基于旋轉慣導雙軸旋轉系統的系統級標定

安中正，姚宏瑛，安振東

(中國航天科工集團第二研究院 七〇六所，北京 100854)

0 引 言

IMU全稱慣性測量單元(inertial measurement unit)是不同捷聯慣導系統中用于測量物體三軸加速度和姿態角的重要傳感器單元[1]，在航空航天領域得到了廣泛的應用，并且慣性測量單元的精度會直接影響到捷聯慣導系統的精度。需要對慣性儀器在開始工作前進行標定和補償，減少對慣導系統累計誤差的影響。傳統的慣性測量單元分立式標定過程需要在高精度轉臺做速率實驗和位置實驗，消耗時間較長，并且轉臺精度極大的影響標定結果。為了在不損失精度的情況下對慣性測量單元進行復雜標定，在文獻[2]中，作者提出了一種改進的六位置混合標定方法，通過采集12組靜態輸出和6組動態輸出對其進行標定，整個過程需要一個半小時，雖然縮短了標定時間，但這種方法分別依據轉臺的準確轉速和位置對IMU進行校準，這意味著校準精度完全取決于轉臺的精度。隨著雙軸旋轉慣性導航系統的出現，實驗室轉臺可以被低精度的雙軸轉軸系統取代的原理下，基于雙軸轉臺的系統級標定技術得到了很好的研究[3，4]，利用速度誤差和導航偏差能夠很好估計出IMU的誤差系數，相比于分立式標定，IMU的誤差系數僅根據導航誤差估計。參數辨識是校準本質上的原理，卡爾曼濾波是解決參數辨識的一種主要方法，它可以用來估計IMU的最優參數，這是一種廣泛應用于工程的最優線性估計方法。文獻[5]提出了一種基于33維卡爾曼濾波的星敏感器和慣導系統的12位置標定方法，并認為該方法標定結果優于傳統標定方法。基于雙軸轉臺的系統級標定方法因其對標定設備精度要求不高而一直是研究的熱點。對此主要的方向有：①IMU旋轉順序；②估計參數的方法；③轉盤精度對標定精度的影響。文獻[6]中提出了六位置快速標定方法，但是對安裝誤差的標定精度較低。34位置[7]和16位置方法[8]旋轉次數較多，標定時間較長。因此，本文提出了一種基于卡爾曼濾波的系統級標定方法，此外，本文提出的標定方法由于標定裝置為2軸轉臺而不是3軸轉臺，節省了硬件成本。

1 器件誤差的旋轉自補償原理

1.1 坐標系定義

表1 坐標系定義

1.2 旋轉調制原理

慣性測量器件測量誤差會影響最終導航結果的準確度，其中慣性組件的常值零偏誤差參數是影響慣性導航的最主要因素，現階段能夠抑制常值零偏誤差參數的方法主要有兩類，一類從慣性器件自身考慮，從改善慣性測量組件的性能出發，盡量使器件的測量常值零偏誤差的絕對值較小，典型方法有采用不同材料、提高裝配組件的精度、提高組件敏感性等；或者從器件測量組成的原理出發，從根本上提高陀螺和加表的測量精度，例如原子陀螺、靜電陀螺、石英加表等測量組件，但是當這些組件精度到達一定指標之后，再提升其精度投入和產出會因為研制成本和工藝水平的限制而越來越低，要做到進一步改善十分困難，所以從器件自身出發的改進方法有一定限制。第二類就是在現有器件精度水平下，利用旋轉調制原理，即將產品固定在轉臺上，利用轉臺沿敏感軸旋轉的特性，將常值零偏誤差在轉動整周期時表現在導航結果的影響達到最小，即達到完全調制的期望效果。旋轉調制方法理論上可以將垂直于敏感軸方向的其它方向的測量組件的常值零偏誤差在旋轉整周期內平均調制，利用這種方法可以顯著提升慣性導航結果的準確性，又因為單軸旋轉沒法做到三軸誤差調制，三軸旋轉轉臺成本較高且結構復雜，雖然能夠做到3軸誤差調制，卻不適合安裝在空間飛行器上，綜上所述，雙軸旋轉調制是最適合的誤差抑制方法，不僅可以使3個軸慣性器件的常值零偏誤差調制消除，且機構組成簡單成本付出較低，所以雙軸旋轉調制技術是受到國內外航空航天航海領域高度關注的一項工程技術，并且在航空航天航海等領域得到了廣泛的利用，其中旋轉調制原理的數學分析如下：

假設初始時刻，載體坐標系和慣性器件坐標系重合，都以東北天坐標系為基準，然后控制轉臺讓慣性器件繞天向軸z軸開始以實驗設置的角速度ω連續地轉動，根據矩陣論理論知識在t時刻載體坐標系b系和慣性器件坐標系s系之間的關系用旋轉矩陣表示為

(1)

(2)

(3)

根據上述式(2)、式(3)可以看出，慣性器件在水平面兩個方向即x、y方向上的常值漂移誤差因為轉臺繞天向軸z軸的轉動而被調制成了頻率為w的正弦信號與余弦信號的疊加，在整個旋轉周期內誤差輸出有振蕩，但由于慣性器件輸出要以積分形式在導航結果中體現，一整個旋轉周期常值漂移誤差積分為0，因此經過調制后x、y方向上的常值漂移誤差不會影響導航在慣導系統中的精度。z軸上的常值誤差在轉臺運動過程中由于旋轉軸和敏感軸重合并未得到有效調制，在導航解算中會引起系統位置、速度、姿態的隨時間累計的誤差，使系統導航精度變低[9]。

根據上述分析可知，常值誤差經過旋轉調制的本質是慣性器件在停止或者運動過程中處于對稱位置，能夠使常值誤差在導航解算時對載體位置、速度、姿態的影響在對稱位置相互抵消，以此較小系統誤差的積累，提高最終的慣性導航精度。由此可見在旋轉調制工作過程之前進行對慣性測量元件常值漂移誤差的標定是具有工程意義的。

2 慣性儀器誤差標定模型

慣性測量儀器屬于精密儀器，精密儀器的誤差類型分為偶然誤差、系統誤差和粗差，粗差一般指的是錯誤，是儀器內部本身結構和設計的錯誤，一般情況下認為儀器粗差是零；偶然誤差出現在一些需要人為讀數并且進行數值估計的情況下，偶然誤差來源于人的觀測，不可避免；系統誤差來源于測量儀器。系統誤差又分為常系統誤差和可變系統誤差，常系統誤差指誤差表現出固定性，即數值、符號保持不變，一般是由于使用了沒有調整好儀器的零位輸出所造成的；可變系統誤差是指誤差按照一定的數學規律一直在變化，誤差最終表現出累積性，在測量的過程中不斷地增大或減小，除此之外，誤差還表現出周期性：數值和符號有規律的變化，如正弦振蕩信號規律性的誤差形式。

由于本文主要做計算機仿真模擬，所以仿真過程中暫時忽略粗差和偶然誤差，只考慮慣性測量儀器的系統誤差。慣性測量儀器的系統誤差主要包括慣性測量器件如陀螺和加速度計的常值零偏誤差，陀螺和加速度計的刻度因數誤差、陀螺和加速度計的非正交誤差即安裝誤差和高斯形式的隨機誤差即噪聲，誤差不考慮加速度計高階項誤差因數和慣性組件內桿臂誤差，因為其對加速度理論值和加速度測量值影響很小。

光纖陀螺慣性導航系統理論上是由空間上互相完全正交的三軸加速度計和三軸光纖陀螺儀構成的，但由于實際中裝配元件和加工傳感器的工藝技術達不到理論要求，加速度計軸坐標系a系和陀螺軸坐標系g系都不是完全正交的坐標系，為了能夠達到標定結果的唯一性，對其進行約束條件的限制。假設載體系b系的x軸和加速度計軸系的x軸重合，載體系b系的y軸在加速度計軸系的x軸和y軸組成的平面之中，載體系b系的z軸與x軸、y軸構成右手直角坐標系[10]。由此，可以得到在載體系b系中的慣性儀器的誤差模型，其中加速度計的誤差模型為

(4)

由于光纖陀螺誤差模型未作與載體坐標系的約束，所以光纖陀螺的誤差模型比加速度計的誤差模型多出3個安裝誤差，光纖陀螺的誤差模型為

(5)

這樣定義的載體系能夠使標定的誤差參數從24個減少3個至21個，有利于減少標定所需要的時間，各個器件誤差參數之間不會存在任何耦合關系，并且具有唯一的標定的結果，提高標定參數的精度，簡化標定算法和過程。

3 系統級標定

系統級標定是適合現場標定使用的一種標定方式，這種標定方式可以有效減小標定對轉臺的依賴。慣性器件誤差的存在會激勵出慣性導航解算過程中的初始對準誤差、位置誤差、速度誤差等，通過導航過程中的觀測量和這些過程誤差，可以利用濾波方法計算出慣性器件本身的器件誤差如常值零偏、標度因數和安裝誤差參數。這種方法獲得國內外研究人員的高度研究關注是因為其相對比于傳統的分立式標定有著不可比擬的優勢所在。系統級標定方法能夠僅僅依靠自身解算得到的觀測信息，不使用外界信息就完成捷聯慣導系統的自主標定；不僅如此，系統級標定方法還能夠實現直接在載體上完成標定過程，很少受環境因素的影響，能夠做到現場在線標定；最后在轉臺精度的要求上，系統級標定的精度要求要遠遠低于分立式標定的精度要求，可以在精度一般的情況下達到理想的標定結果，十分適合實際工程中的使用。

系統級標定分為擬合法和濾波法，兩種方法對導航誤差信息的處理方法不同，同樣通過轉臺的轉位方案對慣性器件誤差進行充分激勵后，前者主要利用最小二乘方法，對導航誤差解算后的參數進行擬合處理，可以得到誤差模型中的各項誤差參數；后者主要利用最小方差方法，將觀測量設置為慣性導航過程中的速度誤差和位置誤差，建立高維的卡爾曼濾波方程求解，通過設置合適的濾波參數矩陣，可以估計得到慣性測量組件的各項誤差參數。

4 卡爾曼濾波狀態方程和量測方程

為了辨識出所有誤差參數，需要用到卡爾曼濾波方法，首先需要建立卡爾曼濾波的狀態方程和量測方程，建立狀態方程和量測方程的關鍵是導航的姿態誤差方程和速度誤差方程[12]

(6)

(7)

(8)

(9)

連續系統卡爾曼濾波方程為

(10)

將式(6)、式(7)以矢量方程展開，將速度誤差和姿態誤差放進狀態方程中做狀態量，建立卡爾曼濾波基本方程，得到狀態量向量如下[13]

(11)

狀態量共有27維，做27維卡爾曼濾波，狀態方程中的F矩陣為

(12)

狀態方程中的噪聲驅動陣G為

(13)

噪聲向量W為

W(t)=[Wax(t)，Way(t)，Waz(t)，Wgx(t)，Wgy(t)，Wgz(t)]

(14)

其中，Wai(i=x，y，z) 表示加速度計三軸方向上的白噪聲誤差輸出，三軸互不相關；Wgi(i=x，y，z) 表示光纖陀螺三軸方向上的白噪聲誤差輸出，三軸互不相關[14]。假設Qai(i=x，y，z) 表示加速度計輸出在i軸上的白噪聲的方差，Qgi(i=x，y，z) 表示光纖陀螺輸出在i軸上的白噪聲的方差，則慣性測量組件的白噪聲方差應該滿足

(15)

(16)

以導航中的速度誤差和姿態誤差作為量測量，即Z(t)=[δVxδVyδVzφxφyφz]T， 則量測矩陣表示為

(17)

5 七位置轉位方案設計

研究表明，當IMU旋轉時轉到特定位置可能會激勵IMU的誤差[15]。對此，本文提出了一種七位置標定方法。標定過程是按照表2的順序依次旋轉IMU到相應位置，初始東北天采集30 s數據，然后在每個位置IMU應該保持靜止40 s，總采集時間為270 s。

表2 七位置轉位方案設計

七位置旋轉標定方法原理如圖1所示，該方法設計用于雙軸旋轉慣導上的IMU標定，通過不斷繞其旋轉軸到達相應位置，采集相應位置下的陀螺和加速度計增量數據，帶入慣性導航解算程序得到速度誤差和姿態誤差，將速度誤差和姿態誤差帶入卡爾曼濾波程序，不斷調整R、Q陣的值，直到得到符合預先設定的陀螺和加速度計的誤差值。規定逆時針轉動為正，順時針轉動為負，其中旋轉順序為1位置繞y軸轉動+180°到2位置，2位置繞y軸轉動+90°到3位置，以此類推共轉動6次，得到七位置的靜態數據。

圖1 七位置轉位方案

6 仿真結果與誤差分析

本文主要從理論上分析了旋轉慣導中陀螺和加速度計的標定方法，對慣測組件標定方法的驗證主要通過仿真實現，通過計算機搭建仿真環境，仿真程序由4部分組成，分別是模擬數據部分、初始對準部分、慣性導航解算部分和卡爾曼濾波處理部分。

初始對準程序采用雙矢量定姿方法，以當地重力加速度和地球的自轉角速度為基準進行解析粗對準，姿態矩陣滿足式(18)，并對得到的對準矩陣進行歸一化處理

(18)

慣性導航解算程序以指北方位平臺慣導程序為基礎，當地地理系和導航坐標系重合，通過角增量法處理微分方程，利用3階龍格庫塔和四元數進行姿態更新的解算，利用模擬的角增量和速度增量數據得到每一個時刻載體的姿態、速度、和位置并記錄，導航更新周期設為2.5 ms。導航最終結果為緯度39.9159°，經度116.3467°，俯仰角0.0065°，橫滾角0.0036°，偏航角0.0039°，東向速度1.6997 m/s2，北向速度1.8417 m/s2，天向速度1.7163 m/s2。模擬卡爾曼濾波的原理式(4)中有詳細說明，將卡爾曼濾波的濾波周期設為25 ms。

加速度計和陀螺在卡爾曼濾波器中的誤差系數估計的仿真結果如圖2～圖7所示，可以看出狀態矢量經過濾波后收斂到估計值，且估計值和初始設定值相差不大。

圖2 加速度計零偏誤差仿真估計過程

圖3 加速度計標度因數誤差仿真估計過程

圖4 加速度計安裝誤差仿真估計過程

將仿真得到的估計數據和設定值比較驗證仿真方法的可行性，數據記錄見表3。

圖5 陀螺零偏誤差仿真估計過程

圖6 陀螺標度因數誤差仿真估計過程

圖7 陀螺安裝誤差仿真估計過程

表3 估計結果和設置值數據記錄

將數據整理見表3，其中加速度計三軸零偏誤差與仿真設定值相差最大2.793 66 mg，加速度計3個標度因數誤差與仿真設定值相差最大2.495 85×10-5，加速度計3個安裝誤差與仿真設定值相差最大0.517 91角秒，陀螺三軸零偏誤差與仿真設定值相差最大0.152 33°/h，陀螺3個標度因數誤差與仿真設定值相差最大2.638 99×10-5，陀螺6個安裝誤差與仿真設定值相差最大1.254 41角秒；在相同模擬條件下，系統標定結果與傳統標定結果基本一致，但傳統的標定方法依賴于高精度轉臺提供轉速信息。為了更透徹地演示標定方法，對仿真程序進行了10次重復，以不同的仿真參數組合，得到標定結果，與設置誤差值進行比對，相對誤差不超過200%，結果表明，標定結果的相對誤差較小，保證了該方法的穩定性。因此，本文提出的七位置系統級標定方法對IMU進行精確校準是可行的。

7 結束語

本文從理論分析和仿真實驗的角度出發，提出了一種利用旋轉慣導系統中的低精度雙軸轉臺對慣性測量器件進行現場標定的七位置系統級標定的方法，該方法通過簡單合理且充分的轉位方案和靜態位置數據的模擬采集，有效激勵出慣性測量組件的各類誤差，分析并提出了具有約束條件的陀螺和加速度計誤差模型，利用導航速度和姿態誤差作為觀測量，通過高維卡爾曼濾波全面辨識出陀螺和加速度計的誤差參數，通過計算機仿真可以得到估計零偏誤差的絕對誤差不超過3 mg和0.2 °/h，估計標度因數誤差的絕對誤差不超過2.7×10-5，估計安裝誤差的絕對誤差不超過1.3角秒，辨識參數精度較高。且系統級標定方法不依賴于分立式標定使用的實驗室轉臺精度，有效減少了標定時間和標定步驟，也降低了標定慣性器件的實驗成本，對中低精度的旋轉調制捷聯慣測系統級標定的工程研究具有一定的工程應用價值。接下來還需要的研究方向有加速度計的二次項誤差參數和桿臂誤差的標定和補償，有望在卡爾曼濾波方法中進行原理上的擴維，設計轉位方案更加充分地激勵相關誤差，將更多的誤差參數一起準確地利用系統級標定方法標定出來。