淺談概率解釋的歷史演進及相關教學改進

楊程博

（吉林大學 數學學院，吉林 長春 130012）

引言

在信息化和全球化不斷加深的當今，事物的發展變化也愈加復雜，愈加難以預測。在這樣的時代背景下，大學教育對于學生決策能力培養的必要性也愈發突出。由于所有決策都是基于概率判斷［1］，那么在只有少量信息的情況下，計算出最合理的概率并形成貝葉斯更新的能力，對相關領域人才的培養來說就是一項必不可少的教育。但當前的概率論教學大都基于概率的頻率解釋，因此，導致學生很難理解條件概率和貝葉斯定理的內涵［2］，這對于后續諸如貝葉斯更新這一類知識的傳授形成了巨大障礙。

以往對概率論教學的研究并沒有對這一現狀給予足夠的重視。許多研究只關注概率的數學計算方面，很少提及如何看待概率及其內涵解釋。在應用概率和獲取概率所代表的信息時，我們首先必須了解概率的準確含義，才能更合理地把握所要解決的問題。因此，只強調概率的數學計算而不涉及對概率內涵進行解釋的概率教學是不可取的，僅基于頻率解釋的概率論教學也是不全面、不透徹的。綜上所述，在概率教學中強調對概率解釋的區別以及進一步加深對概率內涵的準確理解和把握是十分重要的。本文將以概率解釋的歷史演進為理論視角，梳理概率解釋的形成過程，為今后進一步打造融入概率解釋的概率論課程設計夯實理論基礎。

一、概率的頻率解釋和貝葉斯解釋

安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）于1933年首次給出了概率公理化定義，該定義從數學層面來講幾乎不存在異議。然而，當被問及概率意味著什么時，卻沒有一個公認準確的答案。本文將這種關于概率的哲學觀點及其意義稱為概率解釋。從骰子、彩票到測試的準確性，在各種情況下處理概率問題時，概率解釋也存在明顯區別。目前的概率解釋主要有大類：頻率解釋（客觀解釋）和貝葉斯解釋（主觀解釋）。

（一）頻率解釋

概率的頻率解釋是根據相對頻率的極限來定義概率的。首先數學極限本身就是人們有限經驗無法達到的界限，這就涉及了用無限的理想狀態（數學極限），來解釋有限經驗（統計頻率）的合理性問題［3］。此外，頻率解釋應用于現實時也存在缺陷，由于事件可能不具有重復性，或者在操作上很難定義“在相同條件下”和“隨機”的含義，那么，就沒有辦法通過重復實驗來求解此類事件的概率，這一點對于小概率事件尤其明顯。因此，頻率解釋更多地被應用于物理學、生物學等學科，因為這些學科都更關注事實證據而不是人類思維。

（二）貝葉斯解釋

概率的貝葉斯解釋基于貝葉斯定理，它的發現者是托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）。貝葉斯定理的發現在當時并未受到關注，一直到貝葉斯過世后的1763年，相關著作《機會問題的解法》才被他的好友理查德·普萊斯（Richard Price）提交給英國皇家學會并發表［4］。貝葉斯定理認為概率是對個人頭腦中固有信念的評估，而不是頻率解釋中隱含苛刻假設的現實世界特征。例如，在投注賽馬時，即使所有投注者都擁有相同的馬匹信息，但投注的結果卻各式各樣。這是因為根據個人經驗和知識得出的馬匹勝率是完全不同的。此時的概率是作為確定程度或推理手段給出的。如果勝率是從出現次數的相對頻率來確定的話，那么不管是誰計算這個值都應該是一樣的。但主觀主義者認為在人腦中有兩種信息：獨立于經驗數據的先驗信息，以及來自重復實驗的經驗數據。這兩種類型的信息都能影響貝葉斯定理中的可能性函數，進而更新相關事件的先驗概率并給出新的概率。換句話說就是，用新的、客觀的信息更新你對某事的最初想法會產生更高質量的見解。這就避免了頻率解釋應用于實際時所遇到的困難和問題。然而，貝葉斯解釋也經常被批評為不科學，因為它沒有為如何測量先驗概率提供指導。每個人可以將任何概率分配給任何事件，所以概率的貝葉斯解釋缺乏客觀基礎。但是，對于處理實際問題尤其是決策問題，卻是一種強有力的工具，即使知識是受客觀局限，也能夠做出當前狀況下最為合理的決策。因此，在不存在苛刻的“相同條件”的情況下，在沒有多次試驗證據的情況下，對于概率的貝葉斯解釋是更為有效的。

二、概率解釋的形成及歷史演進

概率起源于對骰子、彩票等事物的觀測活動。遠古時代的人類就已經開始使用動物骨骼等，來創造均勻的隨機發生器，以產生穩定的頻率進行某些特定活動，他們雖然在直覺上好像接受了某些事實，但卻始終無法正確理解其原理。直至17世紀中葉，一位法國貴族德梅萊（Demere）向布萊斯·帕斯卡（Blaise Pascal）問了一個關于擲骰子的問題。隨后帕斯卡又寫信將這個問題向皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）討教，兩人的通信討論為后人津津樂道，也標志著現代概率論的開端［5］。由于其起源于客觀隨機觀測，因此基于頻率的概率解釋，始終伴隨著概率論的早期發展。頻率解釋的普遍傳播始于福特（Ford）汽車工廠大規模生產技術的出現，因為在假設“無限人口”的情況下，事物的特征是可以用平均值來衡量的。在這樣的社會背景下，頻率解釋的實用性就進一步增加了。1920年至1930年代，以羅德納·費舍爾（Ronald Fisher）等為代表的頻率論者強調，基于多次觀察的頻率是概率，其具有任意性的主觀解釋與標榜準確和客觀的近代科學相矛盾。再加上貝葉斯定理計算的復雜性，最終，概率的貝葉斯解釋受到了強烈的抑制和抵觸，被人們敬而遠之。

但是，在第二次世界大戰期間，主觀主義者成為英雄。由于戰時的決策者必須在無法獲得完整信息的情況下，以最佳方式快速做出生死決定，因此根本無法使用基于長期經驗的頻率解釋，而每次獲得情報之后都可以更新事件發生概率的貝葉斯解釋卻得到了大量的應用。在這個過程中，艾倫·圖靈（Alan Turing）發揮了重要的積極作用，他通過基于主觀概率解釋的直觀猜測并結合貝葉斯定理，破解了德軍的加密通信系統Enigma。也正因如此，貝葉斯定理的相關應用也被當時的英國政府一度視為軍事機密。進入1980年代，工業領域“大規模生產”的時代結束了，從有計劃的大批量生產轉向了“多品種、小批量”的個性化生產。時代背景的轉換導致以往運用平均值進行管理的模式無以為繼，概率的頻率解釋的應用范圍也在逐步縮小。

直到今天，這兩種歷史上對立的概率解釋的界限已經逐漸變得模糊。例如，在醫學領域，在驗證藥物效果時使用概率的頻率解釋，而在醫學檢查中則使用概率的貝葉斯解釋。在現今的學術領域中，不再試圖根據單一的概率解釋來解釋所有現象了，而是根據實際問題的情況來采取不同的概率解釋，這種解決問題的靈活性和互補性正是頻率解釋與貝葉斯解釋對立與統一的體現。

三、基于概率解釋形成路徑的教學改進

總結概率解釋的歷史演進，可以發現對于概率的認識始于一個直觀的想法，即如果拋出一個均勻的立方體，所有面都會以相同的可能性出現。這是對概率的主觀解釋，因為它是基于個人信念來認識概率。但這里的個人信念是直觀的、粗糙的，因此，可以稱早期的概率解釋是一種直觀的主觀概率解釋。然后，通過大量觀測的實踐，人們遇到了一些情況，意識到了未經多次試驗的直覺想法是不可靠的，并開始運用頻率來解釋概率。在此之后，歷史見證了主觀概率解釋的異軍突起和蓬勃發展。而在今天，最常見的情況是看到兩者之間的靈活運用與相互補充。由此可以得到，概率解釋形成的過程經歷了“直觀的主觀解釋——頻率解釋——貝葉斯解釋——兩種解釋對立統一”的演進路徑。

現代概率論教材幾乎都是按照經典知識體系進行編排的，注重和體現知識之間的內在邏輯。少有基于特定時代背景和具體數學問題的研究發展進程為脈絡主線的著作。如此一來，這雖然保持了知識體系的完整性和嚴謹性，但卻對于學生理解和把握各個知識與問題間的聯系，無形地設置了較高門檻。對于數學問題發展和形成的歷史痕跡的抹除，在一定程度上違反了知識積累循序漸進的基本規律。因此，教師在教學過程中，應在保證知識體系完整性的基礎上，盡可能地加入并還原相關知識的歷史發展過程，由此來降低新知識與舊知識之間的抽象性，同時也能鍛煉和培養學生運用已有知識和技能，去解決和探索新問題的習慣和能力。

根據上述梳理出來的概率解釋形成路徑，以及當前教學方面所面臨的不足之處，可以考慮以下幾點教學改進。

第一，在概率教學所運用的數學工具方面，強化概率公理化定義的地位，打破兩種概率解釋的界限。當前大部分概率教學中涉及的概率是從費馬、帕斯卡到伯努利再到拉普拉斯的概率論誕生時代的古典概率。雖然假設“等可能”的古典概率對于概率數學模型的初期發展是必要的，但是，在進入大數據時代的今天，越來越多的事件已經不再符合這種假設，概率的貝葉斯解釋越來越適用且受到重視。由于柯爾莫哥洛夫在設定公理時并不需要給出概率本身的具體含義，因此，公理化概率對客觀頻率解釋和主觀貝葉斯解釋都是開放的，是研究概率問題時更具一般性和廣泛性的數學工具。

第二，要遵循人們理解概率的客觀歷史演進規律，合理組織教學內容，還原知識骨架上的歷史血肉。條件概率和貝葉斯定理可以說是概率論中最重要的教學內容之一，為了更好地幫助學生去理解和掌握，應該首先幫助學生理解概率的貝葉斯解釋。這是因為雖然某些情況下可以根據概率的頻率解釋來計算出條件概率，但卻很難解釋其結果的意義。事實上，許多研究報告也都表明，在概率的頻率解釋下進行條件概率和貝葉斯定理的教學，是很難讓學生理解和接受的。同時需要注意的是，概率的貝葉斯解釋雖然是個體獨有的，但必須在其內部保持一致，符合一定的邏輯運算規律，不能是純粹隨機的。因此，需要強調和事件、積事件等事件運算以及概率的基本性質在貝葉斯解釋中的重要性。

第三，人工智能的繁榮發展迫切要求學生具備相關的思維框架和知識儲備，教學思路也應與時俱進。復雜的機會游戲的出現發展出了概率論；天文學家對精確預測天體軌跡的需求衍生出了誤差理論，進一步建立了統計學的基礎。而當今人工智能所面臨的重重困難，也迫使人們正在逐步開啟因果推斷科學的大門。概率的貝葉斯解釋對于理解“因果”的含義是十分必要的，關于原因的概率是指以時間上后出現的結果為條件的早期事件的概率，它無法應用概率的頻率解釋來進行描述和分析。在當前學生在校期間所參加的各類數學建模競賽中，與人工智能決策相關的建模問題層出不窮，為了幫助學生順利地理解問題和解決問題，就需要在教授概率論相關知識時，擴展介紹當前的前沿問題及其發展方向，從而將基礎知識教學與社會問題實踐相結合，讓舊知識在學生頭腦中萌發新芽。

此外，在概率論教學中，為了讓學生切身體會到概率解釋的形成和變化過程，應該在教學中設計相應場景的系列例題，讓學生在遇到新問題時，自然產生對概率內涵的思想轉變。當然這個過程也需要教師根據學生的不同學習階段進行有意識的引導，最終使學生養成靈活運用不同的概率解釋思維去解決問題的能力。以往的許多教學研究都集中在概率的數學計算能力方面，但是，大學教育的目的是使學生獲得在復雜社會環境中運用所學知識和技能的能力。例如，在面對特定社會問題時，如何根據有限的信息做出合理的決策，以及如何評估和運用有關風險的概率信息等。從這個角度來講，本文的研究以及提出的教學改進思路是不可或缺的。在今后的教學探索中，也將致力于形成一系列支撐該教學目標的教學資料。

結語

當前的概率論教學大都很少提及如何看待概率及其內涵解釋。本文將以概率解釋的歷史演進為理論視角，探究概率解釋的形成和轉變過程，提倡根據人們認識概率的客觀歷史演進規律進行概率教學的組織和安排，從而加深學生對概率內涵不同維度的理解，提升學生靈活解決問題的能力。