分步關聯突

作者簡介：李曉園（1987—），本科學歷，中小學一級教師，從事初中數學教學與研究工作.

[摘 要] 二次函數是初中數學的核心知識，以其為背景的綜合題在中考和模擬考中十分常見，探究學習時要求學生掌握分步突破、關聯探究的方法，并進行解后總結，開展模型構建、拓展探究，形成類型問題的解法策略. 文章以一道二次函數綜合題為例，開展解題探究，并圍繞核心之問進行總結反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 二次函數;面積比例;模型;相似三角形

試題探究

1. 試題呈現

試題 （2022年宿遷中考）如圖1所示，二次函數y=x2+bx+c與x軸交于O（0，0），A（4，0）兩點，頂點為C，連接OC，AC. 若點B是線段OA上一動點，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點A落在點A′的位置，線段A′C與x軸交于點D，且點D與O，A兩點均不重合.

（1）求二次函數的表達式.

（2）①求證：△OCD∽△A′BD;

②求的最小值.

（3）當S=8S時，求直線A′B與二次函數的交點的橫坐標.

2. 解法探究

本題為二次函數與幾何相結合的綜合題，涉及三角形折疊. 題設有三問，分別為求函數表達式，證明三角形相似及求線段比的最小值，探究面積關系，數形結合、分步突破是解題的關鍵.

第一步，利用待定系數法求函數表達式.

（1）因為二次函數y=x2+bx+c與x軸交于O，A兩點，所以將O，A兩點的坐標分別代入二次函數表達式，可得c=0，

8+4b+c=0，解得b=-2，

c=0，所以二次函數的表達式為y=x2-2x.

第二步，利用折疊特性進行證明、推導.

（2）該問有兩個小題，破解過程如下.

①由二次函數的表達式可推知其頂點C的坐標為（2，-2），拋物線的對稱軸為直線x=2. 根據拋物線的對稱性可知OC=AC，于是有∠CAB=∠COD. 因為△ABC沿BC折疊后，點A落在點A′的位置，由折疊特性可知△ABC≌△A′BC，所以∠CAB=∠A′，AB=A′B. 所以∠A′=∠COD. 又∠ODC=∠BDA′，所以△OCD∽△A′BD.

②因為點C為定點，點D的位置不確定，故CO的長為定值. 又由△OCD∽△A′BD，可得==，所以要求的最小值，只需求出DC的最小值即可. 由兩點之間的距離公式可知OC=2. 由題意設點D的坐標為（d，0），由兩點之間的距離公式可得DC==. 因為點D與O，A兩點均不重合，則0<d<4. 對于DC2=（d-2）2+4，可知拋物線開口向上，故函數在頂點處取得最小值，即當d=2時，DC取得最小值，且最小值為2. 所以的最小值為=.

第三步，相似轉化破除面積比值關系.

（3）該問設定為兩三角形的面積關系，即在已知S=8S的情況下，求直線A′B與二次函數的交點的橫坐標，解題的核心是構建面積模型，轉化面積關系條件. 可分三步進行，即先轉化面積關系條件推導出關鍵點的坐標，然后求直線A′B的解析式，最后求直線A′B與二次函數的交點的橫坐標. 已知S=8S，所以=8. 此條件涉及△OCD和△A′BD，結合第（2）小題可知兩三角形為相似關系，即△OCD∽△A′BD，它們構成“8”字相似模型. 結合“相似三角形的面積比等于相似比的平分”，可推得==2. 又OC=2，所以A′B=AB=1. 所以點B的坐標為（3，0）. 設直線BC的表達式為y=kx+b，結合點B和點C的坐標，利用待定系數法容易求得

k=2，

b=-6，所以直線BC的表達式為y=2x-6. 設點A′的坐標為（p，q），則線段A′A的中點的坐標為

，. 由折疊性質可知該中點在直線BC上，滿足直線BC的表達式，所以有=2×-6，解得q=2p-4. 由兩點之間的距離公式，可得A′B==1，即（p-3）2+（2p-4）2=1，解得p=2或p=. 當p=2時，q=2p-4=0，此時點A′的坐標為（2，0），顯然不符合題意;當p=時，q=2p-4=，此時點A′的坐標為

，，符合題意. 結合B（3，0），可求得直線A′B的表達式為y=-x+4. 聯立

y=-x+4，

y=x2-2x，解得

x

=，

y

=;

x

=，

y

=.所以直線A′B與二次函數的交點的橫坐標為和.

解后剖析

1. 解法剖析

此題為二次函數與幾何的綜合題，涉及兩點之間的距離公式、中點坐標公式、相似三角形的判定與性質、折疊特性、二次函數的性質等. 此題的第（2）（3）問為核心之問，其中第（2）②小題在求線段比值最值時，采用了轉化的方法，即先將線段比值轉化為線段最值，然后借助兩點之間的距離公式轉化為關于點坐標參數的函數，再利用二次函數的性質確定最值. 而第（3）問則是關于面積比值關系的問題，上述破解方法的核心是利用三角形相似將其轉化為線段關系，推導出關鍵點的坐標，進而聯立方程求解.

2. 模型解讀

此題的第（3）問實則為二次函數背景下的面積比例問題，可利用三角形的相似性質來轉化面積比例條件，即把面積比值轉化為線段比值. 面積問題中的相似模型有兩種：一是“A”字相似模型，二是“8”字相似模型，上述解法利用的是“8”字相似模型. 利用模型進行轉化需分兩步：第一步，確定相似對應關系;第二步，確定線段比例關系，推導面積比例. 下面結合模型進行深入講解.

（1）“A”字相似模型

如圖2所示，由AD∥CM，可證得△ABD∽△MBC. 再由相似性質，可得=，所以=

2=

2.

（2）“8”字相似模型

如圖3所示，由AB∥CM，可證得△ABD∽△MCD. 再由相似性質，可得=，所以=

2=

2.

拓展探究

上述所示的面積比例轉化方法可視為相似轉化策略. 對于一些特殊的面積比例問題，還可以采用等底或等高進行轉化，即基于面積公式，分析三角形的底或高關系，將面積比例轉化為線段比例.

1. 等高轉化

如圖4所示，△ABD和△ACD可視為共頂點A的三角形，AH為兩三角形的高，即兩三角形高相等，于是有=. 另外，實際求解時也可借助鉛垂模型，將三角形進行分割，則構建兩三角形高拼接，然后進行等高轉化.

2. 等底轉化

如圖5所示，△ABD和△ACD可視為共底邊AD的三角形，即底邊相等，于是分別過點B和點C作AD的垂線，設垂足分別為M，N，則=.

3. 實例解讀

如圖6所示，拋物線y=ax2+bx+c經過A（-1，0），C（0，3），B三點，且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸;

（2）P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3 ∶ 5兩部分，設直線CP與x軸的交點為E，求點P的坐標.

解析 （1）容易求得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，對稱軸為直線x=1.

（2）分析可知直線CP把四邊形CBPA分割為△PCB和△PAC兩部分，使用鉛垂模型分別求兩三角形的面積，得S=BE×（y-y），S=AE×（y-y）. 顯然兩三角形的高相等，則=. 由題意可知=或=，于是可求得AE=或AE=，即滿足題意的點E的坐標為

，0或

，0. 于是可求得直線CP的表達式為y=-2x+3或y=-6x+3. 聯立直線CP與拋物線的解析式，可求得x=4或x=8，故點P的坐標為（4，-5）或（8，-45）.

評析 上述第（2）問在轉化面積比例條件時，融合鉛垂模型和等高模型，將面積比例轉化為線段比例，進而推導出關鍵點的坐標. 可見，在利用模型轉化面積比例的過程中，需要明晰兩三角形的底和高，確定兩者的關系，并在此基礎上結合面積公式進行轉化.

教學反思

上述基于一道二次函數綜合題開展解題探究，并對核心之問的解法策略進行深入解讀，探究模型，結合實例加以強化，其探究思路具有一定的參考價值，下面進一步開展教學反思.

1. 分步突破，關聯思考

二次函數綜合題一般有多個小問，小問之間通常相互獨立又存在一定的聯系，解析過程整體上可采用分步突破的策略，即結合設問分別構建模型，結合條件逐個突破，同時關注小問之間的聯系，合理利用每一問推導的結論拓寬思路、簡化求解過程. 如上述破解第（2）問時，第①題為獨立完成相似證明，而求解第②題時則充分利用第①題的相似結論，直接推導出線段比例關系. 教學中教師要引導學生掌握整體思考、局部分析的策略，將“分步突破”與“關聯思考”有機結合，從而形成良好的解題習慣.

2. 把握核心，總結方法

破解二次函數綜合題時，往往需要圍繞問題核心開展深入思考，逐步拆解轉化，從而讓復雜問題簡單化. 以上述第（3）問為例，解析時圍繞面積比例條件構建模型，開展等面積轉化，進而結合條件推導出關鍵點的坐標，最后確定交點的橫坐標. 解后探究要善于把握解法核心，進行方法總結，并適度拓展，形成關聯問題的解題策略. 即上述問題中關于面積比例條件的轉化思路，形成了相似轉化和等線段轉化兩大策略，并分別建立了對應的轉化模型. 教學中，教師要引導學生進行解后反思，總結解題的方法和思路，并構建模型，形成類型題的破解策略.

3. 滲透思想，提升素養

二次函數綜合題的破解過程可視為基于數學思想的分段構建，即在數學思想的指導下進行模型構建、條件轉化、推理計算. 以上述考題的核心之問的破解為例，總體上采用了數形結合的破解策略，構建面積模型，轉化面積比例條件，推導關鍵點坐標，分類討論逐步求解. 其中滲透了數形結合、數學模型、化歸與轉化、分類討論等思想方法. 在實際解題教學中，教師要注重思想方法的合理滲透，要讓學生感悟數學思想的內涵，養成結合數學思想思考問題的習慣，從而逐步提升學生的數學素養.