“雙新”背景下高中數學建模核心素養培養的教學實踐
——以汽車剎車距離模型為例

李 萍 上海海事大學附屬北蔡高級中學

一、引言

在《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》中強調，“通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界、發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型解決實際問題（能力），積累數學實踐的經驗；認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神”。

近幾年來，數學建模在科學、工程與經濟等領域發揮著越來越重要的作用，數學建模進入學校課堂已經是大勢所趨。

二、數學建模的定義

數學建模作為數學學科的六大核心素養之一，指的是通過觀察現實生活中的問題之后將其進行合理的數學抽象，并轉化為數學語言進行表達，然后用數學思想方法建立模型來培養解決問題的素養。

在2020 年的“雙新”教改中，上教版新教材將數學建模的內容獨立出來，按必修和選擇性必修分別單獨成冊，這就要求一線教師需要認真思考數學建模的意義，掌握數學要義，積極落實提高學生的核心素養這一教學目標。

三、數學建模的教學方法：利用日常課進行滲透

雖然“雙新”改革后，上教版教材已經將數學建模這一核心素養單獨成冊，但是教材上的內容是以一個完整的數學建模活動的形式出現的，然而，對于高一的學生而言，由于在知識儲備上的欠缺導致數學建模的教學應該依據學情來進行設計，根據學生的認知水平來進行簡化。

因而，筆者嘗試如下教學方法：充分挖掘日常上課的素材，利用這些素材為學生搭建好數學建模的腳手架，在日常課中將數學建模思想進行有效滲透，繼而為之后讓學生能完成一個完整的數學建模活動做好鋪墊。

四、高中數學建模教學案例實踐

（一）素材的選擇

在上教版新教材必修一的第二章“一元二次不等式的求解”這一節中，引例改編自《數學建模》一書中的剎車距離案例：

在交通事故中，交通管理部門往往通過測量肇事汽車的剎車距離來推斷該車輛實施剎車前的行駛速度，并作為斷定司機在肇事前是否有超速違章行為的重要參考依據。假設在某次交通事故中，測得肇事汽車的剎車距離大于20 米，試推斷該汽車在剎車前的車速是否超過該水泥道路上機動車的限速規定30 km/h。在一般情況下，我們可以采用如下數學模型來描述該種型號的汽車在常規水泥路面上的剎車距離：d（單位：m）與剎車前的車速v（單位：km/h）之間的關系：

d=0.208 5v+0.006 4v2

（二）將教材上的素材進行改編

思考：汽車在常規水泥路面上的剎車距離d（單位：m）與剎車前的車速v（單位：km/h）之間的關系式是怎么得到的？

【設計意圖】通過該引例使學生意識到生活中其實有很多問題，從而了解到數學建模的第一步是學會發現生活中的問題。

創設情境：由于慣性，汽車在剎車之后還要繼續前進一段距離之后才會停下來，從司機踩下剎車到汽車完全停止的這段距離稱作為剎車距離。我們知道一般來說車速越快，剎車距離越長，由此，可以初步判斷剎車距離與車速有關，為了找到剎車距離與車速的關系，從而建立出這兩者之間的關系式，我們需要在不變的道路上進行實驗，而且司機也得是同一個。通過實驗，得到的數據如表1所示。

表1 車速與剎車距離的一組實驗數據

問題1：該如何研究這些數據，才能正確建立剎車距離與車速的關系式呢？

【設計意圖】通過該問題使學生能了解到數學建模的第二步：學會提出問題。在學生的認知中，建立關系式無非是等量關系或者是不等關系，而這些關系通常都是以函數關系的方式來得到，這就是學生非常熟悉的應用題。以表格列出數據的方式來找函數關系對學生而言是既是新鮮的，也是充滿挑戰的。

問題2：經過大家的思考，主要有以下兩種方法，那么選擇哪一種比較好呢？

方法一：直接猜測符合的函數模型，是一次函數還是二次函數？代入數據進行驗證。

方法二：作出散點圖，看曲線的形狀判斷函數關系。

【設計意圖】對于成對的數據，在統計學上通常可以選擇用作出散點圖的方式來呈現成對數據是否具備函數關系或者相關關系，因此，啟發學生用方法二對于研究現實問題更適合。

問題3：利用Excel作出散點圖（圖1）如下，顯然發現剎車距離與車速不成一次函數的關系（見圖2），那么這兩者究竟是怎樣的關系呢？為此，我們需要進一步的研究。

圖1

圖2

問題4：通過查閱資料，我們發現剎車距離由反應距離和制動距離兩部分組成。當駕駛員意識到需要踩剎車到做出剎車動作的這段時間，稱為反應時間。在反應時間內，汽車以原來的速度做勻速直線運動之后所行駛的距離叫做反應距離。那么請問反應距離與什么有關？制動距離又與什么有關？

【設計意圖】通過該問題使學生了解到數學建模的第三步：學會分析問題，既然由散點圖發現了剎車距離與車速不是簡單的線性關系，那就需要進一步分析問題，找出該問題中另外一些關鍵的要素。

問題5：通過討論與查閱資料，我們可以總結出如下結論：反應距離與司機的反應時間和汽車的車速有直接關聯，其中司機的反應時間又與個人的精神狀況和汽車的制動系統的靈敏性有關系；而制動距離與汽車的制動器的作用力以及汽車行駛的速度以及行駛的時候道路的狀況有關，那么這么多因素我們該如何進行取舍？

【設計意圖】通過對問題5 的深入思考，使學生們認識到對于我們要探究的剎車距離與車速之間的關系式來說，有很多因素是次要的，如果全部都要研究就太煩瑣了，因此為了使問題變簡單，通常需要進行一些合理的假設，這也是建立合適的數學模型之前一個重要的環節。

問題6：基于問題5中的分析，作出以下假設：

（1）汽車的剎車距離d可以看作是反應距離d1與制動距離d2的和；

（2）司機的反應距離d1與汽車的行駛速度v成正比，比例系數為司機的反應時間；

（3）在剎車時需要使用的制動力記作F，而F做的功相當于汽車動能發生的變化，且F與汽車的重量m成正比。

基于以上假設是否能建立剎車距離d與車速v之間的關系式？

【設計意圖】對于問題6 的解答其實就是在完成數學建模的第四步也是最關鍵的一步——建立模型。

由假設1，得到d=d1+d2；由假設2，d1=c1v（其中c1為常數）；由假設3，F與汽車的重量m成正比，基于牛頓第二定律，得到F=mk（其中k為剎車時的減速度為常數），另外，由于在F的作用下行駛的距離d2所做的功Fd2使汽車的車速從v變成了0，因此動能的變化為，于是得到如下關系式：

從而可以將d2記作d2=c2v2（其中c2為常數），因此可以得到剎車距離d（單位：m）與車速v（單位：km/h）之間的函數關系為：d=c1v=c2v2.

思考與拓展：如何將系數c1以及c2計算出來？

說明：在這里可以給學有余力的學生拓展一下關于利用最小二乘法進行數據擬合的知識。筆者利用Matlab軟件調用擬合函數進行了系數的計算，相關操作步驟如下：

（1）編寫M文件linefit.m，下圖3為該文件代碼。

圖3

（2）在命令窗口執行以下代碼（見圖4）。

圖4

在以上截圖中可以看到c1=0.181 2，c2=0.006 6，因此可以得到剎車距離d（單位：m）與車速v（單位：km/h）之間的函數關系為：d=0.181 2v+0.006 6v2。若將表1 中的車速v代入該關系式得到的剎車距離列出一行（見如下表2 的第3 行，精確到小數點后一位），與下表中的實際數據進行比較可以發現該表達式擬合的還是很好的。

表2 車速與剎車距離的實驗數據與擬合數據對比

（3）作出實際數據與擬合函數的圖像，進一步觀察擬合情況。

在圖5 中，圈圈代表的是實際的實驗數據，曲線是擬合的二次函數圖像，從該圖中也可以進一步了解到表達式d=0.181 2v+0.006 6v2比較準確的表示了車速與剎車距離之間的關系。

圖5

（4）如果將車速的單位轉換為m/s，得到的c1=0.652 2，c2=0.085 3，相關代碼如下圖6。

圖6

由此可以看到系數c1即駕駛員的反應時間的確符合查閱的資料：“在通常情況下，駕駛員的反應時間與其注意力集中程度、駕駛經驗和體力狀態有關，平均約為0.5s～1.5s。”

【設計意圖】以上利用Matlab 軟件求解系數c1以及c2的過程，是在完成數學建模的第五步即求解模型之后又通過將實際的車速代入擬合函數的過程中，完成了數學建模的第六步——回到實際情境驗證答案。如果答案不合理則加以改進。由于本模型最后經過驗證發現與實際的實驗數據還是比較接近的，所以可以認為模型是比較合理的。

以上通過將思考1中的問題進行創設情境之后分解為問題1至問題6，并通過這些問題的解答經歷了一個完整的數學建模的過程，教師可以在解決問題的過程中給學生強調每一個問題背后所揭示的數學建模的步驟以及意義，最后請學生們一起總結數學建模的步驟（見圖7）。

圖7

五、關于本教學案例的反思

本教學案例的設計思路是從教材上的素材出發，通過將素材延伸或者改編進行教學設計，目標是將數學建模的思想以及方法步驟在課堂上進行滲透，從而為之后學習必修四并完成一次完整的數學建模活動做好鋪墊。

在本課例中，通過將必修一第2 章中關于汽車剎車距離的引例進行改編，采用問題串的方式啟發學生思考，從而使學生了解何為數學建模以及如何進行數學建模，在學習過程中，教師可以引導學生利用課余時間查閱相關資料幫助解決問題。

本課例的教學目標是通過具體實例使學生初步了解數學建模的含義，由于面對的是高一的學生，筆者認為不宜太過拔高難度，因此在教學過程中采用的方法是先通過作出散點圖的方式來猜測可能的函數關系，這樣做符合學生在初中就熟知的描點法作圖得到函數圖像的方法，也是高中階段教材上探求未知函數圖像的一種重要方法，而由散點圖猜測函數關系式，我采用的并不是由二次函數直接代入點的坐標來得到解析式的方式，理由是這樣缺乏理論支撐，因此，引導學生利用建模的思想方法進行思考，順利進入分析問題的步驟。之后在求解模型的過程中的缺憾是系數的確定，因為需要用到最小二乘法，因此我只能直接告知學生答案，對于有興趣的學生可以利用課余時間進行進一步的了解。

另外，在本課例的教學過程中，筆者還利用駕駛員酒后的反應時間至少會增加2～3 倍來告誡學生安全駕駛的重要性。實際上，不管是酒駕還是疲勞駕駛都會導致人反應遲鈍，從而使司機的反應時間變長，導致的后果是增加了反應的距離，繼而增加了剎車距離，作為教師，可以趁此機會對學生進行生命安全教育。

限于課時的安排，本課例只討論了正常道路情況下的剎車距離與車速的關系，在實際行駛過程中，可能還會碰到道路路面的不同情況，例如，結冰的路面、碎石路面等；上坡、下坡、轉彎等不同的情形下剎車距離與車速的關系會有什么樣的變化，都是之后可以進一步進行研究的問題，因此，在課例最后需要強調在本節課中所建立的數學模型的局限性，還有很多值得思考和探討之處。