追求理性的數學教育
——解讀《理想國》的數學教育思想

韋 旭 朱 雁

(華東師范大學教師教育學院 200062)

柏拉圖是一名數學哲學家[1],同時也是一名數學教育家,他將自己的數學教育思想充分貫徹在他創辦的柏拉圖學院中,培養出了多位數學家,例如證明了只存在五種正多面體的泰特圖斯(Theaetetus)、創立嚴謹窮竭法的歐達克斯(Eudoxus)、《幾何原本》的作者歐幾里得(Euclid)……[2]柏拉圖在《理想國》中系統闡述了自己的數學教育思想,因此有必要對柏拉圖在《理想國》中的數學教育思想進行解讀．

本文首先在柏拉圖的“世界二元論”的背景下介紹《理想國》中的數學教育目的、數學教育的具體內容以及數學的學習與教學思想,然后對數學教育目的的兩種取向進行討論,并從本體論的角度對柏拉圖提出的數學教育內容進行分析,最后將柏拉圖的數學學習、教學思想與當代數學教育思想進行比較并得到啟示．

1 數學教育目的

柏拉圖將世界分為可感世界(可見世界)和理念世界(可知世界).他認為人們現實生活所處的可感世界是對理念世界的描摹,可感世界是流變的,因可感世界的對象變動不居,可感世界不存在真正的知識,因此可感世界存在而不實在;理念世界是永恒不變的,人們只有通過思維才能知覺理念世界,理念世界具有實在性,真理只存在于理念世界中．

根據柏拉圖在《理想國》中的論述,數學教育的目的可以分為現實應用和促使心靈轉向．由于柏拉圖在青少年時期親眼目睹了雅典在伯羅奔尼撒戰爭中慘敗于斯巴達人,他在《理想國》中特別強調了數學兩大分支——算術和平面幾何在統率軍隊和排兵布陣方面的用處．相比于數學的現實應用目的,柏拉圖顯然更看重數學促使心靈轉向的作用．

柏拉圖在《理想國》中認為數學教育充當了連通可感世界和理念世界的橋梁,他用幾何研究舉例說明了數學的橋梁作用:個體在研究平面幾何中的正方形或者圓形時,以形似的可感世界的事物為手段,但思考的卻是具有共相特征的一般的正方形理念、圓形理念,圖形理念相比于圖形殊相不具有厚度,殊相只是對理念的模仿,理念只存在于思維中,個體經過思考接觸到理念世界．數學一方面與可感世界流變的殊相接觸,另一方面能接觸共相,觸及純粹的理念世界[3],于是在數學研究過程中,個體以殊相為手段,心靈在此時處于理智狀態,對共相進行思考,個體的認知從對殊相的感性認識上升到對共相的理性認識,心靈也接觸到理念世界,實現心靈從可感世界到理念世界的轉向．

2 數學教育的內容

柏拉圖在《理想國》中根據數學研究對象將數學教育內容分為算術、平面幾何、立體幾何、天文學和諧音學．具體來看每一部分內容:算術并不只是要求個體對可感世界的客觀物體進行計算與數數,為了心靈到達理念世界,柏拉圖要求個體研究理念世界的純數．算術能訓練個體的反應力、計算能力和理性思維,幫助個體的靈魂把握實在,為學習其他學科奠定基礎．幾何學是柏拉圖極其重視的學科,在他創辦的柏拉圖學院門前就刻有一句話:不精通幾何學的人勿入此門[4]．平面幾何的研究對象是永恒實在的圖形理念,通過思考平面幾何中較為深層次的事物,個體更容易把握理念世界的終極目的善理念．立體幾何科目屬于三維尺度下的學習,其研究對象為立方體等具有厚度的事物的理念．《理想國》中的天文學和諧音學為數學的應用學科,柏拉圖提出要像研究幾何一樣忽視可感世界的事物,以理念為思考對象,提出問題并建立數學模型進行天文研究[5]．同樣,柏拉圖認為要從數字的角度對諧音學進行研究,諧音學的研究對象并不是音樂的旋律,而是可聞音之間數的和諧關系．以上五門科目聯系緊密,立體幾何為平面幾何在三維空間的拓展,天文學為運動的立體之研究,同時,天文學和諧音學是算術和幾何的應用學科,柏拉圖要求學習者在深入掌握各科的基礎上,弄清各科的聯系并得出總體認識,提升理性思維．

柏拉圖認為個體需要學習的數學研究方法為假設-演繹法,假設-演繹法需要有前置條件,例如在研究算術和幾何時,個體須先假設基數和圖形已知且絕對正確,在此基礎上進行演繹推理獲得數學結論．但由于假設-演繹法的前置條件被默認為自明的,沒有經過嚴格證明,因此柏拉圖不認同能夠通過這種方法獲得真正的知識．

3 數學學習與教學思想

柏拉圖在《理想國》中針對數學教育提出了一系列數學學習與教學思想,可以將其分為以學生為主體的學習思想和以教師為主體的教學思想．

對學生來說,學習數學首先要有良好的記憶力,柏拉圖認為對真理的熱愛會讓學習者在追求知識的道路上充滿動力,因此學習數學需要強烈的興趣．在學習者擁有對數學的興趣的基礎上,堅持不懈的精神同樣為柏拉圖重視,他認為學習的艱苦相比于肉體的勞累更有挑戰性,學習者面對困難不輕易放棄才會到達知識的彼岸．從以上分析可以認識到柏拉圖在學生具備基本認知條件的基礎上,注重調動學生的主觀能動性,使得他們主動進行數學學習,這體現了數學學習中的學生主體性．

柏拉圖在《理想國》中談論數學教育時表露出了一系列教育教學思想．柏拉圖表示任何一個人學習算術、幾何等科目時均不應該被強迫進行,他提倡寓教學于游戲中,通過游戲可以了解學生的天性以及提升學生的學習興趣,進而調動學生學習數學的主觀能動性．柏拉圖重視數學教學的策略與方法,他認為數學教學過程中要由易到難,逐步深入,先學習算術,然后是二維的平面幾何,進而是三維的立體幾何,最后是數學的應用學科——研究運動三維物體的天文學和諧音學．柏拉圖還認識到了數學與其他科目的聯系,即所謂“天性擅長算術的人,往往也敏于學習其他一切學科”[6]．數學和其他科目的這種聯系表明學習數學有助于學習其他學科,因此在教學時要考慮各學科的教學順序,這種聯系也提示了教師將數學與其他學科結合進行跨學科教學的可能性．

4 討論

(1)數學教育目的的兩種取向

《理想國》中數學教育目的可以分為促進心靈轉向和現實應用,顯然柏拉圖更看重前者．然而當代教育界的一些學者對數學教育目的有不同的看法,弗賴登塔爾(Freudenthal)提出了現實數學教育思想:數學是有用的,學生要將學習到的數學知識應用到其他學科和現實生活中[7]．實用主義教育家杜威(Dewey)認為數學要與生活緊密聯系,實現對兒童生活經驗的改造[8]．在今天的數學教育中,數學在改造世界中的應用價值和培養人理性思維的作用均被各國教育界認同,并在各自國家的數學課程標準中體現[9]．

(2)本體論視域下的數學教育內容

柏拉圖認為數學并不是由人類創造的,只是為人類發現．他對數學本體論的這一觀念也被稱作數學柏拉圖主義,并影響著后世數學家對數學的認知,康托爾(Cantor)便認為數學家的工作是發現而不是發明[10]．但數學柏拉圖主義作為柏拉圖客觀唯心主義的產物,不能解釋構造數學家的工作,因此也被一些數學家批評,弗賴登塔爾便認為“數學是人類的活動”[11]．

在柏拉圖看來,數學的研究方法為假設-演繹法,這與羅素(Russell)認為數學是邏輯演繹體系的觀點相似．柏拉圖對假設-演繹法有超越時代的認識,他認為假設-演繹法的前置條件沒有經過嚴格證明,不一定能夠獲得真正的知識．

(3)歷久彌新的數學學習與教學思想

柏拉圖在《理想國》中提出的許多數學學習與教學思想在今天仍然適用．在數學學習方面,柏拉圖重視學生的主觀能動性以及學習過程中的主體性,我國數學課程標準同樣明確指出:學生是學習的主體[12]．柏拉圖認為學習數學不應該被強迫進行,學生需要對數學產生興趣,當代數學教育家波利亞(Polya)提出的數學學習原則之一就是最佳動機原則:學生在數學學習過程中要有興趣的刺激[13]．柏拉圖提出的數學學習過程中學生應具備備的認知條件、學習品質等在當代數學教育中同樣被重視．在數學教學方面,柏拉圖提出了一些數學教學的策略與方法,他認為教師要注意教學的順序,教學內容要由易到難、逐步深入,波利亞針對數學學習順序也提出了階段循序原則:學生必須有序經歷數學學習過程中低級到高級三個階段[13]．

5 結語

柏拉圖的數學教育思想與許多當代數學教育家的觀點不謀而合,在今天仍然充滿生機．數學教育實踐者要重視數學教育培養理性思維的獨特作用.例如,教師可以在教學幾何等數學內容時有意脫離現實物理世界,要求學生對抽象數學內容進行思考,在教學數學研究方法時要求學生對假設-演繹法進行批判性思考,達到提升學生理性思維層次的目的．數學教育實踐者還要吸收柏拉圖數學學習與教學思想的精華,如搭建腳手架教學、進行跨學科教學、通過數學游戲調動學生主觀能動性等,并將之融入實踐,實現自我和學生的雙重提升．