例講初中數學一次函數與幾何綜合問題

熊 嬌 蔡顯富

? 西華師范大學數學與信息學院 ? 南充職業技術學院附屬中學

函數與幾何綜合問題中常見的轉化方式有:(1)借助表達式設出點的坐標,將點的坐標轉化為橫平豎直線段的長,結合幾何特征利用線段長列方程.(2)研究幾何特征,考慮線段間關系,通過設線段長進而表示點的坐標,將點的坐標代入函數表達式列方程.(3)表示線段長——橫平線段長,橫坐標相減,右減左;豎直線段長,縱坐標相減,上減下.

一次函數題型通常具有代數和幾何雙重特性,所以在解決一次函數與幾何綜合問題時,可以從如下解題技巧來破解:數形結合記心頭,大題小做來轉化,潛在條件不能忘,化動為靜多畫圖,分類討論要嚴密,方程函數是工具,計算推理要嚴謹,創新品質得提高.做不出,找相似,有相似,用相似;構造定理所需的圖形或基本圖形.

1 一次函數與面積問題

一次函數中的面積問題可分為規則圖形與不規則圖形兩種.規則圖形的面積可直接用面積公式,先求點的坐標,得線段長度,再運用面積公式;不規則圖形的面積求解過程大體與規則圖形的面積相同,但其沒有直接的面積公式,可用“小塊拼接”或“大塊減小塊”的圖形拼接法來簡化計算.

(1)如圖1,求△ABO的面積;

圖1

(2)如圖2,C為線段OB上的一動點(點C不與點O,B重合),作CD平行于y軸交直線l2于點D,過點C向y軸作垂線,垂足為E.若四邊形DECB的面積為120,求點C的坐標.

圖2

解：(1)在y=-x+24中,令x=0,則y=24,所以A(0,24).

由CD平行于y軸,得D(a,-a+24).

2 一次函數與線段最值問題

將軍飲馬問題實質是線段最值問題,往往是利用兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊來求解,關鍵是找點關于直線的對稱點實現“折”轉“直”,轉化為幾何問題.案例如下:

已知點A,B在直線l的同側,在l上找出一點P,使PA+PB最小.

解決方案為:①如圖3,找A關于l的對稱點A′;②連接A′B,與l交于點P;③PA+PB即為最短路徑.具體解決原理見表1.

表1 將軍飲馬問題的解決原理

圖3

一般來說,一次函數中“飲馬”問題的解題方法是仿照案例作圖,結合一次函數、三角形等知識求解.

例2如圖4,直線AB:y=x+1與直線CD:y=-2x+4交于點E.

圖4

(1)求點E的坐標;

(2)在x軸上找一點F,使得FB+FE最小,并求OF的長.

故E(1,2).

(2)如圖5,作點B關于x軸的對稱點B1,連接B1E交于x軸于點F,此時FB+FE的值最小.

圖5

在y=x+1中,令x=0,得y=1,所以B(0,1),B1(0,-1).

設直線B1E的解析式為y=kx+b(k≠0),則有

圖6

解析：如圖7,分別作點P關于OA,OB的對稱點C,D,連接CD分別交OA,OB于點M,N,連接OC,OD.利用軸對稱的性質可得MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC.所以利用兩點間線段最短判斷此時△PMN周長最小,作OH⊥CD于點H,則CH=DH,計算出CD即可.

3 一次函數與多邊形圖形存在性問題

3.1 一次函數與特殊三角形存在性問題

特殊三角形主要有等腰三角形和直角三角形.此類存在性問題一般有多種情況,作圖之后要注意三角形是否存在以及是否有重合點.對于等腰三角形的存在性問題,常用知識點有尺規作弧、垂直平分線的性質(垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等);其解題方法口訣為:等腰三角存在性,兩圓加一中垂線,記得去掉共線點.而直角三角形的存在性問題常用知識點有切線的性質(圓的切線垂直于過切點的半徑)、圓周角定理(直徑所對的圓周角為90°);其解題方法口訣為:直角三角存在性,一圓加上兩垂線,構造思想的坐標.

3.2 一次函數與特殊四邊形存在性問題

特殊四邊形主要有平行四邊形、矩形、菱形、正方形.此類存在性問題重在利用四邊形的性質,再結合三角形、函數的知識求解.

(1)平行四邊形的存在性口訣:平行四邊存在性,對邊平行且相等,等量關系里面有.常通過平行四邊形性質得到對邊的位置關系與數量關系.

(2)矩形的存在性口訣:矩形直角存在性,一圓加上兩垂線,勾股方程加全等.矩形由兩個全等的直角三角形組成,可參考直角三角形的存在性問題.

(3)菱形的存在性口訣:菱形等腰存在性,兩圓加一中垂線,記得去掉共線點,等量關系鄰邊找.菱形由兩個全等的等腰三角形組成,可參考等腰三角形的存在性問題.

(4)正方形的存在性口訣:等腰直角正方形,鄰邊相等加直角,一線三垂找直角.正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形,可綜合以上三點解題.

例4如圖8,在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx+4(k≠0)與y軸交于點A.

圖8

(1)若y=-2x+1與直線y=kx+4(k≠0)交于點B的橫坐標為-1.

①求點B的坐標及k的值;

②直線y=-2x+1,直線y=kx+4(k≠0)與y軸所圍成的△ABC的面積等于多少?

(2)在(1)的條件下,直線y=kx+4(k≠0)與x軸交于點E,在x軸上是否存在點F,使得△AEF是以AE為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出點F的坐標.

解：(1)①在y=-2x+1中,令x=-1,得y=3,所以B(-1,3).

把B(-1,3)代入y=kx+4,得k=1,所以y=x+4.

故點B的坐標是(-1,3),k的值為1.

②由題意,得A(0,4),C(0,1),則AC=4-1=3.

(2)由(1)得E(-4,0).而A(0,4),所以AE2=32.

設F(m,0),則EF2=(m+4)2,AF2=m2+16.

若AE,AF為腰,則m2+16=32,解得m=4或m=-4(與點E重合,舍去),所以F(4,0).

4 一次函數與幾何的動態綜合問題

解決動態問題的一般思路是化動為靜,以靜制動.“化動為靜”中幾何法的基本思路與“以靜制動”中代數法的基本思路分別如表2和表3所示.

表2 化動為靜——幾何法基本思路

表3 以靜制動——代數法基本思路

例5如圖9,已知一次函數y=2x+2與坐標軸分別交于A,B兩點,點C從點A出發向x軸正方向以1單位/s的速度運動,時間為t(t≥0)(單位:s).當t為何值時,△ABC為直角三角形?

圖9

解：以靜制動——代數法.

由題意可知,AC=t,點C的坐標為(-1+t,0).

所以AC2=t2,AB2=OA2+OB2=5,BC2=t2-2t+5.

(1)若∠ACB=90°,則BC2+AC2=AB2,解得t=1,符合題意.

(2)若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2,解得t=5,符合題意.

綜上,t為1 s或5 s時,△ABC為直角三角形.

由于函數知識與幾何知識有機結合的綜合題的形式靈活、立意新穎,能更好地考查學生的思維水平和數學思想方法,因此,要解決幾何圖形中的函數問題,需要注意數形結合和分類討論的數學思想,還要熟練掌握各類函數的基本性質及其圖形特征,以及幾何圖形中的等式關系和相關性質.Z