量原理

電容傳感器原理如圖1 所示，電容傳感器的初始電容值表達式如式（1）所示：

圖1 電容傳感器結構

式中，ε0為真空的介電常數，ε1為待測介質的介電常數，A為電容傳感器極板的有效面積，d0兩極板之間的距離，可知電容傳感器的電容值變化由以上幾個參數共同決定[11-13]。將平行極板固定在待測材料兩端，被測材料厚度變化時引起傳感器電容的變化。根據高斯定理，傳感器電容Cx與材料厚度θ之間的關系如式（2）所示：

在實際工程應用中，傳感器受周圍環境、目標個體差異和邊緣效應等多方面影響，不可避免的存在測量誤差，其輸出電容與材料厚度之間難以滿足上述函數關系，為了提高測試精度，系統需要對測量數據進行回歸分析，得到材料厚度與傳感器電容之間的關系，并對未知目標進行估算。

2 神經網絡分析

2.1 基于最小二乘法BP算法的不足

BP 算法是按誤差逆傳播算法訓練的多層前饋神經網絡，是目前應用最為廣泛的神經網絡模型之一。網絡結構為輸入層、隱含層和輸出層，如圖2 所示。從輸入層接收外界數據開始，將數據信息正向傳播給隱含層，經過處理后在輸出層輸出結果。網絡訓練的實質是誤差e再向后傳遞的同時調整權值，以使實際輸出接近預期輸出值，傳統的權值由最小二乘法求得，取誤差函數為：

圖2 BP神經網絡

誤差函數是單調函數，最小二乘法適用于測試數據僅有隨機誤差，且誤差服從正態分布[14]的情況，而在實際工業操作過程中測量誤差中還可能存在過失誤差，過失誤差往往沒有規律可循，這將導致神經網絡預測不準確。

2.2 基于Fair估計函數

為了減小測量誤差對測厚電容傳感器測量結果的影響，將魯棒的估計理論應用于神經網絡。魯棒的估計方法通過構成一種無偏學習函數，在一定偏離理想條件下對這種過偏不敏感或者呈現比較低的敏感度[15-16]。根據魯棒估計理論影響函數的定義，影響函數I(ζ) 正比于數據校正中誤差函數的導數，魯棒估計的影響函數必須有界。當ρ(e)為魯棒的誤差函數時，需要滿足：

Fair 估計的影響函數可表示為：

其中，cF是一個調節常數，在標準高斯分布下，取1.399 8[17]。圖3 為誤差與影響函數之間的關系，可知隨著e增大，最小二乘法(LS)函數無界，不具備魯棒性。而Fair 估計的影響函數隨著誤差的增大逼近某一常數，滿足魯棒估計理論的條件。并且Fair 估計函數是凸函數，有利于神經網絡的優化計算，過失誤差判別能力較強，可以利用它求得最優解，提高傳感器的測量精度。

圖3 不同的影響函數與誤差的關系

3 基于Fair估計函數的BP學習算法

基于Fair 估計函數是魯棒的學習算法，該文采用該算法對神經網絡進行訓練。假設輸入層訓練樣本X=[x1,x2,…,xn]，隱含層輸出H=[h1,h2,…,hm]，實際輸出O=[o1,o2,…,ol]，期望輸出Y=[y1,y2,…,yl]。輸入層到隱含層的權重3wij，隱含層到輸出層的權重為aj，隱含層到輸出層的偏置為bk，學習率為η，激勵函數選擇sigmoid 函數：

隱含層的輸出為：

輸出層的輸出為：

當網絡輸出與期望輸出不等時，存在誤差：

由前文分析可知，基于Fair 估計函數可以減小測量誤差對神經網絡輸出的影響，基于Fair 估計誤差函數為：

采用梯度下降法對隱含輸入層到輸入隱含層權值進行更新：

隱含層到輸出層權值更新為：

偏置更新為：

4 結果對比分析

該文采用FDC2214 電容式傳感器，測量單張及多張重疊的標準雙銅紙張的厚度進行實驗驗證。測量前對紙張進行干燥，減小紙張中水分對測量精度的影響。表1 給出了兩組傳感器響應的特征值，其中，第2 組數據中含有10%的過失誤差。

表1 FDC2214傳感器在不同厚度紙張下的特征值

將傳感器的輸入厚度作為網絡的輸入，厚度經傳感器后的對應輸出電容值作為網絡期望輸出。利用Matlab 建立BP 網絡的模型及參數設置，輸入訓練樣本，學習誤差函數分別為基于最小二乘法(LS)和Fair 估計函數，將參數設置為一樣η=0.3，對網絡進行若干次學習訓練，連續調整網絡的權值和閾值。測量數據中，不含過失誤差擬合結果如圖4 所示，擬合誤差如圖5 所示，當正常測量不含過失誤差時，基于最小二乘法(LS)和Fair 估計函數的BP 學習算法擬合結果基本接近。圖6 為擬合數據中含有過失誤差擬合結果，利用最小二乘法(LS) BP 學習算法造成過失誤差誤判，基于Fair 估計函數BP 學習算法擬合結果更接近于真實值，擬合誤差如圖7 所示。采用均方根誤差（MSE）評價擬合效果，表2 給出擬合后均方根誤差比較結果，當擬合數據中含有過失誤差時，基于Fair 估計函數BP 學習算法擬合效果更優，具有較強的魯棒性。

表2 均方根誤差比較結果

圖4 不含過失誤差擬合結果

圖5 擬合誤差

圖6 含過失誤差擬合結果

圖7 擬合誤差

5 實驗驗證

將上文分析得到的基于Fair 估計函數BP 學習算法寫入STM32 單片機程序中，測量雙膠紙紙張厚度，測試結果如表3 所示。結果表明，厚度傳感器能準確測量紙張厚度，測量相對誤差小于1.5%。

表3 實測結果

6 結論

該文提出基于Fair 估計函數的BP 學習算法并應用于電容傳感器厚度測量，當訓練數據中含有過失誤差和隨機誤差時，擬合精度明顯高于傳統基于最小二乘法BP 學習算法。實驗結果表明，該算法應用于厚度傳感器能準確測量紙張厚度，測量相對誤差小于1.5%。