3URS-PPPS并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析及仿真

王愛芳，劉秀蓮，宋勝偉，楊晨升

（1.黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022； 2.湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造與電梯學(xué)院，浙江 湖州 313000）

并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)是根據(jù)外界環(huán)境變化進(jìn)行自我重組的新型機(jī)構(gòu)，具有并聯(lián)機(jī)構(gòu)和變胞機(jī)構(gòu)的雙重優(yōu)勢。與傳統(tǒng)定自由度和定拓?fù)洳⒙?lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)在連續(xù)運(yùn)行時(shí)，可改變其有效構(gòu)件特性、運(yùn)動副特性和軸線方位配置，主動控制拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和自由度變化，具有多功能、多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和多自由度這3 個(gè)顯著的特征。甘東明等［1］基于螺旋理論，推導(dǎo)了變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的統(tǒng)一運(yùn)動學(xué)逆解方程和完整雅克比矩陣，完成了并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。賈璞等［2］提出3（Ra）PS 變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)，研究了基于變胞鉸鏈Ra的新型3（Ra）PS變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)特性和統(tǒng)一運(yùn)動學(xué)分析方法。劉秀蓮［3］提出3URS-PPPS 并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)，研究其構(gòu)型和性能。羅建國等［4-5］提出具有3 自由度的3-RRR 低耦合度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過Matlab 對機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)進(jìn)行仿真分析，獲得該機(jī)構(gòu)的速度及加速度曲線。苗國華等［6］提出一種新型的并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，并對其2 個(gè)構(gòu)態(tài)展開運(yùn)動學(xué)分析。馬琨等［7-8］提出2-PrRSPR（P）S 并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，采用封閉矢量法和幾何約束關(guān)系，建立機(jī)構(gòu)位姿正解和逆解模型。并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)位姿正解和逆解是研究并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)的重點(diǎn)，也是機(jī)構(gòu)工作空間分析和誤差分析的基礎(chǔ)。本文對3URS-PPPS 并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)建立了統(tǒng)一的位姿模型，采用Matlab 進(jìn)行數(shù)值分析，同時(shí)利用ADAMS 仿真，進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證了運(yùn)動學(xué)方程的正確性。

1 3URS-PPPS 并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)組成

3URS-PPPS 并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)是由可調(diào)機(jī)架、靜平臺和動平臺、3 個(gè)完全相同的URS 無約束支鏈及1 個(gè)PPPS 變胞支鏈組成。URS 支鏈的機(jī)械結(jié)構(gòu)有驅(qū)動單元、第1 胡克鉸U、主動直連桿、第2 轉(zhuǎn)動副R、從動直連桿和第3 等效球副S（匯交軸線），按照靜平臺至動平臺串行連接構(gòu)成。PPPS變胞支鏈?zhǔn)怯?個(gè)空間正交的移動副P和第4等效球副S（匯交軸線）組成，仍按照靜平臺至動平臺串行連接構(gòu)成。3URS-PPPS 并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)在工作時(shí)有2 個(gè)構(gòu)態(tài)、3個(gè)平動的3T 構(gòu)型和5 自由度的3T2R 構(gòu)型。由3URS-PPPS 支鏈構(gòu)成的并聯(lián)變胞構(gòu)型在構(gòu)態(tài)1 和構(gòu)態(tài)2中的約束結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PPPS型復(fù)雜曲面并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)Fig.1 PPPS complex surface parallel metamorphic cutting machine

2 并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)的統(tǒng)一位姿解析建模

為構(gòu)建變胞機(jī)構(gòu)在不同源/子構(gòu)態(tài)構(gòu)型下統(tǒng)一位姿解析模型，設(shè)置初始位形和結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。其中，靜動平臺的圓周半徑分別為R和r，連接運(yùn)動副呈120°對稱分布。在分支Ak、Bk和Ck中，構(gòu)件尺度參數(shù)以p1、p2、p3和p4表示，在分支A4、B4、C4和D4中，尺度參數(shù)以l1，l2，…，l6表示。

圖2 3URS-PPPS 型并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)的初始位形和結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.2 Initial configuration of parallel metamorphic cutting mechanism

考慮到3T構(gòu)型和3T2R構(gòu)型都能采用變胞源構(gòu)態(tài)的3T3R構(gòu)型簡化描述，因此完整設(shè)置動平臺的6個(gè)位姿參數(shù)是動坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量［x，y，z］T，姿態(tài)參數(shù)是ZYX形式的3 個(gè)歐拉角[α，β，γ]。此時(shí)采用先平移后旋轉(zhuǎn)的方式，動坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系的變換模型表達(dá)式如下：

式中：T為平移；R為旋轉(zhuǎn)。

對于URS 分支，靜平臺上連接點(diǎn)A10、A20、A30，第1 胡克鉸的中心點(diǎn)A1、A2、A3，動平臺上連接點(diǎn)C10、C20、C30，以及球鉸中心點(diǎn)C1、C2、C3的位置矢量都可以表示出來。

對于PPPS 分支，動平臺上連接點(diǎn)o以及球鉸中心點(diǎn)D4的位置矢量同理可以表示。

根據(jù)并聯(lián)構(gòu)型的一般變換關(guān)系，首先對其進(jìn)行位姿逆解建模，轉(zhuǎn)換為給定動平臺的位姿參數(shù)x、y、z、α、β、γ，確定驅(qū)動關(guān)節(jié)的角位移量θ11、θ21、θ31、θ44、θ45、θ46。

通過觀察分支Ak、Bk、Ck（k=1，2，3）的幾何結(jié)構(gòu)，構(gòu)建約束方程如下：

式中：θ11、θ21、θ31為第1 轉(zhuǎn)動副的角位移量，，初始值固定為零；θ12、θ22、θ32為第2 轉(zhuǎn)動副的角位移量，取值范圍也是，初始值表示為θ12，0、θ22，0、θ32，0。

利用式（5）、式（6）可確定3 個(gè)URS 分支中的驅(qū)動輸入量。再觀察分支A4、B4、C4、D4的幾何結(jié)構(gòu)，構(gòu)建出約束方程為

式中：θ44、θ45、θ46分別是第4、第5 和第6 轉(zhuǎn)動副的角位移量，初值都為零，取值范圍給定為分別是第4、第5 和第6 轉(zhuǎn)動副的單位運(yùn)動螺旋。

通過式（7）、式（8）可確定PPPS 分支中的驅(qū)動輸入量。由2 組位姿逆解模型可知，所建并聯(lián)變胞構(gòu)型具有較好的運(yùn)動解耦性。無論是變胞源構(gòu)態(tài)的6 自由度構(gòu)型，還是3T（3T2R）構(gòu)型，根據(jù)動平臺的實(shí)際姿態(tài)參數(shù)都能夠直接獲得恰約束/主動約束變胞分支中的驅(qū)動輸入量θ44、θ45、θ46，再附加位姿參數(shù)即可獲得無約束分支中的驅(qū)動輸入量θ11、θ21、θ31。

基于并聯(lián)構(gòu)型的位姿超越方程，對其進(jìn)行位姿正解建模，將其轉(zhuǎn)換為給定驅(qū)動關(guān)節(jié)的主動輸入量θ11、θ21、θ31、θ44、θ45、θ46，確定動平臺的位姿參數(shù)x、y、z、α、β、γ。

利用所建機(jī)構(gòu)的運(yùn)動解耦性，由式（7）、式（8）可得變胞源/子構(gòu)態(tài)的姿態(tài)參數(shù)統(tǒng)一正解模型，表達(dá)式如下：

在3T3R 構(gòu)型下，主動輸入量θ44、θ45、θ46直接對應(yīng)著動平臺姿態(tài)α、β、γ；在3T 構(gòu)型下，主動輸入θ44、θ45、θ46都鎖定為常值（一般為0），動平臺也不具有姿態(tài)變化；在3T2R 構(gòu)型下，主動輸入θ46鎖定為常值，保留2 個(gè)輸入量θ44、θ45，動平臺也僅具有α、β方向的運(yùn)動。

根據(jù)所建構(gòu)型的結(jié)構(gòu)組成，當(dāng)主動輸入θ44、θ45、θ46給定后，動平臺的姿態(tài)α、β、γ是固定參數(shù)，與θ11、θ21、θ31無關(guān)。此時(shí)由式（2）～式（6）可得變胞源/子構(gòu)態(tài)的位姿參數(shù)統(tǒng)一正解模型，表達(dá)式如下：

式中：g1、g2、g3為中間變量。

在3T 和3T2R 構(gòu)態(tài)中，位姿解析表達(dá)式不變，僅需適當(dāng)?shù)匦拚虚g變量g1、g2、g3。

3 數(shù)值計(jì)算與實(shí)體仿真對比分析

為了使位姿解析仿真具有明確的物理意義，在模擬火焰切割加工時(shí)給定末端動平臺的期望運(yùn)動軌跡。以所建位姿解析統(tǒng)一模型為基礎(chǔ)，設(shè)置復(fù)雜曲面并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，見表1，對Matlab數(shù)值計(jì)算與Adams實(shí)體仿真進(jìn)行對比分析。

表1 復(fù)雜曲面并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of parallel cellular cutting mechanism with complex curved surface

根據(jù)Matlab 數(shù)值計(jì)算得出位姿逆解模型對應(yīng)的主動輸入變化規(guī)律如圖3 所示。由圖3 可知，將主動輸入變量離散參數(shù)分別代入位姿正解模型，可得對應(yīng)的動平臺輸出參數(shù)，如圖4所示。

圖3 位姿逆解模型對應(yīng)的主動輸入變化規(guī)律Fig.3 The change law of active input corresponding to the inverse model of pose

圖4 位姿正解模型對應(yīng)的動平臺輸出參數(shù)Fig.4 The output parameters of the moving platform corresponding to the forward displacement model

在ADAMS 實(shí)體仿真過程中，采用相同的輸入?yún)?shù)，得到位姿輸出結(jié)果，如圖5所示。

圖5 實(shí)體仿真模型對應(yīng)的動平臺輸出參數(shù)Fig.5 The output parameters of the moving platform corresponding to the entity simulation model

進(jìn)一步對比數(shù)值計(jì)算和實(shí)體仿真結(jié)果，見表2。

表2 數(shù)值計(jì)算和實(shí)體仿真分析的誤差對比結(jié)果Tab.2 Error comparison results of numerical and solid simulation analysis

通過圖3中曲線變化趨勢和表2中相對誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，在整周期運(yùn)行時(shí)的位置參數(shù)中，最大相對誤差小于0.003；姿態(tài)參數(shù)不存在運(yùn)動誤差，數(shù)值計(jì)算與實(shí)體仿真結(jié)果基本一致。

4 結(jié)論

（1） 介紹3URS-PPPS 型并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及構(gòu)態(tài)，構(gòu)建了3URS-PPPS 型并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)在不同源/子構(gòu)態(tài)構(gòu)型下的統(tǒng)一位姿解析模型。

（2） 由數(shù)值計(jì)算和實(shí)體仿真結(jié)果對比結(jié)果可得：所建統(tǒng)一位姿解析模型是正確有效的，并展現(xiàn)了并聯(lián)變胞切割機(jī)構(gòu)的運(yùn)動解耦保持性與多構(gòu)態(tài)連續(xù)運(yùn)動能力。