頂角互補的雙等腰結構的基本研究 與一般化推廣

作者簡介：周道碧（1969—），本科學歷，中學高級教師，從事中學數學教學研究，2021年主研市教育學會重點課題“城市初中學校減負有效策略研究”，結題并被重慶市教育學會評為特等獎.

[摘 要] 在幾何證明中，對本質結構的研究能極大加強對新結構的認知，本質結構通常稱為一般化結構. 通過挖掘幾何圖形的本質結構，能快速解決一系列問題并加深對條件相互作用的理解. 本文以一道中考模擬題為研究的起始點，展開對頂角互補的雙等腰結構的研究與一般化推廣.

[關鍵詞] 頂角互補，本質結構，一般化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》是基礎教育和課程改革的方向，相較于2011年版，新課程標準以學生為主體，對加強學生創新意識的培養提出了更高的要求. 新課標對學生數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等方面的培養制定了更細膩的目標，切實符合義務教育階段的數學教育與教學. 在雙減背景下，減負提質，對幾何題目多種證法的剖析推廣的研究，能使學生有更強的圖形感. 不斷加強對幾何直觀的培養，提升學生演繹推理的能力，才能真正達到提質的目的.

原題呈現

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D為直線AC右上方一點，且滿足∠ADC=60°，連接BD.點E為線段BD上一點，連接EA，EC，且滿足∠EAD=60°，證明：AD=CD+2AE.

結構分析

對任意幾何題目，通常會從基本結構與角度兩方面進行分析，其中對角度等量關系的挖掘，可以更加充分地加強對題目的理解. 在本題中，題目的背景是等腰三角形ABC，等腰三角形有一組相等的線段，由這組等線段，經常會從旋轉與對稱兩種全等變換中去考慮對線段角度的轉化. 結構的等價變形也會加深對幾何結構的辨析與理解.

1. 旋轉形構造

本題已知有兩個60°，便于構造旋轉形，旋轉結構優先考慮.

從結構與角度分析，如圖2，圖3所示，會有如下兩種旋轉構型. 結構一可以轉化CD，結構二關聯了已知的兩個60°，同時均有補基本形的特點.

從結論分析，待證結論中的2AE實則也包含了解題的構造方向. 二倍關系的處理通常會歸結為中點問題，倍長中線，中位線，斜中半，三線合一是思考的基本方向.

2. 提煉等價構圖

在相同的背景條件下，通過旋轉△AED，保證點D，E，C共線，即可得到本質相同的不同構圖，如圖4所示，對原題的研究，可轉化為對其等價構圖的研究.

題目解析

1. 結論結構齊步走，倍長補形顯身手

證法1：如圖5所示，延長AE，DC交于點M，過點D作DF∥AB交AM于點F，交AC于點G.

證明簡述：由DF∥AB，可知∠AGF=60°，可得∠CAD=∠FDE，因此△ACD≌△DFM，所以DF=AC=AB，可證得△AEB≌△FED，所以2AE=AF，因此AD=CD+2AE.

分析 從結論結構同時出發，由2AE考慮倍長中線，通過關聯60°考慮補等邊三角形AED，由此產生基本構圖，在解題中考慮補形是關鍵.

2. 找準基準三角形，轉移線段補結構

證法2：如圖6所示，延長AE，DC交于點M，在MD上取點F，使得MF=AE，連接AF.

證明簡述：由MF=AE，AM=AD，∠DAE=∠AMF，可得△DAE≌△AMF，所以∠DEA=∠AFM，∠ADE=∠FAC，可知∠AEB=∠AFC，設∠ADE=α，∠FAC=β，∠ABD=θ，在△ABD中，∠ABD+∠BAC+∠CAD+∠ADB=180°，可得θ+120°+60-α-β+α=180°，即θ=β，因此△BEA≌△AFC，所以AD=CD+2AE.

分析 基于CD的位置，AE所處的基準三角形，最終在MD上完成了線段和差關系的證明，此種處理方法的關鍵在于AE的基準三角形有兩個，AE既在△ADE中，也在△ABE中，因此2AE最終理解為搬動兩個基準三角形.

3. 先猜后證線加倍，旋轉補短方向準

證法3：如圖7所示，延長AE，DC交于點M，延長BA至點F，使得AB=AF，連接FD.

證明簡述：易證△ADF≌△AMC，可得∠AMC=∠ADF=60°，所以∠EAD=∠ADF，因此AE∥DF，又由AB=AF，所以BE=ED，AE為△BDF的中位線，因此2AE=DF，所以AD=CD+2AE.

分析 從幾何直觀出發，可推測點E為BD的中點，若點E為BD的中點，則2AE=DF，即可完成2倍AE的構造與轉換，此法的關鍵在于間接構造基本結構.

4. 解法共鳴，本質相通，提出猜想

由這三種證法的特殊性，筆者開始分析與關聯一道證法相似，結構相似的題目，可由此進行類比.

題目為：如圖8所示，已知△ABC，△BDE均為等腰直角三角形，連接AD，CE，過點B作BG⊥CE于點G，GB交AD于點F，求證：2BF=CE.

上述題目依然可圍繞倍長中線、中位線等思路展開證明，由于證法相似，不作說明. 據此，研究兩道幾何題的結構共性即可提煉出一般化結構，從而得到一般化結論. 從題目背景來看均為雙等腰結構，區別在于頂角的大小，但兩個等腰三角形的頂角之和均為180°，同時具有2倍關系的線段在兩道題目中有著相同的位置，由此可得到如下猜想.

猜想：如圖9所示，在頂角互補的雙等腰結構的背景下，即AB=AC，AE=AD，∠BAC+∠EAD=180°，點N，F分別為BE，CD的中點，可推得如下結論：

①2AN=DC，2AF=BE;

②△AFC≌△BNA，△AFD≌△ENA;

③S=S.

5. 驗證猜想，一般化推廣

由于△ABE與△ACD具有等價性，不妨證明2AF=BE，同理可證得2AN=DC. 因猜想的結構為一般化結構，可嘗試用相似方法進行證明.

證法：如圖10所示，過點C作CG∥AD交AF的延長線于點G.

證明簡述：由點F為CD的中點，易得△FDA≌△FCG ，所以AD=CG，由CG∥AD，∠BAC+∠EAD=180°，可得∠ACG=∠EAB，因此△EAB≌△GCA，所以AG=BE=2AF，上述猜想結論可由此繼續展開而得到驗證.

通過中位線與直接構造也可完成猜想結論的證明，圖9所示的基本結構即為一般化結構. 從證法，結構，待證結論產生基本感知，從不同結構中提煉出相同的基本要素，是一般化推廣的基本方式. 從一般化結構再回到特殊結構，即完成了從一般到特殊的轉化，此時對特殊結構的認知會更加深刻.

6. 探中點產生根源，究相同本質條件

在原題與類比題目中，中點E與F的產生方式不同，原題為線段相交產生中點，類比的題目中為作垂直產生. 從一般結構出發，產生中點的條件的本質應是一致的.

在一般化結構中，△AFC≌△BNA與△AFD≌△ENA的全等一定存在，在原題中即為△DAE≌△AMF與△BAE≌△ACF. 將原題等腰三角形的頂角一般化，可設∠EAD=α，則∠BAC=180°-α，若點E為BD中點，則由△DAE≌△AMF，可得∠DAE=∠AMF，即α=90°-，解得α=60°. 因此，點E為中點實則是由等腰三角形頂角的限制得到，本質是∠EAD=∠AMF. 將結論推廣，如圖11所示，可得到更一般的構圖，同樣滿足一般化的結論. 對圖9所示的一般化結構，按照相同思路，如圖12所示，若∠BAC=∠AMC，則點N為中點.

在頂角互補的雙等腰結構中，中點的產生本質是由結論②中全等的對應角限制而得到，對產生中點的條件進行分析理解，其本質實則是相同的.

7. 基于一般化思維下的幾何模型意識的認知

一般化思維是一種抽象思維方式，它能夠將具體的事物或現象抽象成一般性的概念或規律. 在幾何學中，一般化思維可以幫助我們更好地理解和探索幾何圖形. 一般化思維是人類認識世界的重要方式之一，它可以幫助我們更深入地理解事物的本質，并為我們解決問題提供有力的思維工具. 在幾何研究中，用一般化思維解決問題的流程是從特殊到一般再回到特殊，理解一般化結構，會對特殊結構有更深刻的認識.

通常情況下，研究幾何結構的關鍵是研究其基本結構、基本性質. 不斷增強模型意識，才會對模型有更有充分的理解，建模能力才得以不斷提升. 在傳統的思維模式下，往往是特殊題型對應特殊結構，筆者認為在更一般情況下總結歸納會產生更好的效果. 同時在提取一般結構的過程中也是對抽象思維、邏輯思維、創新創造能力的培養.

參考文獻：

[1]樊璐瑛. 初中生數學學習力提升策略研究[D]. 西南大學，2018.

[2]路明. 論數學形象思維能力的培養[D]. 遼寧師范大學，2011.