立足學生實際 發展理性水平
——“有理數乘法法則”的設計與思考*

葉新和 姚娟妹

(江蘇省泰州醫藥高新區(高港區)教育局 225300)

1 應然:設計思路

有理數乘法法則,尤其是“負負得正”,歷來是學習的難點.直接告知學生“負負得正”的正確性,副作用很明顯:有的學生如“雜交水稻之父”袁隆平(1930—2021)會認為“數學是不講理的”[1],有的學生如法國文豪司湯達(1783—1842)會困惑,心想是老師在騙他還是數學本身就是一場騙局[2].有學者試圖給出七年級學生能夠接受的證明[3,4],但仔細分析,其中均有值得商榷之處[3].這也從反面表明了嚴格的證明必須應用整數環的有關知識(在整數環的公理系統中可以嚴格地證明負負得正這個法則[5]),然而整數環的知識又遠遠超出了七年級學生的接受能力.

教育是培養人的活動,這是教育與其他一切社會現象的根本區別[6]3.教育必須要遵循兒童身心發展的規律.無論是制定教育計劃、選擇教育內容,還是采取有效的教育方法,都必須從兒童發展的實際出發,滿足兒童發展的需要[6]8.從新世紀我國課程改革的理論基礎來看,人本主義思想是其心理學理論基礎,其課程觀的主旨是促進人的全面發展[7].可見學習必須立足學生實際,以學生可接受為前提.數學學科在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用[8]1,這也是數學學科的核心作用.與此相匹配,“初步養成講道理、有條理的思維品質,逐步形成理性精神”[8]6是《義務教育數學課程標準(2022年版)》中設定的課程目標.

基于上述分析,筆者以為有理數乘法法則學習設計的應然思路為:以人本主義思想為指導,立足學生實際、以學生可能的接受能力為前提,在有理數乘法法則的探索、理解與運用中盡可能發展學生的理性思維水平.

2 實然:學習過程

2.1 課前準備

(1)用正負數來表示:

①若規定水位上升記為+,則水位上升 2 cm記為cm,水位下降6 cm記為cm.

②若將現在時刻作為基準,記為0,則3小時前記為小時,3小時后記為小時.

設計意圖鞏固舊知,為后面利用水位升降模型驗證有理數乘法法則作鋪墊.

(2)會利用計算器輸入負整數.

2.2 探索活動1:利用計算器探索乘法法則的必要性

情境1 星期天,小明帶著剛收到的生日禮物(計算器)找小穎玩,發現她正在做下面的試題.

計算:1)(+2)×(+3)=;2)(+1)×(+3)=;3)0×(+3)=.

小明說:“小學生都會的.”小穎指著下一頁說:“還有4)(-1)×(+3)=;5)( )×(+3)=;6)(-3)×(+3)=.式子5)中被乘數被油墨污染了,看不清楚.要是你能寫出答案,我就相信你厲害.”“這是有規律的,”小明仔細看了看,將計算器遞給小穎,說:“我直接寫結果,你利用這個來驗證.”驗證后小穎發現了這組式子及計算結果的規律.

問題1(1)式子5)中被污染的地方是什么數?說說你的想法.

(2)你也能直接寫出這些式子的計算結果嗎?說說你是怎么想的,并用計算器驗證.

設計意圖將不熟悉的“負數×正數”的計算問題轉化為容易解答的找規律問題來解決,同時創設了利用計算器進行驗證的情境.

問題2假如小穎做的是下面這題.

計算:7)(-3)×(+2)=;8)(-3)×(+1)=;9)(-3)×0=.

(1)你能仿照情境1中方法得到式子7)的計算結果嗎?說說你的辦法并用計算器驗證結果是否正確.

(2)猜一猜式子8)和9)的計算結果,驗證你的猜測.

(3)猜測式子10)(-3)×(-1),11)(-3)×(-2),12)(-3)×(-3)的計算結果,并驗證.

設計意圖式子7)與10)不斷引發學生的認知沖突,以此發展問題意識.繼續讓學生經歷觀察—分析—猜測—驗證的過程,以積累探索與發現的經驗,同時初步發展了理性思維水平.

2.3 探索活動2:總結乘法法則的必要性

情境2 如果小明與小穎交流時,小穎的小妹妹不小心將計算器碰掉在地上,無法顯示計算結果.此時該怎樣計算(-5)×(-6)呢?說說你的想法.

設計意圖計算器在計算時起著“腳手架”作用.為發展理性思維,需要盡快拆除.

問題3任意兩個有理數相乘,你會確定它們的乘積嗎?試用語言來描述.(乘法法則內容略)

2.4 探索活動3:驗證乘法法則的合理性

情境3 計算器碰掉在地上,計算(-2)×(+3)時如果小穎的計算器顯示結果為“-8”,小明的顯示結果為“-6”,又該怎么辦呢?一籌莫展中,數學老師來家訪,提醒他們可以試著用水位變化的生活實例來說明.經過討論,兩人覺得可借助實例“將現在水位記為0 cm.如果水位每小時下降2 cm,那么3小時后的水位比現在下降6 cm”來說明.

問題4(1)在上述實例中,“-2”“+3”“-6”分別表示什么?

(2)類似地,等式“(+2)×(-3)=-6”的正確性可用水位變化實例“將現在水位記為0 cm.如果水位每小時(填‘上升’或者‘下降’) 2 cm,那么3小時(填‘前’或者‘后’)水位比現在(填寫‘高’或者‘低’)6 cm”來說明.

(3)試用水位變化實例來說明等式(-2)×(-3)=+6的正確性.

設計意圖借助生活經驗來驗證有理數乘法法則的合理性,繼續發展理性思維水平.

2.5 例題講解

(1)計算:1)(+4)×(+6);2)(-4)×(+6);3)(+4)×(-6);4)(-4)×(-6).(規范過程略)

(2)觀察算式1)與2)、算式1)與3),你有何猜測?(注:當被乘數、乘數中有一個變成它的相反數時,所得乘積變成原來的相反數)

(3)你能從這組算式中選擇另外兩個來驗證你的猜測嗎?

(4)任意選擇兩組具備你猜想特征的算式,計算并驗證你的猜測.

設計意圖鞏固新知,繼續發展探索與概括能力,發展理性思維水平.

2.6 課后練習

習題1 判斷下列各式是否正確并說明理由:

(1)(-2)×(-4)=-6;

(2)(-2)+(-4)=+8.

設計意圖呈現學生常見錯誤,引導學生進行思辨,同時繼續培養問題意識.

習題2 (1)在橫線處填上“>”“<”或者“=”.

1)(-2)×(-3)(-3)×(-2);

2)(-9)×(-6)(-6)×(-9).

(2)對此,你能提出什么問題?能用其他算式來驗證嗎?能用語言來描述你的發現嗎?

(3)根據小學學習乘法運算律的經驗,你還能提出什么問題?

設計意圖引導學生初步探索有理數運算律,為后續學習作鋪墊,同時發展問題意識.

3 回顧與反思

3.1 立足學生實際

立足學生實際,意味著要根據學生已有的數學“四基”情況確定合適的學習起點,要充分發揮學習用品在探索中的作用,根據學生的接受能力來預設學習收獲.

(1)要創設合適的學習起點.對于七年級學生而言,“負數×正數”“正數×負數”“負數×負數”均不熟悉.教學中設計按照一定規律排列的多個算式,從橫向看為有理數乘法的各種情形,從縱向看變成分別找被乘數、乘數以及積的規律,這樣起點較低,直指新學內容,便于啟迪學生思維.

(2)要巧搭法則探索的“腳手架”.收到生日禮物去好朋友面前適當“顯擺”,是初中生的正常心理.對于情境1中的1)～6),如果有學生一開始不能或者不敢猜測,那么根據計算器計算的結果進行猜測,顯得更有必要,既驗證了猜測結果的正確性又能有效樹立學生的學習信心.如果情境1中的1)～6)、問題2中的7)～12)計算結果不正確,后續猜測、歸納有理數乘法法則便無從談起,可見計算器在有理數乘法法則的探索中起著必不可少的“腳手架”作用.

(3)要構造容易理解的生活實例.目前尚未發現七年級學生能理解的、用數學知識來驗證的方法,要進行驗證需要從數學內容之外尋找實例.在學生熟悉的生活實例中,水位變化涉及到的3種量其正負性規定最為自然,此時乘法的意義也與學生生活經驗一致,構造水位變化的實例來驗證是可取辦法.由于“構造”對于學生來說難度頗大,注意到學生已經猜測得到了有理數的乘法法則,讓學生在模仿與類比的基礎上“構造”出相應生活實例,進而能夠確認等式的正確性即可.

3.2 不斷發展理性思維水平

先猜測再驗證以及發展推理能力(意識)是發展學生理性思維水平的兩種基本做法.

(1)形成“猜測后及時驗證”的思維習慣意味著學生的理性思維達到較高層次.為發展理性思維水平,本設計中通過多種形式來進行驗證.首先是借助計算器進行驗證.計算器作為常見學習用品,用于驗證猜測結果,既順理成章又隨手可得.其次,在總結出乘法法則后借助水位變化的生活經驗進行驗證.有理數乘法法則是根據特殊情形進行猜測而得到的,在得到驗證之前,法則僅僅是“可能如此”.為突顯通過生活實例進行驗證的必要性也是消除“袁隆平”們、“司湯達”們可能產生的誤解與困惑,根據手表定律創設了“摔后兩只計算器顯示結果不一致”的情境.(手表定律內容為:一個人只有一只手表時,可以清楚地知道現在是幾點,而當他同時擁有兩只顯示不一致的手表時,會失去對準確時間的認定[9].)需要指出的,即使是錯誤顯示的結果,也要精心選擇真實可信的情形,以“deli 837ES”型桌上計算器為例,當數字右上角的“∣”強行顯示時,數字0至9中,“6”顯示為“8”、“5”顯示為“9”,其他數字則能正確顯示.不同的顯示結果令學生無所適從.此處僅驗證了具體情形.學生學習了用字母表示數后可驗證一般情形(等式“(-a)×(-b)=ab(其中a,b為正有理數)”的正確性可用水位變化實例“將現在水位記為0 cm.如果水位每小時下降acm,那么b小時前的水位比現在高abcm”來說明).驗證之后,對有理數乘法法則的看法會由“可能如此”變成“應該如此”,理性思維水平得到顯著提升.最后是在例題講解環節再次提供先猜測再驗證的機會.根據“教—學—評一致性”設計了例題,試圖一舉多得:既是新知(有理數乘法法則)、新視角(尋找數學等式間關系)的應用,更是對“猜測后及時驗證”做法的強化,以繼續發展理性思維水平.

(2)在有理數乘法法則的學習與運用中發展推理意識.學習過程中教師在多處讓學生判斷時說出想法,是外顯思維過程,希望展示支撐判斷的理由或者依據.例題講解中根據有理數乘法法則來確定計算結果的符號以及絕對值,突出了法則的指導作用,做到“算必有據”.

需要指出的是,理性思維能夠發展達到的程度由學生的接受能力確定.基礎不同、接受能力不同的學生,能夠達到的理性思維水平會有差別.第二部分“實然學習過程”是給思維能力較強的學生提供的一種學習路徑,實際教學中應該根據學生情況作些補充與刪減.