輸入受限下機(jī)器人關(guān)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

摘要：針對機(jī)器人關(guān)節(jié)控制輸入受限以及動力學(xué)模型中存在非線性摩擦、柔性變形和未知外部干擾力矩等問題，提出了一種基于徑向基函數(shù)（radial basis function， RBF ）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入飽和指令濾波自適應(yīng)控制方法?；谥噶顬V波反步法，采用飽和函數(shù)約束控制輸入的幅值，使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近未知干擾，并利用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的所有誤差最終一致有界。仿真結(jié)果表明，控制算法不僅使系統(tǒng)的控制輸入幅值被嚴(yán)格約束在規(guī)定的范圍之內(nèi)，完成了對目標(biāo)軌跡的高精度跟蹤（跟蹤誤差約為±0.003 rad），而且還可抵抗外部階躍干擾力矩和建模誤差對控制系統(tǒng)的不良影響，保證系統(tǒng)的高精度與強(qiáng)魯棒性，性能優(yōu)于 PID （propotional integral derivative）控制和普通指令濾波反步控制（command filter backstepping control， CFBC），對機(jī)器人關(guān)節(jié)在高精度領(lǐng)域應(yīng)用與智能控制具有重要價值。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人關(guān)節(jié)；輸入受限；指令濾波反步法；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；自適應(yīng)控制系統(tǒng)

中圖分類號：TP273.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1000-582X（2023）06-101-11

Neural network adaptive control of the robot joint with limited input

LEIYuan， LICong， SONGYankui， LI Junyang， WANGSen

（State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400044， P. R . China）

Abstract： An adaptive control method of input saturation command filtering based on radial basis function （RBF） neuralnetworkwasproposedtosolvetheproblemsoflimitedcontrolinput，nonlinearfriction，flexible deformation and unknown disturbance torque in the dynamic model of the robot joint. Based on the instruction filter backstepping method， the saturation function was used to constrain the amplitude of control input and the RBF neural network was used toapproach the unknowndisturbances . All theerrors of the closed-loopsystem were proved ultimately uniformly bounded by using the Lyapunov stability theory. The simulation results show that the proposed control algorithm not only makes the control input amplitude of the system strictly constrained withinthespecified range， butalsocompletes the high-precisiontrackingof the target trajectory （the tracking error is about ±0.003 rad）. It can also resist the adverse effects of external step disturbance torque and modeling error on the control system ， ensuring high accuracy and strong robustness of the system . The performance of the proposedcontrolmethodisbetterthanPID （propotionalintegralderivative） controlandordinaryCFBC （command filter backstepping control） methods . It is of great value to the application and intelligent control of the robot joint in high precision field .

Keywords： robot joint; limited input; command filtering backstepping; neural networks; adaptive control system

諧波減速器和永磁同步電機(jī)構(gòu)成的機(jī)器人關(guān)節(jié)在實(shí)際工況中會面臨多種復(fù)雜的非線性情況，諧波減速器依靠柔輪產(chǎn)生彈性機(jī)械波傳遞運(yùn)動和動力，在運(yùn)行時會受到柔性、摩擦等非線性傳動特性的不良影響[1]，還有不確定的外部干擾作用[2]，這些因素會對機(jī)器人關(guān)節(jié)的跟蹤精度產(chǎn)生不利影響，甚至影響關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]。大多數(shù)對機(jī)器人關(guān)節(jié)非線性控制的研究只注重系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和快速性，但由于系統(tǒng)物理?xiàng)l件的限制，控制系統(tǒng)只能產(chǎn)生幅值有限的控制輸入[4]，控制輸入超出執(zhí)行器的輸出上下限時，就會產(chǎn)生飽和現(xiàn)象，降低系統(tǒng)的跟蹤精度[5]，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

研究學(xué)者們對具有多種非線性因素影響和輸入受限的機(jī)器人關(guān)節(jié)提出了多種控制方法。張春雷等[6]考慮輸入飽和與輸出受限，采用障礙型李雅普諾夫函數(shù)以及反步法設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器。而傳統(tǒng)反步法會導(dǎo)致“復(fù)雜性爆炸”問題，王家序等[7]使用動態(tài)面控制，引入一階濾波器計(jì)算虛擬項(xiàng)微分解決了該問題，并結(jié)合 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成了關(guān)節(jié)存在干擾和摩擦?xí)r的軌跡跟蹤控制，但未考慮輸入受限情況。Fu 等[8]針對具有輸入飽和的感應(yīng)電動機(jī)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近非線性項(xiàng)，使用指令濾波技術(shù)處理“復(fù)雜性爆炸”問題。但是，濾波器會產(chǎn)生濾波誤差，影響控制精度，在控制系統(tǒng)中加以補(bǔ)償是一種常見的方法[9-10]。因此，有必要考慮系統(tǒng)輸入受限的情況，加入指令濾波反步法[11-12]，構(gòu)造誤差補(bǔ)償機(jī)制，提高控制精度。

筆者以諧波減速器和永磁同步電機(jī)構(gòu)成的機(jī)器人關(guān)節(jié)為研究對象，建立機(jī)電耦合動力學(xué)模型，與現(xiàn)有動力學(xué)模型相比更接近實(shí)際控制。基于指令濾波反步法，使用二階指令濾波器解決“復(fù)雜性爆炸”問題，同時構(gòu)造了誤差補(bǔ)償系統(tǒng)以抵消濾波器產(chǎn)生的濾波誤差，利用飽和函數(shù)約束機(jī)器人關(guān)節(jié)的控制輸入，在控制律中引入飽和補(bǔ)償，使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線自適應(yīng)逼近摩擦、外部干擾力矩和建模誤差等因素，設(shè)計(jì)輸入受限下的機(jī)器人關(guān)節(jié)的非線性自適應(yīng)控制策略。

1 機(jī)器人關(guān)節(jié)建模

根據(jù)Spong提出的柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)模型[13]和表貼式永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型[14]，建立機(jī)電耦合動力學(xué)模型：

式中：Jw、θw 、Bw、τw 分別為關(guān)節(jié)輸出端的轉(zhuǎn)動慣量、輸出角度、阻尼系數(shù)、外部干擾力矩；Jm、θm 、Bm分別為輸入端的轉(zhuǎn)動慣量、輸入角度、阻尼系數(shù)；Ks 為諧波減速器的剛度；N 為減速比；τf 為關(guān)節(jié)的摩擦力矩；ud、uq、id 、iq、Ld、Lq、ψd 、ψq 分別是永磁同步電機(jī)同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 d 軸和 q 軸上的定子電壓、電流、電感、磁鏈；R 為電機(jī)定子線圈電阻；Pn為電機(jī)的極對數(shù)；ψf 表示永磁體磁鏈。

摩擦力矩τf 采用Lugre摩擦模型[]7進(jìn)行描述：

式中： t 表示時間；σ0表示接觸面鬃毛剛度；σ1為鬃毛阻尼系數(shù)；σ2為粘性摩擦系數(shù)；z 為鬃毛的平均變形量；τc 為庫侖摩擦力矩；τs 為靜摩擦力矩；q. s 為Stribeck切換速度； g （ q.1）為有界函數(shù)。

定義狀態(tài)變量 x 1 =θ w ，x2 = θ?w，x3 =θ m ，x4 = θ?m，x5 = iq，x6 = id ，系統(tǒng)的輸出為 y 1 = x 1，y2 = x2，將式（1）轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程的形式：

考慮建模過程中存在的誤差和未知外部干擾力矩的影響，以及控制系統(tǒng)輸入受限問題，則機(jī)器人關(guān)節(jié)的狀態(tài)方程（3）可寫為

式中：u q（*）、 u d（*）是考慮輸入受限的待設(shè)計(jì)控制輸入； g 1 =1， g2 = Ks Jw N ， g3 =1， g4 =3pn ψ f 2Jm， g5 =1 Lq，g6 =1 Ld。

定義 x =[ x 1 x2 x3 x4 ]T ，則f 1 =0，f3 =0。分別將f2（ x 1 ，x2）、f4（ x 1 ，x3 ，x4）、f5（ x4 ，x5 ，x6）和f6（ x4 ，x5 ，x6）寫為f2（ x ）、f4（ x ）、f5（ x ）和f6（ x ），對上述已知函數(shù)化簡整理得：f 1 =0，f2（ x ）=-（ Ks x 1 +τw ） Jw，f3 =0， f4（ x ）=-Bm x4 Jm + Ks （ x3 N - x 1） Jm N，f5（ x ）=-Rx5 Lq - pn x4（ Ld x6+ψ f ） Lq，f6=-Rx6 Ld - pnLq x4 x5 Lq。

綜合考慮動力學(xué)方程中的摩擦、外部干擾以及建模誤差，將這些因素統(tǒng)一為干擾 di ，i=1，2，3，4。根據(jù)式（3）， di 定義為：d1 =（τw +τf +τ1） Jw + 2 + fˉ2（ x ）， d2 =τ2 Jm + 4 + fˉ4（ x ）， d3 =τ3 Lq + 5 + fˉ5（ x ）， d4 =τ4 Ld + 6 +fˉ6（ x ）。其中2、4、5、6、fˉ2（ x ）、fˉ4（ x ）、fˉ5（ x ）、fˉ6（ x ）表示由動力學(xué)模型中某些參數(shù)變化而產(chǎn)生的建模誤差。

2 機(jī)器人關(guān)節(jié)控制器設(shè)計(jì)

2.1 指令濾波器

指令濾波器的狀態(tài)空間形式[11-12]如下：

式中：ω n 表示濾波器的固有頻率；ζ 為阻尼系數(shù)；α i為指令濾波器的輸入信號；zi， 1和 zi，2為指令濾波器的狀態(tài)變量，α i（c） = zi， 1， α?i（c） =ω n zi，2分別表示輸入信號αi的濾波信號和該濾波信號的導(dǎo)數(shù)。指令濾波器的初始狀態(tài)為：α i （0）= zi ，1（0），zi ，2（0）=0。

2.2RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

給定任意連續(xù)函數(shù)f （ z ），RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其逼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式[15]為

式中： z ∈Ω? R n 為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量；Ω 表示 Rn 上的緊集， n 為 z 的維數(shù)； h（z）為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)向量； W * ∈ RM 為理想權(quán)值向量，這里的 M是隱含層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)，用 W? 表示 W *的估計(jì)值； W * T h （ z ）為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出；ε*為逼近誤差且滿足|ε*|≤εM。

則 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對 di 的估計(jì)誤差 dˉi為

式中： d?i = W? iT hi （ zi ），為 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出； WˉiT = W? iT - WiT ，為 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的估計(jì)誤差。

2.3 輸入受限下系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

控制輸入超出了電機(jī)驅(qū)動器的輸出上下限時，發(fā)生輸入飽和現(xiàn)象，超出的部分會影響機(jī)器人關(guān)節(jié)的跟蹤誤差，則需利用指令濾波反步控制法中的誤差補(bǔ)償機(jī)制，在控制律中引入飽和補(bǔ)償，并使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近建模誤差、摩擦、外部干擾力矩等因素。輸入受限下的機(jī)器人關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)步驟如下。

定義誤差變量

式中：xi，c （ i =2，3，4，5）是每一步推導(dǎo)出來的虛擬控制量αi -1（ i =2，3，4，5）通過指令濾波器的輸出信號，當(dāng)i為1時，x 1，c = xd，x? 1，c = x?d ， xd表示參考軌跡。

定義跟蹤誤差補(bǔ)償信號

式中，ξi為待設(shè)計(jì)的信號，其定義為

式中，ki gt;0。

由式（4）（8）和（9）對 v 1求導(dǎo)得到

k1 gt;0，設(shè)計(jì)虛擬控制量α1為

把式（12）和（10）帶入式（11）中有

由式（4）（8）和（9）對 v2求導(dǎo)得到

使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近d1，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

式中：z 1 =[ x 1 x2]；γ1 gt;0；η1 gt;0。η1和γ1為 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

設(shè)計(jì)虛擬控制量α2為

把式（16）和（10）帶入式（14）中有

由式（4）（8）和（9）對 v3求導(dǎo)有

設(shè)計(jì)虛擬控制量α3為

把式（19）和（10）帶入式（18）中有

由式（4）（8）和（9）對 v4求導(dǎo)有

使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近d2，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

式中：z2 =[ x3 x4]，γ2 gt;0，η2 gt;0。

設(shè)計(jì)虛擬控制量α4為

α4=（-k44+ x?4，c -f4（ x ）- g4 v3- d?2） g4。

把式（23）和（10）帶入式（21）中得到

v?4= g4 v5- k4 v4- g4 v3+ dˉ2。

由式（4）（8）和（9）對 v5求導(dǎo)有

v?5= g5 uq +f5（ x ）+ d3- x?5，c - ξ?5。

若不考慮輸入受限，uq = u q（*），ξ5 =0。考慮輸入受限時，引入飽和補(bǔ)償機(jī)制，ξ5的定義如下： ξ?5=-k5ξ5+ g5（ uq - u q（*））。

式中，k5 gt;0。使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近d3，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

3=γ3（ h3（ z3） v5-η3 W? 3 ）。

式中：z3 =[ x5 x6]T ；γ3 gt;0；η3 gt;0。

設(shè)計(jì) q 軸的控制輸入為

u q（*）=α5=（-k55+ x?5，c -f5（ x ）- v4- d?3） g5。

把式（28）和（26）帶入式（25）中有

v?5=-k5 v5- v4+ dˉ3。

為了求解 v?6，設(shè)電機(jī) d 軸期望電流為x6d =0，定義第6個誤差變量為

6= x6- x6d。

定義補(bǔ)償變量

v6=6 -ξ6。

當(dāng)不考慮輸入受限時，ud = u d（*），ξ6 =0。考慮輸入受限時，ξ6的定義如下：

ξ?6=-k6ξ6+ g6（ ud - u d（*））。

使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近d4，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

4=γ4（ h4（ z4） v6-η4 W? 4 ）。

式中：z4 =[ x5 x6]T ；γ4 gt;0；η4 gt;0。

設(shè)計(jì) d 軸的控制輸入為

ud =（-k66+ x?6d -f6（ x ）- d?4） g6。

由式（4）（30）～（32）和（34）得

v?6=-k6 v6+ dˉ4。

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判斷定理定義如下函數(shù)：

V = v 1（2）+ v 2（2）+ v 3（2）+ v 4（2）+ v 5（2）+ v 6（2）+μ-j1 Wˉj T Wˉj。

式中：μ1 = g2γ1，μ2 = g4γ2，μ3 =γ3，μ4 =γ4。

由式（13）（17）（20）（24）（29）（35）（36）可得

V? = - v i（2）- k5 v 5（2）- k6 v 6（2） + v2 dˉ1+ v4 dˉ2+ v5 dˉ3+ v6 dˉ4+μ-j1 Wˉj Tj。

由式（7）（15）（22）（27）（33）（37）可得

V? = - v i（2）- k5 v 5（2）- k6 v 6（2）- Wˉ1 T W? 1 - Wˉ2 T W? 2 -ηj Wˉj TW?j + v2ε1+ v4ε2+ v5ε3+ v6ε4。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]有不等式

- Wˉj T W?j≤ （ Wj 2- Wˉj2）。

V? ≤ - （ki - ）v i（2）-（k5- ）v 5（2）-（k6- ）v 6（2） -η m μ m μ-j1Wˉj2+ ε1（2）+ ε2（2）+ε3（2）+ε4（2）。

式中：η m 、μ m 為ηi、μi中的最大值。為了簡化表達(dá)式，令上式中各參數(shù)滿足 ki ≥ r +12（ i =1，2，3，...，6）；η m μ m ≥ r ，這里 r為待設(shè)計(jì)的正實(shí)數(shù)；eM =（12g2 +12g4 +2）εM（2）。從而有

由文獻(xiàn)[7]求解不等式（41）得：以時間 t 為變量的 V （t ）指數(shù)收斂， V （t ）最終以2r 為界。通過設(shè)計(jì)控制器參數(shù) ki 和 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)ηj 和γj ，可以使2r 的值任意小。由式（36），當(dāng) t →∞時， vi ≤vM，vM為極小的正常數(shù)。由式（9）可得

i = vi +ξi。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，濾波誤差的補(bǔ)償信號滿足

limi≤ηρkmin。

式中：ρ為正常數(shù)；kmin是 ki 的最小值。

由式（42）和（43）可知

limi≤vM +μρkmin。

通過設(shè)計(jì)控制器參數(shù) ki 和 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)ηj 和γj ，并選擇合理的指令濾波器參數(shù)ωn 和ζ，可以使i指數(shù)趨近于到零附近的一極小的范圍內(nèi)。設(shè)置參數(shù) ki 、ηj 和γj 越大，系統(tǒng)的誤差越小，當(dāng) t →∞時，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出 x 1指數(shù)趨近于參考軌跡xd。

4 仿真分析

在Matlab/Simulink 中對本文所提出控制算法的有效性和魯棒性進(jìn)行仿真分析。機(jī)器人關(guān)節(jié)的動力學(xué)名義參數(shù)參照文獻(xiàn)[7]和[16]，機(jī)器人驅(qū)動關(guān)節(jié)模型參數(shù)如表1所示。

本研究中利用3個仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證：對比有無輸入受限控制策略的跟蹤性能與運(yùn)行效果；驗(yàn)證控制器在考慮輸入受限以及存在建模誤差和負(fù)載端階躍干擾作用下的跟蹤性能和穩(wěn)定性；對比 PID 控制器、沒有干擾補(bǔ)償?shù)钠胀ㄖ噶顬V波反步控制器（ CFBC ）與本研究中提出控制方法的跟蹤性能。

4.1 有無輸入受限下的仿真分析

機(jī)器人關(guān)節(jié)的初始狀態(tài)為[000000]T ?？刂破骺刂茀?shù)： k1=200， k2=100， k3=500， k4=50， k5=50，k6=10。指令濾波器的固有頻率ωn =3000，阻尼系數(shù)ξ=0.8。根據(jù)動力學(xué)模型的參數(shù)與電機(jī)參數(shù)，將系統(tǒng)存在的摩擦視為干擾，設(shè)置加載至關(guān)節(jié)輸出端的外部干擾力矩為：τ1 =[10-5sin（2t ）] N .m ；電機(jī)端的干擾力矩：τ2 =[0.1+0.05sin （10t ）] N .m ；d 軸與 q 軸的干擾分別為：τ3 = sin （2t ） V ，τ4 =0.1sint V 。

設(shè)置干擾 di （i=1，2，3，4）的4個 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣的初始值均取0。RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律的參數(shù)：γ1=1818，γ2=2000，γ3=12658，γ4=182，η 1=0.00110，η2=0.00100，η3=0.00001，η4=0.00100。定義 d 軸和 q 軸的控制輸入電壓限制分別為[1.5， 1.0] V 和[10， 10] V 。

圖1和2分別為有無輸入限制下電機(jī) d 軸和 q 軸的控制輸入。從圖1中可知 t=0 s 后的小段時間內(nèi)，控制輸入電壓超過了給定的范圍。從2圖中看出由于飽和函數(shù)和設(shè)計(jì)的飽和補(bǔ)償機(jī)制， t=0 s 后的短時間內(nèi)， d 軸和 q 軸的控制輸入被嚴(yán)格約束在給定的控制輸入范圍內(nèi)。

圖3為無輸入限制和帶有輸入飽和補(bǔ)償?shù)母櫿`差圖。在控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)一致、受到相同摩擦和外部干擾作用下，2種控制器的跟蹤誤差曲線幾乎重合，且都能以很小的誤差（約為±0.003 rad）跟蹤期望軌跡，說明了帶飽和補(bǔ)償?shù)目刂撇呗酝瑯泳哂袃?yōu)越的跟蹤性能，并可嚴(yán)格約束控制輸入，保護(hù)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)。

4.2 建模誤差和干擾下的仿真分析

假設(shè)系統(tǒng)存在建模誤差，參數(shù)變化如表2所示。在 t=5 s 時，在負(fù)載端又加載10 N?m的階躍干擾力矩，以驗(yàn)證控制器的魯棒性，負(fù)載端的干擾力矩為：τ1 =[10-5sin （2t ）] N ? m ， （ t lt;5）；τ1 =[20-5sin （2t ）] N ? m，（ t ≥5）。選取位移參考信號xd = 1- cos （0.5πt ）。

存在建模誤差和干擾情況下系統(tǒng)的控制輸入如圖4所示。在 t=0 s 和t=5 s 時刻，在干擾的作用下，控制輸入雖然出現(xiàn)短時間的抖動，但是由于輸入飽和補(bǔ)償機(jī)制，系統(tǒng)控制輸入被限制在規(guī)定的范圍內(nèi)。

圖5為 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對摩擦力矩、建模誤差和外部干擾的估計(jì)。在 t=5 s 時由于外部階躍干擾力矩的作用，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)效果變差，干擾估計(jì)曲線出現(xiàn)突變，但在很短時間內(nèi)收斂于實(shí)際干擾值。

圖6為存在建模誤差和外部階躍干擾時的控制器對參考軌跡的跟蹤效果?？刂破鲗⒖架壽E的跟蹤誤差如圖7所示。在有建模誤差時，采用輸入飽和補(bǔ)償?shù)目刂破骺梢粤己米粉櫰谕€，當(dāng)出現(xiàn)外部階躍干擾力矩時，位置軌跡出現(xiàn)偏差，跟蹤誤差迅速增大至-0.04 rad ，其后由于 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)時逼近干擾，跟蹤誤差經(jīng)過短時間的波動，迅速收斂至未加入階躍干擾前的水平（約為±0.003 rad）。

4.3 不同控制器跟蹤性能的仿真分析

在摩擦和不確定干擾作用下且模型參數(shù)確定時，對比 PID 控制器、沒有干擾補(bǔ)償?shù)钠胀ㄖ噶顬V波反步控制器（ CFBC ）與本文中提出的控制方法的跟蹤性能。CFBC 控制器參數(shù)與本文中設(shè)計(jì)的控制器相同。q 軸 PID 控制器的參數(shù)為：kp =200，ki=0.1，kd=0；d 軸 PID 控制器參數(shù)為：kp =50，ki=0.1，kd=10。

圖8為不同控制器的軌跡跟蹤效果，3 種控制器均能實(shí)現(xiàn)對參考軌跡一定精度的跟蹤，從局部放大圖中可以看出，本文中提出的控制方法輸出軌跡最接近參考軌跡。圖 9為不同控制器的軌跡跟蹤誤差圖，可知 PID 控制器在階躍干擾后的軌跡跟蹤誤差范圍在±0.06 rad 以內(nèi)，普通 CFBC 在0.027 rad 到0.003 rad 之間，普通 CFBC 的最大跟蹤誤差僅為 PID 的45%，而本研究中設(shè)計(jì)的控制器跟蹤誤差在±0.003 rad 之間，最大跟蹤誤差為普通 CFBC 的12%。所提出的控制算法雖然受外界干擾的突變程度高于其他2種控制器，但整體的跟蹤精度更高。

5 結(jié)論

研究了在摩擦、外部干擾和建模誤差作用下的機(jī)器人關(guān)節(jié)輸入受限非線性自適應(yīng)控制。使用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近關(guān)節(jié)動力學(xué)模型中的摩擦、外部干擾和建模誤差等未知項(xiàng)，在控制律中引入飽和補(bǔ)償機(jī)制約束機(jī)器人關(guān)節(jié)的控制輸入，構(gòu)造系統(tǒng)的 Lyapunov 函數(shù)驗(yàn)證了閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性和控制器的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果證明了基于 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指令濾波反步控制算法的有效性，設(shè)計(jì)的輸入飽和補(bǔ)償機(jī)制能夠嚴(yán)格限制控制輸入的幅值大小，有無輸入限制的控制器穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差曲線幾乎重合，誤差大小均在±0.003 rad 范圍內(nèi)，表明了控制器可以在摩擦、外部干擾、建模誤差以及控制輸入受限作用下保持良好跟蹤控制性能，跟蹤精度高于 PID 控制器和普通 CFBC 控制器，控制算法具有較強(qiáng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)

[1] Zhang H B ， Pan B ， Wang L ， et al. Non-linear dynamic modeling and experiment of harmonic gear drive[J]. Applied Mechanicsand Materials， 2014， 668/669：217-220.

[2] 魏新江 ， 張林青.一類隨機(jī)系統(tǒng)基于干擾觀測器的抗干擾控制[J].控制與決策 ， 2017， 32（5）：939-942.

Wei XJ， ZhangL Q . Anti-disturbancecontrolforastochasticsystems withdisturbances basedondisturbanceobserver[J]. Control and Decision， 2017， 32（5）：939-942.（in Chinese）

[3] 陳正升 ， 王雪松 ， 程玉虎.考慮擾動與輸入飽和的機(jī)械臂連續(xù)非奇異快速終端滑模控制[J].控制與決策 ， 2022， 37（4）：903-912.

ChenZS ， WangXS ，Cheng YH . Continuousnonsingularfastterminalslidingmodecontrolof manipulatorconsidering disturbance and input saturation[J]. Control and Decision， 2022， 37（4）：903-912.（in Chinese）

[4] Chen M ， Tao G ， Jiang B . Dynamic surface control using neural networks for a class of uncertain nonlinear systems with inputsaturation[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems， 2015， 26（9）：2086-2097.

[5] 魏青銅 ， 陳謀 ， 吳慶憲.輸入飽和與姿態(tài)受限的四旋翼無人機(jī)反步姿態(tài)控制[J].控制理論與應(yīng)用 ， 2015， 32（10）：1361-1369.

WeiQT，ChenM ，WuQX . Backstepping-basedattitudecontrolforaquadrotorUAVwithinputsaturationandattitude constraints[J]. Control Theory amp; Applications， 2015， 32（10）：1361-1369.（in Chinese）

[6] 張春蕾 ， 王立東 ， 高闖 ， 等.輸入飽和及輸出受限的純反饋非線性系統(tǒng)控制[J].控制工程 ， 2021， 28（3）：531-539.

Zhang C L ， Wang L D ， Gao C ， et al. Pure feedback nonlinear system control with input saturation and output constraints[J]. Control Engineering of China， 2021， 28（3）：531-539.（in Chinese）

[7] 王家序 ， 劉彪 ， 李俊陽 ， 等.諧波驅(qū)動系統(tǒng)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2015， 43（10）：81-86.

Wang J X ， Liu B ， Li J Y， et al. Adaptive neural-network dynamic surface control of the harmonic drive system[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology （Natural Science Edition）， 2015， 43（10）：81-86.（in Chinese）

[8] Fu C ， Zhao L ， Yu J P， et al. Neural network-based command filtered control for induction motors with input saturation[J]. IETControl Theory amp; Applications， 2017， 11（15）：2636-2642.

[9] SuJY，ChenWH ，LiBB . Highorderdisturbanceobserverdesignforlinearandnonlinearsystems[C]//2015 IEEEInternational Conference on Information and Automation， August 8-10， 2015， Lijiang， China .IEEE ， 2015：1893-1898.

[10] Lee K ， Ha W， Back J . Overview of disturbance observation techniques for linear and nonlinear systems[J]. Journal of Instituteof Control， Robotics and Systems， 2016， 22（5）：332-338.

[11] FarrellJ A ，PolycarpouM ，SharmaM ，etal. Commandfiltered backstepping[J]. IEEETransactionson AutomaticControl，2009， 54（6）：1391-1395.

[12] Dong WJ， Farrell J A ，Polycarpou MM ， et al. Commandfilteredadaptive backstepping[J]. IEEETransactionsonControlSystems Technology， 2012， 20（3）：566-580.

[13] Spong M W. Modeling and control of elastic joint robots[J]. Journal of Dynamic Systems， Measurement， and Control， 1987，109（4）：310-318.

[14]姚光耀.永磁同步電機(jī)全速域無位置傳感器矢量控制系統(tǒng)研究[D].徐州：中國礦業(yè)大學(xué) ， 2018.

Yao G Y. Research on full speed sensorless vector control system of permanent magnet synchronous motor[D]. Xuzhou： China University of Mining and Technology， 2018.（in Chinese）

[15]劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制 MATLAB 仿真：基本理論與設(shè)計(jì)方法[M ].3版.北京：清華大學(xué)出版社 ， 2015.

LiuJ K . Sliding modecontroldesignandMATLABsimulation： the basic theoryanddesign method [M ].3rded . Beijing： Tsinghua University Press， 2015.（in Chinese）

[16] LuQ ，GangTQ ，HaoGB ，etal. Compoundoptimalcontrolof harmonicdriveconsideringhysteresischaracteristic[J].Mechanical Sciences， 2019， 10（2）：383-391.

（編輯羅敏）