分數階微分方程初值問題解的存在性

崔亞瓊，康淑瑰，陳慧琴

(山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009)

將探討Riemann-Liouville 型分數階微分方程初值問題(IVP)

解的存在性，其中，α∈(0,1),b為非零常數。全文假設非線性項f滿足下列條件(C)f(t,0)=0,f:(0,T]×?→? 連續有界，且M=sup(t,x)∈(0,T]×?|f(t,x)|＜∞。

近年來，許多學者利用不同的理論和技巧探討了分數階微分方程初值問題解的存在性，如文獻[1-8]。其中[1-6]中，解函數定義在有限區間上，而[7-8]解函數定義在無限區間上。具體來說，在[1]中，作者利用Schauder’s 不動點定理研究了分數階微分方程初值問題

類似于文獻[6]，這里選擇恰當的完備空間，利用Banach 不動點定理和Schauder’s 不動點定理，分別給出IVP(1)唯一解和至少一個非平凡解的存在性，并給出一個相關的例子。

1 預備知識

這部分，首先介紹一些必要的分數階微積分的定義和運算性質，詳細內容可參見文獻[9]。

1.1 概念

定義1.1函數y:(a,+∞)→? 的α＞0 階Riemann-Liouville分數階積分定義為

等式右端在(a,+∞)上逐點定義。

定義1.2設α＞0 且n=[α]+1，連續 函數y:(a,+∞)→? 的α階Riemann-Liouville 分數階導數定義為

等式右端在(a,+∞)上逐點定義，其中t＞a。特別地，若α∈(0,1)，有

性質1.1若p＞0,q＞0，則

1.2 引理

下面介紹幾個必要的引理。

引 理1.1（[9，p.145，定 理3.1]）設α＞0，n=[α]+1,G是? 中的一個開子集，函數f:(a,b]×G→? 且f(t,x) ∈L(a,b),?x∈G。若函數y∈L(a,b)是下列初值問題的解

引理1.2設A是Banach 空間B 到自身的映射。若存在自然數n0，使得映射An0為一壓縮映射，則A在空間B中存在唯一的不動點。

引理1.3（[10，p.157，定理3.2]）設D是Banach空間B 的有界閉凸集，算子A:D→D全連續，則A在D中必有不動點。

利用引理1.1，有如下結論

引理1.4根據假設0 ＜α＜1 及f:(0,T]×?→?連續有界知，函數y∈L(0,T]為IVP(1)的解當且僅當

2 主要結論

2.1 定義算子

這部分，我們選取恰當的函數空間，在其上定義積分算子并驗證該算子在空間上是等度連續的。

顯然，B是完備的距離空間。

在空間B上定義算子

引理2.1設條件(C) 成立，則A:B→B 等度連續。

證一方面，由條件(C)，當0 ＜t1≤t2≤T時，對任意y∈B，有

另一方面，證t1-α(Ay)(t) ∈C[0,T]。由條件(C)，當t1=0,0 ＜t2≤T時，對任意的y∈B，有

對任意y∈B，當0 ＜t1≤t2≤T，有

因此，當t1→t2時，t11-α(Ay)(t1)→t21-α(Ay)(t2)一致成立，這表明t1-α(Ay)(t)∈C[0,T]。進一步來說，上式與y的選取無關，所以得到{Ay:y∈B}等度連續。

由引理2.1 知，A在B 中的非平凡不動點等價于IVP(1)在B中的非平凡解。

2.2 定理證明

在非線性項滿足下面兩個條件之一時，分別給出IVP(1)解的存在性定理。

定理2.1設條件(C),(C1)成立，則IVP(1)存在唯一的非平凡解。

證 由引理3.1，知A:B→B。下證存在n0∈?，使得An0:B→B 是壓縮算子。由條件(C1),對任意y1,y2∈B,t∈[0,T]，有

由歸納法，對于任意自然數n，有

定理2.2若條件(C),(C2)成立，則IVP(1)在S 中至少存在一個非平凡解。

證（i）A:S→S。由引理2.1，知A:B→B。對任意y∈S,根據條件(C2)及f(t,0)=0,有

故A:S→S 有界。由引理2.1 的證明結果知A(S)等度連續，因此A:S→S為緊算子。

（ii）A:S→S 連 續。設yn,∈S，且 ||yn-|→0(n→+∞)，即對任意t∈[0,T]，有t1-α yn(t)→t1-α(t)(n→+∞) 一致成 立。由f:(0,T]×?→? 的連續性，可以得到f(t,t1-α yn(t))→f(t,t1-α(t))(n→+∞),t∈(0,T]。事實上，類似(6)式的推理過程，有

這樣便知A:S→S連續。

既然b≠0，利用引理1.3，知A在S中至少存在一個非平凡不動點，即IVP(1)在S 中至少存在一個非平凡解。證畢。

對于這種特殊情形，可以直接在空間C[0,T]上進行研究，如文獻[1]。

注2.3對于分數階微分方程初值問題（IVP）

若0 ＜α＜1,b為常數，f:(0,T]×?→? 連續有界。則IVP(8)）等價的Volterra 積分方程亦為(4)式。這樣定理2.1和2.2對于IVP(8)也是實用的。

2.3 例子

下面給出一個具體的例子

例考察分數階初值問題（IVP）

3 結語