考慮安裝誤差6σ穩(wěn)健設(shè)計的減速器改進齒面接觸分析

徐作棟，董月清，陽小勇

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300222； 2.湖南三一工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院，湖南 長沙 410129；3.洛陽有色金屬加工設(shè)計研究院 技術(shù)部，河南 洛陽 471039； 4.湖南大學(xué) 機械工程與運載學(xué)院，湖南 長沙 410008）

錐齒輪在實際使用中，存在著安裝尺寸誤差并發(fā)生變形的情況［1-2］。錐齒輪在運轉(zhuǎn)時，由于存在一定安裝誤差，一方面會引起齒輪齒面發(fā)生接觸性能的變化，導(dǎo)致齒面接觸印痕偏離理想條件；另一方面還會形成波動幅度較大的傳動誤差曲線，使齒輪副傳動狀態(tài)不穩(wěn)定，出現(xiàn)振動、沖擊的情況，齒輪副無法正常運轉(zhuǎn)，使齒輪系統(tǒng)的可靠性下降［3-5］。從當(dāng)前錐齒輪的加工成本與制造技術(shù)水平層面考慮，如要進一步提升齒面平整度與安裝精度將會引起成本的明顯升高，并不能實現(xiàn)整體經(jīng)濟效益的提升［6］。由此可見，為降低齒輪的安裝偏差，促進整體系統(tǒng)穩(wěn)定性的提升，需要進一步改善嚙合特性，這也是優(yōu)化錐齒輪齒面的重要措施。

Baxter［7］構(gòu)建了4×2的矩陣用于分析安裝誤差引起的二階嚙合效果變化，計算時通過差分方法取代求導(dǎo)過程。Litvin 等［8］主要測試了不同錯位條件下錐齒輪發(fā)生齒面接觸整體的變化，同時探討了安裝誤差造成的傳動誤差差異。蔡香偉等［9］通過運用解析計算的方式研究了安裝誤差引起的齒面嚙合性能變化，同時重點分析了敏感度矩陣和V/H 檢驗的相互影響。根據(jù)以上研究結(jié)果，吳訓(xùn)成［10］通過顯示模式推導(dǎo)得到接觸點在公切面中沿垂直方向形成的安裝誤差敏感度，同時建立了計算公式來實現(xiàn)齒面主動設(shè)計。唐進元等［11］分別測試了不同預(yù)設(shè)點的安裝誤差靈敏性，重新調(diào)整了預(yù)定錐齒輪主動設(shè)計模式，得到最優(yōu)預(yù)設(shè)初始點位置參數(shù)，使誤差靈敏度系數(shù)明顯減??；蘇進展［12］對差曲面進行全曲率優(yōu)化調(diào)整，從而在安裝錐齒輪時獲得更優(yōu)的誤差敏感度，通過優(yōu)化計算確定了可以降低安裝誤差敏感度的參數(shù)，采用量化算法確定了齒面印痕參數(shù)，測試了不同安裝誤差下發(fā)生的印痕參數(shù)變化規(guī)律，針對上述各項參數(shù)構(gòu)建了敏感度矩陣，并利用仿真模型進行了驗證，對小輪加工過程的各項參數(shù)優(yōu)化處理得到具有穩(wěn)定參數(shù)的印痕齒面。

本文借鑒前期關(guān)于齒輪安裝誤差與印痕量化的研究成果，在分析安裝誤差基礎(chǔ)上根據(jù)印痕特性與6σ穩(wěn)健優(yōu)化的方法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過Monte Carlo 算法完成抽樣，采用多島遺傳算法實現(xiàn)二階接觸參數(shù)優(yōu)化并調(diào)整安裝誤差。對比了本文提出的優(yōu)化方法和確定性優(yōu)化方法差異性，表明采用本文設(shè)計的穩(wěn)健性方法滿足可靠性要求。

1 考慮安裝誤差的承載接觸模型

錐齒輪發(fā)生嚙合的過程中，齒面在嚙入與嚙出期間一直保持相切的狀態(tài)，通過齒輪接觸分析（load tooth contact analysis，TCA）實現(xiàn)錐齒輪副接觸過程的仿真分析。加入安裝誤差向量E作為影響因素的條件下采用局部綜合法進行分析，對齒面加工參數(shù)進行設(shè)計優(yōu)化得到TCA［13］表達(dá)式如下：

式中：E為系統(tǒng)的安裝誤差向量；sp、sg、θp、θg、?r1、?r2為輪曲面結(jié)構(gòu)參數(shù)。

TCA未考慮載荷因素造成的影響，以加載齒輪接觸分析（load tooth contact analysis， LTCA）開展分析，得到以下的方程：

式中：F為大小n×n的柔度矩陣；p為載荷矢量；w為間距矢量；Θ為在輪齒彈性變形階段產(chǎn)生的大輪轉(zhuǎn)角；r1為小輪接觸點回轉(zhuǎn)半徑矢量；r2為大輪接觸點回轉(zhuǎn)半徑矢量；d為發(fā)生n維變形時得到的間距矢量；T1為小輪輸入扭矩。當(dāng)p≥0，d取值0；當(dāng)p＜0 時，d取值大于0，d取值為1，2，…，n，n為嚙合位置可能發(fā)生接觸的離散點數(shù)量。

LTCA 中包含TCA 算法結(jié)果，以式（2）進行計算時，存在安裝誤差的情況下進行LTCA 計算時，對間距向量與回轉(zhuǎn)半徑矢量實施坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到安裝誤差加載齒輪接觸分析（installation error load tooth contact analysis，IELTCA）計算式：

2 考慮安裝誤差的6σ穩(wěn)健設(shè)計

2.1 6σ穩(wěn)健設(shè)計理論

設(shè)計產(chǎn)品組成結(jié)構(gòu)及對其進行使用測試時，設(shè)計方式與各項影響因素的改變都會反映到產(chǎn)品質(zhì)量的變化層面，可以將上述變量分成確定性和不確定性2 種類型［14］。齒輪系統(tǒng)安裝過程中產(chǎn)生的誤差屬于不確定變量。6σ穩(wěn)健優(yōu)化方法屬于一項統(tǒng)計學(xué)方法，初始設(shè)計階段可以先建立齒輪安裝誤差概率模型進行嚙合質(zhì)量分析，根據(jù)6σ分析的方法判斷各個隨機變量引起的嚙合性能變化，由此確定符合嚙合特性與可靠性的最佳解。按照6σ穩(wěn)健方法進行優(yōu)化設(shè)計的具體過程是先在某一設(shè)計點設(shè)置隨機擾動信號，再通過算法獲得靠近均值點的樣本數(shù)據(jù)，從而評價此方案可靠度與穩(wěn)健性。以6σ穩(wěn)健優(yōu)化方法和確定性優(yōu)化方法進行差異對比的結(jié)果［15-16］如圖6 所示。根據(jù)如下模型計算式進行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計：

式中：X1=［x1，…，xi，…，xn］屬于隨機變量；y為輸出響應(yīng)；μy、μxi為設(shè)計變量；σy、σxi為輸出響應(yīng)方差；xui、xli依次對應(yīng)隨機設(shè)計變量xi上限與下限；n為σ水平，在n取值6的情況下，得到6σ穩(wěn)健模型。

與確定性方法進行比較可知，6σ穩(wěn)健設(shè)計方法可以在遠(yuǎn)離約束邊界條件下得到可靠性優(yōu)化解。建立目標(biāo)函數(shù)f（x），當(dāng)隨機變量波動幅度為±Δx1時，目標(biāo)函數(shù)形成了±Δf1的大幅波動，位于穩(wěn)健設(shè)計點處；隨機變量波動為±Δx2時，目標(biāo)函數(shù)形成了±Δf2的小幅波動，有效抑制穩(wěn)定性解失效率并減小波動區(qū)間，結(jié)果如圖1所示［16］。

圖1 穩(wěn)健性優(yōu)化模型Fig.1 Robust optimization model

2.2 基于IELTCA優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

本文以錐齒輪副含安裝誤差作為依據(jù)進行承載接觸分析（IELTCA），同時優(yōu)化了齒面接觸印痕中心當(dāng)量，通過齒面印痕特征當(dāng)量確定約束表達(dá)式，獲得下述安裝誤差齒面6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型［16］：

式中：η為接觸軌跡和齒根之間形成的夾角；m'0為傳動比一階導(dǎo)數(shù)；δ為接觸區(qū)域長半軸與齒寬之比；Hp為小輪軸向位移；Hg為大輪軸向位移；L為大小輪軸線位移；α為大小輪軸線偏角。

目標(biāo)函數(shù)如下：

式中：W1、W2為權(quán)重系數(shù)；S1、S2為對目標(biāo)均值和標(biāo)準(zhǔn)差進行歸一化的系數(shù)；μg、σg分別為印痕中心位置當(dāng)量值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；E0為期望目標(biāo)值。

約束條件如下：

式中：S'、d'、e'屬于印痕范圍、方向與傳動精度誤差當(dāng)量；μxi、σxi為xi均值和標(biāo)準(zhǔn)差；xmin、xmax為變量上、下限。

安裝誤差邊界設(shè)置見表1，接觸邊界設(shè)置見表2。

表1 安裝誤差邊界設(shè)置Tab.1 Installation error boundary setting

表2 接觸邊界設(shè)置Tab.2 Contact boundary settings

由式（5）和式（6）可知，利用6σ穩(wěn)健優(yōu)化方法得到的目標(biāo)函數(shù)存在如下2個方面的特征：① 位于印痕中心區(qū)域的當(dāng)量值符合平均性能目標(biāo)，達(dá)到了最低均值。② 發(fā)生安裝誤差波動的情況下，獲得與動性能目標(biāo)相符的輸出響應(yīng)結(jié)果，此時達(dá)到最低標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)約束條件考慮印痕常規(guī)特征與接觸區(qū)間形成傳動誤差變化。采用6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型進行分析時可以確保方案滿足適用性，并在錐齒輪傳動階段獲得穩(wěn)定的安裝誤差。6σ穩(wěn)健優(yōu)化的具體流程［16］如圖2所示。

圖2 考慮安裝誤差的6σ穩(wěn)健優(yōu)化流程Fig.2 6σ robust optimization flow chart based on installation error

3 算例

本次選擇WPLF040型錐齒輪傳動過程開展6σ穩(wěn)健優(yōu)化處理，齒輪的各項基本參數(shù)見表3，初始二階接觸參數(shù)見表4。安裝誤差呈現(xiàn)隨機正態(tài)分布的特點，以標(biāo)準(zhǔn)差值作為極限值；二階接觸參數(shù)都呈現(xiàn)均勻分布的狀態(tài)，結(jié)果見表5 和表6。通過敏感度系數(shù)優(yōu)化確定性，再根據(jù)DFSS 分析方法，計算多目標(biāo)優(yōu)化的線性加權(quán)均值。

表3 齒輪基本參數(shù)Tab.3 Basic parameters of round blanks

表4 初始接觸參數(shù)Tab.4 Initial contact parameters

表5 印痕特征響應(yīng)結(jié)果Tab.5 Results of characteristic response of impressions

表6 傳動誤差響應(yīng)結(jié)果Tab.6 Transmission error response results

設(shè)定相同的初值，并保持確定性優(yōu)化結(jié)果和穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果處于同樣的安裝誤差條件下，便于對結(jié)果進行比較。按照6σ方法開展分析，對正態(tài)隨機安裝誤差進行優(yōu)化得到二階接觸參數(shù)，通過Monte Carlo抽樣的方式完成3種結(jié)果的100次隨機抽樣，再對包含安裝誤差的齒面接觸印痕實施IELTCA計算。表5與表6給出了各項參數(shù)計算結(jié)果。

通過分析3 種方案安裝誤差隨機抽樣響應(yīng)數(shù)據(jù)可知，沒有經(jīng)過優(yōu)化的最初參數(shù)受到安裝誤差的影響較大，發(fā)生了印痕中心位移的大幅波動，形成了2.43σ的傳動誤差，未達(dá)到穩(wěn)健性約束的狀態(tài)，存在失效的問題。通過確定性優(yōu)化后促進了安裝誤差穩(wěn)健性的提升，傳動誤差為3.52σ，可靠度超過99.9%，此時形成了波動較大的印痕中心，因此并未形成優(yōu)化邊界，存在一定缺陷；6σ穩(wěn)健優(yōu)化過程有助于印痕特征形成更穩(wěn)定的安裝誤差，傳動誤差為達(dá)到8σ水平，同時可靠度超過99.993 7%，波動區(qū)間都未超過優(yōu)化邊界，并實現(xiàn)了印痕中心波動程度的大幅減小，獲得了穩(wěn)定性更高的齒輪系統(tǒng)。

為了比較各方案的控制性能，根據(jù)IELTCA 分析接觸印痕與傳動誤差變化曲線。齒輪傳動特性對比如圖3 所示。由圖3 可知，處于不同的二階接觸參數(shù)下對應(yīng)的印痕特征也存在顯著差異，顯著改善了各安裝誤差下的傳動誤差。由于6σ穩(wěn)健設(shè)計傳動誤差波動相對確定性優(yōu)化方法減小了30%，由此推斷6σ穩(wěn)健設(shè)計具備更優(yōu)可行性。

圖3 齒輪傳動特性對比Fig. 3 Comparison of gear transmission characteristics

5 結(jié)論

（1） 6σ穩(wěn)健優(yōu)化過程有助于印痕特征形成更穩(wěn)定的安裝誤差，可靠度超過99.993 7%，實現(xiàn)了印痕中心波動程度的大幅減小，獲得了穩(wěn)定性更高的齒輪系統(tǒng)。

（2） 處于不同的二階接觸參數(shù)下對應(yīng)的印痕特征也存在顯著差異，顯著改善了各安裝誤差下傳動誤差。6σ穩(wěn)健設(shè)計方法相對確定性優(yōu)化方法，傳動誤差波動減小了30%，可行性更好。