《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自畫像》

本書作者以幽默、直白的文字，為讀者打開了“數(shù)學(xué)家”世界的門：數(shù)學(xué)家每天都在做些什么？許多取得突破性進(jìn)展的數(shù)學(xué)研究是如何發(fā)起、推進(jìn)的？為什么一個(gè)理論或證明可以和“美麗”“漂亮”這些形容詞相連？應(yīng)用數(shù)學(xué)與普通人的生活究竟有什么關(guān)系？當(dāng)數(shù)學(xué)在它所涵蓋的大部分領(lǐng)域仍是一個(gè)完美的謎，本書對(duì)回答所有這些問題做了一次不完美卻真誠(chéng)的嘗試。

[法]皮埃爾-路易·利翁

法蘭西公學(xué)院偏微分方程和應(yīng)用教授，對(duì)現(xiàn)代非線性偏微分方程做出了革命性的貢獻(xiàn)，他所提出的“粘性解”概念為這一領(lǐng)域打開了全新的大門，是首位給出玻爾茲曼方程的解并提出證明的數(shù)學(xué)家；擔(dān)任華為拉格朗日數(shù)學(xué)計(jì)算中心科學(xué)委員會(huì)主席，在與華為的合作中專注于將平均場(chǎng)博弈論用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃。

《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自畫像》

[法]皮埃爾-路易·利翁 著 法臨婧 譯

文匯出版社/2023.2/62.00元

如果說在我的職業(yè)生涯中有什么恒定的東西，那就是我只做我想做的，這一點(diǎn)直到今天也是如此。我最終選擇的博士論文題目與導(dǎo)師的建議一點(diǎn)兒關(guān)系也沒有，人是不會(huì)徹底改變的，如果有人強(qiáng)迫我接受一個(gè)自己不感興趣的課題，那么他在我這里將一無所獲，或者收獲很少。我內(nèi)心深處的拖延癥將會(huì)覺醒：我在一次奧數(shù)考試，更有甚者，在一次高師的入學(xué)考試中睡著了。但如果給我一個(gè)能激發(fā)起我好奇心的問題，我將不眠不休，直到把它解決。我是一個(gè)熱情的人，有著地中海人那種對(duì)午睡的熱愛，但也能很快振奮起來，就像所有熱情的人一樣，我會(huì)很快對(duì)自己感興趣的東西著迷。

我起草的博士論文題目是《非線性偏微分方程的幾種類型及其數(shù)字解決方法》。我承認(rèn)，它讀起來不像小說那樣引人入勝，確實(shí)也有些題目看上去更加幽默風(fēng)趣一些，因?yàn)楸M管我提倡一種不復(fù)雜、去神秘化的數(shù)學(xué)方法，但我上過的預(yù)科班、高師、著名科研機(jī)構(gòu)的主旨都不是培養(yǎng)喜劇人才。不過請(qǐng)別害怕，也不要馬上把這本書合上。事實(shí)上，這個(gè)令人費(fèi)解的標(biāo)題背后隱藏著一些極其平常的經(jīng)驗(yàn)，它充斥著我們的日常生活。

這個(gè)題目屬于我在科研生涯中主要研究的幾個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一：偏微分方程。它是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)子類別，正如我在前文中解釋的那樣，數(shù)學(xué)分析涉及物理、化學(xué)或工程等領(lǐng)域的具體問題，它通過提取其中隱藏的數(shù)學(xué)元素來嘗試解決它們。事實(shí)就是如此：在我們的周圍，數(shù)學(xué)無處不在，它存在于我們身邊的大自然、我們呼吸的空氣、我們的汽車、阿麗亞娜火箭中，以及行星的運(yùn)行里……無論我們將目光投向何處，我們的雙眼凝視的都是“數(shù)學(xué)”，或者更確切地講，是用數(shù)學(xué)語言來詮釋的物體或現(xiàn)象。而這種詮釋的工作正是分析學(xué)家的使命。

直到文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)家的研究主要圍繞著固定的、堅(jiān)實(shí)的物體。那是一個(gè)由代數(shù)或幾何統(tǒng)治的時(shí)代。簡(jiǎn)單來說，就是要對(duì)一個(gè)穩(wěn)定、靜態(tài)的環(huán)境中的長(zhǎng)、寬、高進(jìn)行量化分析。到了18世紀(jì)，瑞士人萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）——那個(gè)時(shí)代最重要的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家之一，奉普魯士國(guó)王之命為其建造一座噴泉。作為一個(gè)好奇而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)家，他想借此機(jī)會(huì)研究一下水的運(yùn)動(dòng)，目的是用數(shù)學(xué)的術(shù)語來描述水流，即對(duì)水流的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。他其實(shí)沒有必要做那么多，因?yàn)榻o他的命令僅僅是建造一座噴泉而已，但我相信他絕不會(huì)錯(cuò)過這樣一個(gè)好機(jī)會(huì)來創(chuàng)造前所未有的方程式——一個(gè)全新的領(lǐng)域。

這項(xiàng)挑戰(zhàn)并不容易，因?yàn)椴幌耖L(zhǎng)方形或我父親切割過的那段原木，噴泉中的水不是靜止的，它處于永恒的運(yùn)動(dòng)中，并受多個(gè)變量的影響：速度、密度、周圍空氣的壓力、經(jīng)過的時(shí)間……由此可以看出，我們無法像量化圓柱體的表面積那樣去量化水流。為了克服這個(gè)困難，歐拉后來發(fā)明了一種全新的方程式寫法：偏微分方程。它允許在方程式中加入諸多變量作為補(bǔ)充條件，但這還不是全部。由于這些變量的值在不同的位置上可能是不同的（例如水不會(huì)以相同的速度流向四面八方），因此需要加入一個(gè)不限定的未知數(shù)，比如任意一點(diǎn)的速度，即未知函數(shù)。此外，它們不是也不可能是線性的。增加原因也不會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)的結(jié)果，可見，增加兩種流體的速度沒有任何意義，這些方程是非線性的，因此通稱為非線性偏微分方程。

這個(gè)水流模型順理成章地被命名為“歐拉模型”，它為數(shù)學(xué)分析開辟了一個(gè)新領(lǐng)域：流體動(dòng)力學(xué)。在水之后，數(shù)學(xué)家又把目光轉(zhuǎn)向了其他液體，然后是氣體，它們都屬于非線性偏微分方程的大家庭。而空氣一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，自從牛頓為現(xiàn)代科學(xué)引入了新的變量——加速度，即“速度的速度”以來，情況更是如此。

18世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·勒朗·達(dá)朗貝爾（Jean Le Rond d’Alembert）對(duì)空氣的流動(dòng)模型進(jìn)行了研究。它以牛頓開發(fā)的模型為依據(jù)，其研究結(jié)果“達(dá)朗貝爾悖論”實(shí)在令人震驚：在按照牛頓原理所建的模型中，鳥類竟然是無法飛行的！這與我們的觀察顯然不符。

很明顯，牛頓的模型沒能經(jīng)得起實(shí)驗(yàn)，歐拉的模型也是一樣，方程中應(yīng)該還缺了點(diǎn)兒什么。19世紀(jì)時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·納維（Henri Navier）和英國(guó)物理學(xué)家喬治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）開始著手解決這一悖論。他們以歐拉模型為基礎(chǔ)，引入了其中缺失的概念——“粘性”，這一術(shù)語背后隱藏的是空氣的阻力，我們可以通過在高速公路上打開車窗，把手伸向外面來進(jìn)行驗(yàn)證。相對(duì)于“阻力”，人們有時(shí)更喜歡使用“摩擦”一詞，因?yàn)檫@種效應(yīng)可以看作是分子之間的摩擦。在導(dǎo)入粘性這一概念后，鳥兒終于可以飛翔了。

這項(xiàng)工作催生了新的理論模型，它被稱為“納維-斯托克斯方程”，用以紀(jì)念這兩位科學(xué)家。該方程可以準(zhǔn)確地描述氣體和大多數(shù)液體的流動(dòng)，這一革命使應(yīng)用數(shù)學(xué)得以發(fā)展。200年后，納維-斯托克斯方程被廣泛應(yīng)用于與流動(dòng)的液體或氣體相關(guān)的各種工業(yè)領(lǐng)域，沒有它就沒有飛機(jī)，沒有內(nèi)燃機(jī)，沒有水力大壩，也沒有電影《泰坦尼克號(hào)》。