考慮有色測量噪聲的Kalman平滑算法在pH計(jì)校準(zhǔn)電壓預(yù)估中的應(yīng)用

摘要：為了提高pH計(jì)校準(zhǔn)電壓預(yù)估精度，提出考慮有色測量噪聲的Kalman平滑算法；該算法以電壓和電壓采集周期作為狀態(tài)向量，以設(shè)定的采樣周期和無線pH計(jì)所采集的電壓值作為觀測向量，構(gòu)建數(shù)據(jù)融合模型；以考慮有色測量噪聲的Kalman濾波作為前向?yàn)V波，通過馬氏距離計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻最優(yōu)的有色測量噪聲因子，利用Rauch-Tung-Striebel平滑算法對(duì)前向?yàn)V波的輸出值進(jìn)行平滑，最終得到當(dāng)前時(shí)刻電壓的預(yù)估值，并將所提出的算法應(yīng)用于pH計(jì)校準(zhǔn)電壓預(yù)估。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)Kalman濾波算法相比，所提出的算法的電壓預(yù)估的精度提高約10%。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)融合；電壓預(yù)估；Kalman平滑算法；有色測量噪聲

中圖分類號(hào)：TP23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

開放科學(xué)識(shí)別碼（OSID碼）：

Colored Measurement Noise Kalman Smoothing Algorithm for

Estimation of pH Meter Calibration Voltage

XING Wenfang¹， TUO Rui¹， LIU Juncong¹， LIU Aiyun¹， XU Yuan²

（1. The 53rd Research Institute of China Ordnance Industry， Jinan 250033， Shandong， China；

2. School of Electrical Engineering， University of Jinan， Jinan， 250022， Shandong， China）

Abstract： To improve the estimation accuracy of pH meter calibration voltage， a colored measurement noise （CMN） Kalman（cKalman） smoothing algorithm was proposed. For the data fusion model， the algorithm took voltage and voltage collection period as state vectors， and made the sampling period and voltage value collected by wireless pH meter as observation vectors to build a data fusion model. On this basis， the forward filtering adopted Kalman filtering under CMN， Rauch-Tung-Striebel smoothing algorithm was used to smooth the output value of forward filtering， then the cKalman smoothing algorithm was applied to the pH meter calibration voltage estimation. The experimental results show that the proposed method improves the accuracy of voltage estimation by about 10% compared with the traditional Kalman filtering algorithm.

Keywords： data fusion; voltage estimation; Kalman smoothing algorithm; colored measurement noise

收稿日期：2022-05-30 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)時(shí)間：2023-07-21T10∶27∶18

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61803175）

第一作者簡介：邢文芳（1973—），女，內(nèi)蒙古察哈爾右翼中旗人。高級(jí)工程師，研究方向?yàn)槎鄠鞲衅鲾?shù)據(jù)融合。E-mail： xingwenfang53@126.com。

通信作者簡介：拓銳（1981—），女，陜西延安人。副研究員，研究方向?yàn)槎鄠鞲衅鲾?shù)據(jù)融合。E-mail： tuorui77@163.com。

網(wǎng)絡(luò)首發(fā)地址：https：//kns.cnki.net/kcms2/detail/37.1378.N.20230720.1747.004.html

pH計(jì)校準(zhǔn)儀作為檢定pH計(jì)的重要儀器，在化學(xué)檢定領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用^［1-2］。作為pH計(jì)校準(zhǔn)儀校準(zhǔn)電壓的關(guān)鍵，對(duì)校準(zhǔn)電壓的準(zhǔn)確預(yù)估已經(jīng)成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)^［3-5］。

針對(duì)數(shù)據(jù)融合算法，目前應(yīng)用較為廣泛的為Kalman濾波器^［6-8］。例如分布式Kalman濾波算法已被應(yīng)用于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（inertial navigation system，INS）-超寬帶（ultra-wide band，UWB）行人組合導(dǎo)航定位中^［9］。賈嶸等^［10］在介電損耗測量方法中使用了Kalman濾波和加窗插值諧波分析法。同時(shí)，學(xué)者們提出一種基于Sage-Husa Kalman濾波的三相電壓暫降檢測方法^［11］，此外，一種自適應(yīng)Kalman濾波算法被應(yīng)用于協(xié)同定位領(lǐng)域^［12］。Zhang等^［13］面向即時(shí)定位與地圖構(gòu)建（simultaneous localization and mapping， SLAM），通過利用改進(jìn)的Kalman濾波算法提高了數(shù)據(jù)融合的精度。傳統(tǒng)的Kalman濾波方法雖然能夠?qū)δ繕?biāo)變量進(jìn)行有效估計(jì)，但是其濾波性能依賴于數(shù)據(jù)融合模型以及噪聲估計(jì)的精度。在算法的實(shí)際應(yīng)用過程中，對(duì)數(shù)據(jù)融合模型以及噪聲的精確估計(jì)是很難做到的^［14-15］。目前在數(shù)據(jù)融合模型的構(gòu)建中，通常都是采用固定的采樣周期，對(duì)因傳感器原因而造成的數(shù)據(jù)采樣周期小幅變化的情況考慮較少。為了克服傳統(tǒng)Kalman濾波算法依賴噪聲和數(shù)據(jù)融合模型精度的缺點(diǎn)，有學(xué)者將有限脈沖響應(yīng)濾波（finite impulse response， FIR）算法^［16］應(yīng)用于行人組合導(dǎo)航中。需要指出的是，上述數(shù)據(jù)融合模型均是假設(shè)觀測噪聲為高斯白噪聲，沒有考慮有色測量噪聲對(duì)數(shù)據(jù)融合算法的影響。

為了提高無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀中電壓預(yù)估精度，本文中提出一種考慮有色測量噪聲（colored mea-surement noise， CMN）的Kalman平滑算法（cKalman）。首先以電壓和電壓采集周期作為狀態(tài)向量，以設(shè)定的采樣周期和通過pH計(jì)采集到的電壓值作為觀測向量構(gòu)建數(shù)據(jù)融合模型；然后，采用cKalman平滑算法作為數(shù)據(jù)融合濾波算法，采用cKalman濾波作為前向?yàn)V波，通過馬氏距離實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)面向不同有色測量噪聲因子的計(jì)算，利用Rauch-Tung-Striebel（R-T-S）平滑算法對(duì)前向?yàn)V波的輸出值進(jìn)行平滑，進(jìn)一步提升預(yù)估精度。本文中首先介紹無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀基本結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀用cKalman平滑算法，然后將對(duì)該算法的性能進(jìn)行分析。

1 無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀基本結(jié)構(gòu)

無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀由檢定儀和平板電腦2個(gè)部分組成，其中檢定儀與待檢pH計(jì)進(jìn)行有線連接，用于在現(xiàn)場采集待檢pH計(jì)的電壓數(shù)據(jù)；采集到的電壓數(shù)據(jù)通過無線傳輸?shù)狡桨咫娔X中的上位機(jī)，通過上位機(jī)中的數(shù)據(jù)融合算法對(duì)待檢pH計(jì)的電壓進(jìn)行預(yù)估，最終完成對(duì)待檢pH計(jì)的檢定。需要指出的是，本文中提出的cKalman平滑算法將應(yīng)用于平板電腦的上位機(jī)軟件中。

2 無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀用cKalman平滑算法

2.1 數(shù)據(jù)融合模型

2.1.1 狀態(tài)方程

本文中所采用的狀態(tài)方程如式（1）所示。

式中：U_t為t時(shí)刻的電壓值；T_t為采樣周期。為了消除數(shù)據(jù)融合算法對(duì)采樣周期微小變化的影響，本文將T_t引入狀態(tài)向量，作為狀態(tài)向量的一個(gè)元素。U^-_t為t時(shí)刻的一步預(yù)估電壓，T^-_t為t時(shí)刻的一步預(yù)估采樣周期，U_t-1為t-1時(shí)刻的電壓；T_t-1為t-1時(shí)刻的采樣周期； w_t-1為t-1時(shí)刻系統(tǒng)噪聲。為了滿足期望是0，協(xié)方差是Q_t的高斯分布N（0，Q_t），其中，Q_t為狀態(tài)方程中系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差陣。

2.1.2 觀測方程

傳統(tǒng)的觀測方程如式（2）所示。

式中：U^_t為t時(shí)刻的通過無線pH計(jì)測量得到的電壓；T^_t為t時(shí)刻測量得到的采樣周期；v_t為t時(shí)刻測量噪聲。需要指出的是，目前主流的數(shù)據(jù)融合濾波算法的測量噪聲都是假設(shè)為高斯白噪聲，然而實(shí)際應(yīng)用中很難保證測量噪聲一直為白噪聲的情況。為了改進(jìn)上述問題，將v_t進(jìn)行改進(jìn)，

式中：ζ_t～N（0， R）為白噪聲，R為觀測方程中系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差陣；η_t為t時(shí)刻有色噪聲；μ為有色噪聲因子。

2.2 cKalman算法

由式（1）—（3）可得，

式中：x～_t為增廣狀態(tài)向量；F～為增廣系統(tǒng)矩陣；w～_t為增廣系統(tǒng)噪聲；z_t為增廣的觀測向量；v～_t為增廣測量噪聲。

然后得到t時(shí)刻的觀測向量y_t為

式中：J=H-Ω；v～_t～N（0，R～），v～_t為增廣之后新系統(tǒng)的測量噪聲，其滿足期望為0、觀測方程的協(xié)方差陣為R～的高斯分布，

式中Q為狀態(tài)方程的協(xié)方差陣。

由式（6）可得測量殘差l_t為

其協(xié)方差矩陣L_t=E（l_tl^T_t）可以通過下式進(jìn)行計(jì)算：

式中P_t-1為t-1時(shí)刻的誤差矩陣。

為了計(jì)算最小均方誤差（mean square error，MSE），cKalman平滑算法的預(yù)測誤差e_t為

其中K_t為t時(shí)刻的濾波增益。

綜上所述，考慮有色測量噪聲的Kalman濾波算法的迭代如下：

2.3 自適應(yīng)cKalman算法

從式（12）—（18）可以看出，傳統(tǒng)cKalman平滑算法中有色噪聲因子為預(yù)先設(shè)置的固定值，需要指出的是，在實(shí)際應(yīng)用過程中測量噪聲是復(fù)雜多變的，單一有色測量因子的設(shè)置難以滿足實(shí)際測量的要求。為了解決這一問題，更大限度地滿足實(shí)際測量的需求，本文中提出自適應(yīng)cKalman平滑算法，其基本架構(gòu)如圖2所示。

μ_i—有色噪聲因子，i=1，2，…， p， p為有色噪聲因子個(gè)數(shù)；η_t—t時(shí)刻的有色噪聲。

在自適應(yīng)cKalman濾波算法中，首先預(yù)先設(shè)定有色噪聲因子μ， i∈［1， p］，其中p為有色噪聲因子的個(gè)數(shù)。針對(duì)不同的μ_i，利用cKalman濾波算法進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)估，在此基礎(chǔ)上，利用式（19）計(jì)算每個(gè)μ_i時(shí)的馬氏距離η_it^［17］，然后將最小的μ_i為當(dāng)前時(shí)刻最優(yōu)的有色因子。當(dāng)前時(shí)刻最優(yōu)的cKalman預(yù)估為采用最優(yōu)有色因子μ_opt的狀態(tài)預(yù)估。

2.4 cKalman平滑算法

在前向?yàn)V波的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步提高電壓的預(yù)估精度，在本文中引入了R-T-S平滑算法，對(duì)前向?yàn)V波的輸出進(jìn)行后向平滑，得到最終的電壓預(yù)估值。最終的cKalman平滑算法的基本結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3 仿真驗(yàn)證

通過半物理仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證cKalman平滑算法的性能。首先介紹半物理仿真實(shí)驗(yàn)的設(shè)置，然后對(duì)cKalman平滑算法的電壓預(yù)估精度進(jìn)行分析。

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)定

在半物理仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓為100.05 mV，μ=0， 0.1， 0.2， 0.3， 0.4， 0.5， 0.6， 0.7， 0.8， 0.9， 1.0，電壓的采樣周期T=1 s。濾波器的初始值設(shè)置如下：

3.2 電壓預(yù)估精度

電壓測量、Kalman濾波算法以及cKalman平滑算法得到的絕對(duì)電壓誤差如圖4所示。從圖中可以看出，Kalman濾波算法和cKalman平滑算法都能夠使電壓預(yù)估的誤差減小，與Kalman濾波算法相比，cKalman平滑算法的電壓預(yù)測誤差更小。

圖5所示為電壓測量、Kalman濾波算法以及cKalman平滑算法電壓誤差的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，CDF）。從圖中可以看出，在CDF為0.9附近處，Kalman濾波算法的電壓誤差為1.30 mV，而cKalman平滑算法的電壓誤差為0.97 mV，與Kalman濾波算法相比，cKalman平滑算法的電壓預(yù)估精度提高了25.38%。從電壓測量、Kalman濾波算法以及cKalman平滑算法電壓的均方根誤差（root mean square error，RMSE）來看，電壓測量的RMSE為1.50 mV，傳統(tǒng)Kalman濾波算法的電壓RMSE為0.78 mV，與實(shí)際測量值相比，電壓預(yù)估精度提高了48%。同時(shí)，本文所提出的cKalman平滑算法的電壓RMSE為0.63 mV，與測量值相比，預(yù)估精度提高了58%。綜上所述，cKalman平滑算法能夠有效的提高電壓預(yù)估的精度。

4 結(jié)論

本文中提出了一種用于無線pH計(jì)校準(zhǔn)儀電壓預(yù)估的cKalman平滑算法。首先構(gòu)建數(shù)據(jù)融合模型，以電壓和電壓采集周期作為狀態(tài)向量，以設(shè)定的采樣周期和通過無線pH計(jì)采集到的電壓值作為觀測向量；然后，數(shù)據(jù)融合濾波算法cKalman平滑算法，前向?yàn)V波采用cKalman濾波，通過馬氏距離計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻最優(yōu)的CMN因子，在此基礎(chǔ)上，利用R-T-S平滑算法對(duì)前向?yàn)V波的輸出值進(jìn)行平滑，進(jìn)一步提升電壓預(yù)估精度。仿真實(shí)驗(yàn)表明，cKalman平滑算法能夠有效提高電壓預(yù)估的精度，與傳統(tǒng)Kalman濾波算法相比，該算法的電壓預(yù)估精度提高約10%。

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（責(zé)任編輯：劉 飚）