高中物理與高中數學的協調性

關鍵詞 高中物理;高中數學;物理教學;數學應用;協調性

筆者是一名北京的高中物理教師，在十多年的教學過程中，逐漸產生了兩個切身感受：（1）高中生普遍認為物理是最難的學科，這種困難有一些是物理學科本身帶來的，也有相當程度是數學應用帶來的。（2）學生們的“數學本領”越來越弱，這個“本領”指的就是“應用數學工具解決物理問題”的能力。為什么會有這些現象呢？ 眾所周知，物理和數學是兩門聯系非常緊密的學科，數學為物理提供了精確的描述工具，而物理則為數學提供了實際的應用。但是筆者發現，高中物理和高中數學之間的聯系已經開始有些“割裂”了。

1 高中物理對數學應用水平的要求降低

筆者舉一個最直接的例子。高考作為一個最重要的指揮棒，它的難度、它的側重點反映了對學生的要求，也是所有老師必須要認真研究的。我們先來看2009年北京高考理綜卷的物理最后一題（那時還是理化生一張卷子，即理綜卷），通常也是最難的一道題。

我們看到，上題對于學生的數學能力要求是很高的，用到的數學工具有聯立二元二次方程組，使用遞推關系，函數求極值（二次函數配方，或均值不等式）等，推導過程復雜。我們再來看2023年北京高考最后一道題。

題2：螺旋星系中有大量的恒星和星際物質，主要分布在半徑為R 的球體內，球體外僅有極少的恒星。球體內物質總質量為M ，可認為均勻分布，球體內外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周運動，恒星到星系中心的距離為r，引力常量為G。

（1） 求rgt;R 區域的恒星做勻速圓周運動的速度大小v 與r 的關系;

（2） 根據電荷均勻分布的球殼內試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達式的相似性和相關力學知識，求r≤R 區域的恒星做勻速圓周運動的速度大小v 與r 的關系;

（3） 科學家根據實測數據，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運動的速度大小v隨r 的變化關系圖像，如圖3所示，根據在rgt;R范圍內的恒星速度大小幾乎不變，科學家預言螺旋星系周圍（rgt;R）存在一種特殊物質，稱之為暗物質。暗物質與通常的物質有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求r =nR 內暗物質的質量M'。

可以明顯地看到，上題解答只有寥寥幾步，對于數學工具的使用非常簡單，沒有任何數學技巧。

事實上，以上所選的兩道高考原題具有一定的代表性。北京高考物理學科對于最后一道題的命題以2013年為一個分水嶺，前后發生了明顯的風格變化。2013年以前，最后一題總是所謂的復雜的“模型題”，假想物理情景，多研究對象，多研究過程，解答過程數學推導長，使用數學工具多。2013年及以后，風格轉變為以聯系實際題、信息題的“創新題”為主，考查的側重變為學生對于模型的建立能力，對于基本概念的理解，幾乎沒有什么數學計算量，也不使用復雜的數學工具，解題過程可以在三五步驟中結束。雖然模型題在北京高考中依然存在，常在倒數第二題的位置，但是數學計算的復雜度也遠遠不能跟2013年的前相比了，所使用的數學工具連建立方程組都已經十分罕見。

這樣的高考導向作用，使得北京的高中在平時的教學中，對于數學稍微復雜一點、要求稍微高一點的題，不講、不練;老師們在平時編制新題的時候，也不會出那種“舊風格”的題，如果數學要求高了，動輒就會被問：“你這道題是考物理還是考數學？”筆者認為，這是學生們“應用數學工具解決物理問題的能力”下降的一個重要原因。數學學科可以學得很好，但是不會在物理學科中應用。那么這種能力重要不重要呢？ 筆者認為還是十分重要的。高中物理，一項重要的任務就是為未來的各自然學科的學習奠定基礎，自然科學越到高深，數學能力的重要性就越高，這個能力的基礎在高中打不好，對未來的學習是極為不利的。

2 高中數學教學與物理教學不協調和不匹配

在這里，筆者想舉一個簡單例子來說明。

題3：如圖4所示，粗糙的水平面上有一質量為m 的物體，物體與水平面間的動摩擦因數為μ，物體受到一個大小恒定的力F，只改變力的方向，使物體向右加速運動，求加速度的最大值及此時力的方向。

問題即轉化為求當θ 取何值時，（cosθ+usinθ）最大，即為a 最大。

這是一道關于牛頓第二定律的比較基本的題，本來在高一上學期就要遇到的，因為牛頓第二定律出現在物理教材（這里的物理教材，指文獻[1]，北京地區通用，下同）必修第一冊第四章“運動和力的關系”。求極值可以用兩種數學方法：

解法1：將（cosθ +usinθ）湊出cosθcosφ +sinθsinφ 的形式，使用三角公式cosθcosφ +sinθsinφ=cos（θ-φ），就是所謂的輔助角方法。

解法2：將（cosθ+usinθ）對θ 求導，令導數為0，典型的求導求極值方法。

但遺憾的是，現在的學生高一時遇到這道題肯定是做不出來的，因為上面提到的三角公式出現在數學教材（這里的數學教材，指文獻[2]，下同）必修第三冊第八章“向量的數量積與三角恒等變換”中，單看冊數就可以知道當物理學到這里的時候，輔助角方法還遠遠學不到;至于求導的方法，就更遠了，在數學教材選擇性必修第三冊，是全部高中數學課程的最后一部分。這就體現了一個重要的問題——高中數學教學與物理教學在教學安排、教學進度上的不協調。這不只關系上面那道題，其實，這個問題是廣泛存在的。綜觀高中物理主要使用的數學工具：矢量（也叫向量）——矢量的概念、加法、減法、點乘、叉乘;三角函數;平面幾何解三角形;解析幾何;立體幾何;不等式（均值不等式）;微積分初步—求導、積分，可以毫不夸張地說，幾乎每一種數學工具都是由物理老師首先傳授的。舉幾個實際的例子，物理教材必修第一冊，第一章“運動的描述”，第二章“勻變速直線運動的研究”，就是高一剛開始學習的內容，學生立刻就會接觸位移“矢量”的概念，在定義速度和加速度的時候，實質上就需要理解極限、導數的方法，在推導勻變速運動位移與時間關系的時候，其實就采用了積分的思想，而這些數學知識，首次出現在數學教材上分別是必修第二冊（矢量），選擇性必修第三冊（求導），而積分，高中數學則完全沒有涉及到。如果我們能更好地安排物理和數學的教學進度、教學內容，使二者更好地進行配合，對學生們理解物理概念、規律一定是非常有好處的，也可以減輕學生的負擔。

我們再回到題3，高三總復習的時候學生全部學科內容都學完了，總該會做了吧？ 理想情況是應該用求導的方法，非常簡便。對不起，大部分還是不行。原因是學生們會產生一個疑問，（cosθ+usinθ）求導，x 在哪里？ 原來，翻看數學教材，所有的函數自變量都是x，所以自變量換成其他的符號學生們就不適應了。這就反映了數學和物理不協調的第二個方面——高中數學教材和高中物理教材在符號使用上的不協調。這個問題的關鍵就是在求導符號的使用上，我們物理教材使用導數工具的時候，例如

等公式，總是寫成這種比例式的形式;而數學教材關于求導除了剛開始采用這種形式，之后馬上就用“打撇”的形式表示求導，例如f'（x）表示函數f 對x 求導，這種寫法其實很不適合在物理中使用——物理比例式的寫法其實是有明確物理意義的，包含了兩個明確的物理量，以及一個逐漸逼近、取極限的過程，而數學“打撇”的寫法失去了這些物理意義，尤為重要的是，“打撇”的寫法不能明確指出是對哪個自變量求導（因為數學教材上就總是只有x 這一個自變量），但是物理中多自變量的情況比比皆是，例如簡諧運動位移與時間關系x=Asin（ωt+φ），如果“打撇”的話那么是對誰求導呢？ 這就造成了混淆。這對于一個已經熟練掌握微積分的學生來說可能不算什么，但是對于我們剛剛接觸微積分不長時間的學生卻會造成巨大的理解障礙，這就難怪題3中沒有x 學生們就不會求導了呢。

3 結語

本文分析了學生“應用數學工具解決物理問題”的能力下降的原因，以及揭示了高中數學教學與物理教學的不協調和不匹配的現象。為了解決這些問題，筆者給出如下建議：

（1） 在北京高考試卷命題中，加大數學推導、計算的復雜度以及提高數學工具使用的比重，發揮高考的導向作用，尤其在最后一道題的命制中，可以將“模型題”和“創新題”不同年份交替輪流使用，不必拘泥于某種題型，“不拘一格用題目”，兼顧考查學生的各種物理能力。

（2） 協調數學學科和物理學科的教學安排、教學進度，使二者可以更好地匹配，力爭使“數學教在物理前”。

（3） 統一數學教材和物理教材的符號使用，降低學生們由于各教材符號不一致問題造成的物理學習困難。

（4） 在數學教材上更多的使用物理學中的例子，這樣就可以讓學生熟悉數學是怎樣在物理中應用的。

（5） 能否加大“微積分”知識在高中數學中的深度，比如“積分”的概念、方法也能有所涉及，因為高中物理中用到了，對于以后進入大學的學習是百利而無一害的。

總之，就是讓物理和數學更好地“融合”！

筆者在“首屆‘中學物理教學融合發展’學術研討會”上作了相同主題的報告。報告后，很多老師主動來跟筆者交流，贊同筆者所提及的情況及解決建議。有一位來自北京建筑大學的王俊平老師，反映她也感受到了大一新生的“數學能力”有所下降，并且指出不光是高中數學和物理教材，大學物理教材與高中物理教材也有不協調的地方（她提到關于熱力學第一定律的表述），期待在下一輪的教材改革中能更好地協調起來。關于“數學教在物理前”，在大學同樣有這個問題，同會的老師提到美國大學物理系的新生大一只學微積分，不學物理，看來這個問題并不是筆者無的放矢。