RV減速器擺線輪齒廓多目標修形的優化與研究*

喬雪濤,張洪偉,李優華,盛 坤,周世濤,曹 康,徐 航

(中原工學院 機電學院,河南 鄭州 450007)

0 引 言

旋轉矢量(rotary vector,RV)減速器具有傳動比大、傳動精度高、性能穩定以及承載能力強等優點。

隨著高端智能制造產業的不斷發展,RV減速器已經成為工業機器人、高端自動化工業、高端數控機床以及航天航空等眾多領域不可或缺的核心零部件。擺線輪是RV減速器最為重要的零件,與減速器的傳動精度、承載能力和運轉平穩度等性能密不可分。其加工難度較大。

為了補償各種制造誤差和存放潤滑油,需要對擺線輪進行修形。移距修形和等距修形是目前常用的修形方法。如何通過修形獲得較優的修形量,從而得到性能優良的擺線輪齒廓,這對于減速器綜合性能的提升具有重要意義。

何衛東等人[1]首次使用了“負等距+負移距”的修形方法,有效減少了減速器擺線輪的側隙;但是其沒有深入考慮減速器承載能力方面的要求。YANG D C等人[2]利用幾何方法,推導了擺線針輪減速器嚙合間隙的計算公式,這個間隙主要由零件加工誤差和裝配誤差產生;但是其推導過程沒有考慮修形的影響。關天民等人[3]提出了一種修形方法,并給出了求解修形量的方法,以齒面接觸的齒變動量最小作為目標函數,使齒面接觸力有所降低;但是該研究沒有分析同時嚙合齒數。魏波等人[4]通過分析不同的擺線輪齒廓修形模型,得到了基于齒廓法向間隙建立的模型;但是該模型沒有考慮裝配誤差。焦文瑞等人[5]選擇“等距+移距”組合修形方式,對優化工具箱進行了優化求解,得出了齒廓的修形量;但是該修形方法過于依靠經驗。聶少文等人[6]在組合修形的基礎上,又添加了齒厚修形的方法,雖然齒廓曲線比較靠近轉角修形;但是選取加工誤差的參數不夠準確,過于經驗化。陳馨雯等人[7]提出了一種與針齒半徑和轉角相關的指數函數修形法,對擺線齒廓進行了修形,經過修形的擺線齒廓有效減少了減速器的傳動誤差;但是針齒半徑隨轉角變化的范圍有限。CHMURAWA M等人[8]研究了修形參數的大小對載荷分布的影響,得到了載荷的分布規律;但是其沒考慮彈性變形對其產生的影響。REN Z Y等人[9]對擺線輪齒側間隙進行了分析,并以嚙合剛度為目標,對擺線輪進行了優化設計;但在實際工程中,該方法的可行性不強。LIN W S等人[10]建立了RV減速器的動態傳動誤差模型,求解出了齒廓的修形量;但是該模型沒有考慮影響傳送誤差對模型的因素。陳兵奎等人[11]建立了判定擺線針輪嚙合與否的基準,實踐證明,該基準對擺線針輪傳動的齒廓修形設計具有一定的指導意義;但是該基準還僅僅停留在理論層面。于影等人[12]提出了一種“正等距+負移距+轉角”的特殊組合修形方式;不過采用該方法進行修形加工時,無法進行批量生產。WANG Ya-liang等人[13]建立了擺線針輪減速器的多目標優化模型,并使用了改進的算法;但是其優化目標為轉臂軸承之間的力,對擺線輪齒間的嚙合力影響較小。岳朗等人[14]提出了一種基于壓力角變化規律的修形方法,使擺線輪嚙合力的分布更加平均;但是壓力角變化區間太小,限制了其修形的范圍。安小濤等人[15]提出了一種基于齒廓誤差的逆向主動修形方法,采用該方法可以提升RV減速器的運動精度和裝配工藝性;但是采用該方法對齒廓進行修形后,減速器的承載能力會降低。王輝等人[16]對擺線輪和針輪之間的嚙合力進行了認真計算;但是在其計算過程中,沒有充分考慮到修形所帶來的影響。雷蕾等人[17]建立了擺線輪與針輪接觸區間的數學模型,并進行了齒面動態受力分析;但是其沒有考慮彈性變形和嚙合齒數對接觸區間的影響。

以上學者雖然對減速器擺線輪修形做了較多工作,但是對減速器的多目標修形研究較少,且對綜合提升RV減速器的承載能力和傳動精度的研究很少。

在RV減速器修形過程中,學者們往往只追求提升減速器中的一個性能,且擺線輪修形優化時也只以一個減速器性能為優化對象,而忽略減速器其他性能,所以無法使減速器綜合性能得到有效提升。

針對減速器單目標修形無法保證減速器綜合性能提升的問題,筆者提出一種擺線輪的多目標修形方法,并以RV減速器的承載能力和回差為優化目標,使用改進的非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm-II,NSGA-Ⅱ),即采用gamultiobj遺傳算法進行優化求解,以期獲取較優修形量。

1 擺線輪修形后齒廓方程

直角坐標系下擺線輪標準齒廓方程為:

(1)

k1=azp/rp

(2)

i=zp/zc

(3)

式中:rp為針齒中心圓半徑;rrp為針齒半徑;zp為針齒齒數;i為擺線輪與針輪齒數之比;φ為針齒相對于轉臂的轉角;a為擺線輪偏心距;k1為擺線輪的短幅系數。

為了滿足RV減速器實際工作需求,需要對減速器第二級中的擺線輪進行修形工作,從而產生所需要的嚙合間隙和徑向間隙。

研究者們通常采用等距修形和移距修形相組合的方式,修形后的擺線輪齒廓方程為:

(4)

修形后的短幅系數為:

k′=a·zp/(rp+Δrp)

(5)

式中:k′為經過修形后擺線輪的短幅系數。

筆者以RV-20E-161型減速器為研究對象。

減速器具體參數如表1所示。

表1 RV-20E主要幾何參數

2 擺線輪接觸應力分析

在RV減速器工作過程中,除空載狀態下只有一對擺線輪和針齒嚙合,其他均會出現多對齒同時嚙合的情況。由于減速器在實際使用過程中擺線輪必須經過修形后才可以使用在RV減速器上,修形后會產生嚙合間隙,使得同時嚙合齒數減少。

RV減速器空載時,理論上只有一對齒在φ=φ0處嚙合,且φ0=arccosk1,此時也會產生最大的齒輪接觸力Fmax。在嚙合過程中,如果擺線輪同時嚙合齒數越多,且Fmax越小,相對應來說,減速器的承載能力就會比較強。

標準擺線針齒嚙合示意圖如圖1所示。

圖1 擺線輪嚙合受力圖Fig.1 Cycloidal wheel meshing force diagram

圖1為標準的擺線輪與針輪嚙合受力圖,更能直觀地反映擺線輪與針輪的嚙合受力情況。

在lmax處,因為承受載荷和變形量成正比,所以在此處對應最大的載荷。

第i個針齒所產生的作用力為:

(6)

式中:li為第i個針齒嚙合點處的公法線到擺線輪中心的距離;r′c為擺線輪的節圓半徑,r′c≈lmax。

所以,單個標準齒廓擺線輪傳遞的轉矩為:

(7)

(8)

又有:

r′czp=r′pzc=k1rpzc

(9)

由于擺線輪存在加工誤差和制造誤差,導致在實際工作中2個擺線輪所傳遞的力矩無法等量傳遞。

筆者取Tc=0.55T,其中輸出轉矩T=110 N·m,將其代入式(8)得:

(10)

式中:T為輸出軸力矩。

初始嚙合間隙會出現在修形后的擺線輪與針輪之間,初始嚙合間隙公式如下:

(11)

式中:φi為第i個針齒相對于轉臂OcOp的轉角。

由于針齒殼的彎曲較小,在計算中可以忽略。筆者需要使用迭代法求出接觸力最大值Fmax,假設擺線針輪嚙合點到擺線針輪中心點之間的距離為lmax,擺線輪最大接觸力初始值Fmax0計算公式如下:

(12)

擺線輪與針齒接觸過程中會產生最大變形量δmax,兩個部分變形量之和才是最大變形量。變形量分為兩部分,一部分是擺線輪與針齒接觸的最大接觸變形量Wmax;另一部分是針齒殼的彎曲變形量fmax。

因針齒殼的變形很小,可忽略不計,最大變形量計算公式分別如下所示:

δmax=Wmax+fmax

(13)

(14)

(15)

式中:μ為材料GCr15的泊松比,μ=0.3;E為彈性模量,E=2.05×105MPa;b為擺線輪寬度;ρ為擺線輪在φ0=arccosk1處的曲率半徑。

對ρ進行計算:

(16)

對每個擺線齒嚙合點的形變量進行計算:

(17)

由力矩平衡可知,針齒最大接觸力表達式為:

(18)

由赫茲接觸理論得出,擺線輪齒面接觸應力計算公式為:

(19)

由上述計算過程可知,計算Fmax時需得知δmax,而計算δmax時又需得知Fmax,故無法用公式直接計算得到最大接觸力。所以,為得到準確的Fmax需要用到迭代法。

具體步驟為:

迭代法流程圖如圖2所示。

圖2 迭代流程圖Fig.2 Iteration flowchart

筆者經圖2進行迭代計算后,可得到準確的最大接觸力,為后續優化工作做好鋪墊。

3 修形對回差的影響分析

回差是指減速器在正轉和反轉之間產生的空白行程。對于減速器的回差要求嚴格的精密減速器而言,減小回差對于減速器平穩工作和提高傳動精度都有著重要的意義。

由于減速器第二級離輸出端更近,所以第二級減速機構(擺線針輪機構)對回差的影響更大。雖然影響回差的因素較大,但是修形是影響回差的重要因素,對回差敏感系數高。等距修形量對回差敏感度為1.59,權重占比0.148 7,移距修形量對回差敏感度為-1,權重占比0.050 5[18]。

回差的出現會導致RV減速器傳動精度的降低,如何使修形產生的回差得到降低有待后續研究。

根據回差的定義和RV減速器動力傳遞路線,可知修形引起的回差為:

(20)

式中:Δj為擺線輪引起的齒側間隙。

修形對回差的影響是多方面的。

3.1 等距修形產生的回差

等距修形是指在磨床對擺線輪進行磨削時,保持磨床運動參數和加載參數不變,將砂輪的半徑由rrp增加到rrp+Δrrp,由于齒側兩邊均有間隙,所以引起的回差如下:

Δ=2Δrrp/azc

(21)

等距修形所引起的回差如圖3所示。

圖3 等距修形引起的回差Fig.3 Return difference caused by isometric modification

由圖3可以看出:等距修形引起最小回轉角為γmin,回差為最小回轉角的兩倍。

3.2 移距修形產生的回差

(22)

移距修形所引起的回差如圖4所示。

圖4 移距修形引起的回差Fig.4 Return difference caused by distance shifting

由圖4可以看出:由于移距修形引起負的回轉角,移距修形產生的回差為負的兩倍最小回轉角γmin。

3.3 組合修形引起的回差

組合修形引起的回差其表達式如下:

(23)

4 RV減速器多目標優化模型

4.1 目標函數

以擺線輪接觸力最小和回差為目標,筆者進行了多目標優化求解。

設目標函數為f(x),自變量分別為Δrrp、Δrp,則目標函數如下:

f(x)=min[F,ε]

(24)

4.2 約束條件

若修形量過大,則會產生較大的側隙,從而降低減速器的傳動精度,需對等距修形量進行約束,約束不等式如下:

|Δrrp|<0.2 mm

(25)

擺線輪潤滑過程需要徑向間隙,徑向間隙Δr=Δrrp-Δrp。

徑向間隙需做如下約束,算式如下:

0.01 mm≤Δr≤0.1 mm

(26)

4.3 算法優化

目前,多目標遺傳算法有很多,KALYANMOY DEB發現的帶有精英策略的快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ無疑是比較成功也是應用最廣泛的一種算法。NSGA-Ⅱ算法引入了不同于其他算法的精英策略和擁擠度概念,使得種群多樣性得到了保持,并且能夠快速良好地向前進化。

Gamultiobj遺傳算法是在NSGA-Ⅱ算法基礎上改進的一種多目標優化算法,其執行速度更高,適用范圍更廣。其在解決多目標優化問題時更為直接,更適合解決減速器多目標優化問題,尋優能力更強。

筆者設置種群數量N=50,迭代次數n=100,使用gamultiobj遺傳算法進行優化求解。

算法優化圖如圖5所示。

圖5 算法優化圖Fig.5 Algorithm optimization diagram

圖5對問題的具體類型以及種群大小進行了設置。

迭代100次的結果如圖6所示。

圖6 迭代結果圖Fig.6 Iteration result graph

從圖6(b)中可以看出:經過算法優化后的Pareto(帕累托)前沿中的最優解分布較為均勻。在迭代的優化結果中,根據對目標的期望程度選擇2個優化目標,從2個目標的均衡程度的角度考慮,選取一組較優解,結果如下:Δrrp=0.053 1 mm,Δrp=-0.043 3 mm。

優化過的擺線輪齒廓如圖7所示。

圖7 齒廓對比圖Fig.7 Comparison of tooth profiles

從圖7可以看出:優化后的擺線輪齒廓在工作段能夠與轉角修形高度擬合,并且能夠最大程度地接近共軛齒廓。

放大修形后擺線輪的工作段如圖8所示。

圖8 工作段放大圖Fig.8 Enlarged view of the working section

從圖8中可以看出:經過放大后的工作段與轉角修形較為接近。

修形后的擺線輪齒廓與理論齒廓接觸力如圖9所示。

圖9 齒面接觸力分布圖Fig.9 Tooth surface contact force distribution map

圖9為經修形后的接觸力對比圖,可以看出:修形后針輪齒面所受最大接觸力相比理論齒面略有增大,因為擺線輪修形后的擺線針輪嚙合齒數有所減少。

擺線輪初始間隙與變形量如圖10所示。

圖10 擺線輪初始間隙與變形量Fig.10 Initial clearance and deformation of cycloidal wheels

通過圖10中變形量與初始嚙合間隙的關系可以判斷出同時嚙合的齒數。

筆者對等距修形、移距修形、標準齒形和優化修形進行了對比分析,如表2所示。

表2 不同修形方法對比

由式(10)～式(12)可得等距修形產生的回差為0.071′,移距修形產生的回差為0.054′,優化修形產生的回差為0.013′。

由此可得,經過優化修形后的減速器回差相比于等距修形和移距修形產生的回差有所降低,這提高了減速器的傳動精度。

經過優化后的對比分析如表3所示。

表3 優化結果對比

由表3可知:筆者對優化后的接觸應力進行計算,優化修形后的齒輪最大接觸力相較于等距修形和移距修形,修形后的最大接觸力分別降低了11%和13%,比未修形的標準齒廓的最大接觸力有所提高。

可見,在相同的轉矩下,多目標優化修形明顯提高了承載能力,同時嚙合齒數也比等距修形和移距修形有所增加,且降低了擺線針輪間的最大接觸應力。

5 RV減速器虛擬樣機回差仿真

5.1 虛擬樣機的搭建

考慮到修形優化后的RV減速器,筆者建立了多組虛擬樣機,進行回差仿真分析。

筆者使用Solid works建立了修形后的擺線輪,并裝配成三維模型導入ADAMS中進行仿真,忽略油封和螺栓以及制造誤差,依據運動關系添加轉動副和約束,建立4組虛擬樣機,分析不同修形方法對回差的影響。

建立的虛擬樣機如圖11所示。

圖11 虛擬樣機圖Fig.11 Virtual prototype diagram

筆者按照圖11添加好的轉動副和約束中建立的虛擬樣機進行仿真分析。

約束如下:

固定副。針齒殼和針齒添加為相對于大地的固定副。

轉動副。在行星架和輸入軸之間添加相對于大地的轉動副;行星輪相對于行星架添加轉動副,旋轉中心選定為行星架的中心上;擺線輪添加為相對于曲柄軸的轉動副,添加旋轉中心位于擺線輪中心上。

接觸副。輸入軸和行星輪之間添加接觸副;擺線輪和各個針齒之間添加接觸副。

5.2 回差仿真分析

筆者對輸入軸添加step階躍驅動函數,即:

161 00d*step(time,0,0,0.1,1)+161 00d*step(time,0.3,0,0.5,-2)

該驅動函數保證了輸出軸平穩地正反轉換向,其中仿真回差計算公式為:

(27)

式中:θ1為輸入軸t時刻的轉角;θ2為為輸入軸t′時刻的轉角;i為減速比;t=t′=0,1,2…n。

優化修形后的輸入軸轉速如圖12所示。

圖12 優化修形后輸入軸轉速Fig.12 Input shaft speed after optimization and modification

從圖12可以看出:輸入軸轉速較為平穩,0.4 s轉速突然下降是因為設置驅動函數輸入軸反向轉動的緣故。

優化修形后的輸出盤轉速如圖13所示。

圖13 優化修形后輸出盤轉速Fig.13 Output disk speed after optimization and modification

從圖13可以看出:由于軸承誤差的緣故,輸出軸產生了波動現象,在t=0.4 s處出現較為明顯的尖點,為輸出軸在輸入軸換向傳動時沒有同步響應的正常現象。

筆者分別建立4種修形后的虛擬樣機,進行虛擬樣機仿真,仿真結果如圖14所示。

從圖14可以看出:擺線輪沒經任何修形的RV減速器的回差是0,符合理論情況。移距修形回差小于等距修形回差且均大于優化修形回差。

仿真結果與計算結果相差不大。優化修形后的虛擬樣機的回差為0.01′～0.015′,經虛擬樣機仿真驗證與算法優化值0.013′相差不大,優化修形可有效減小減速器回差,提高減速器傳動精度。

6 實驗驗證

筆者經外協加工出優化修形后的擺線輪,并替換原來RV-20E減速器中的擺線輪,得到替換過的RV減速器樣機,如圖15所示。

圖14 回差仿真結果圖Fig.14 Simulation result of cycle error

圖15 RV減速器樣機圖Fig.15 RV Prototype of the reducer

筆者對RV減速器的回差進行了動態測量,RV減速器綜合性能測量臺如圖16所示。

綜合性能控制臺如圖17所示。

圖16 RV減速器綜合性能實驗臺測試臺Fig.16 Comprehensive performance test bench test of RV reducer

圖17 綜合性能控制臺Fig.17 Comprehensive performance console

筆者利用圖17中的減速器綜合性能控制臺對實驗臺進行控制,完成測試工作。

筆者對優化修形后的減速器進行回差動態測試,結果如圖18所示。

圖18 回差動態測試結果圖Fig.18 Dynamic test result chart of return difference

圖18中,回差動態測試結果為0.016′,與算法優化值0.013′相差較小,略大于虛擬樣機回差的范圍0.01′～0.015′。

考慮到制造誤差等因素,上述實驗結果在較為合理的范圍內,由此可以驗證修形結果的準確性。

7 結束語

針對減速器單目標修形無法保證減速器綜合性能(高承載能力和高傳動精度)提升的問題,筆者提出了一種擺線輪的多目標修形方法,并以RV減速器的承載能力和回差為優化目標,采用gamultiobj遺傳算法進行了優化求解,以期獲取較優修形量;為了驗證該修形方法的準確性,使用RV減速器綜合性能檢測臺,對修形后的RV減速器進行了回差動態實驗。

主要研究結論如下:

1)建立了以承載能力和嚙合回差為多目標的優化模型,在保證承載能力的同時,使傳動精度得到提高,對較為復雜的擺線輪接觸力進行了迭代計算,從而求解出了最佳的修形量;

2)使用了改進后的NAGA-Ⅱ算法gamultiobj遺傳算法,使得搜索結果范圍更廣,搜索結果更為準確。經過多目標優化修形的擺線輪齒廓更接近共軛齒廓,最大接觸力相較于等距修形和移距修形的最大接觸力分別降低了11%和13%,優化修形后的回差為0.013′,這提高了承載能力和傳動精度;

3)使用修形后的擺線輪替換原來的擺線輪,通過回差動態實驗驗證了修形結果的準確性,為擺線輪的修形加工提供了一種理論依據。

在后續研究中,筆者將深入考慮軸承誤差及零件制造誤差對RV減速器回差的影響;同時,建立軸承誤差分析模型,研究軸承誤差對修形后的減速器回差的影響規律。