“導數(shù)的概念”教學實錄

摘要： 以導數(shù)的概念為例，著重從選擇恰到好處的情境、提出促進思維的問題、遵循數(shù)學抽象的過程三個方面設(shè)計課堂教學，促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)生成.

關(guān)鍵詞： 導數(shù)的概念;數(shù)學抽象;問題串

1 教學目標設(shè)置

（1）經(jīng)歷用平均速度“逼近”瞬時速度的過程，體會瞬時速度的本質(zhì)是平均速度的極限，初步體會極限思想；

（2）通過求自由落體運動中物體在具體時刻的瞬時速度，類比函數(shù)變化率的極限；

（3） 經(jīng)歷由特殊到一般，由量變到質(zhì)變的過程，感悟數(shù)學抽象與邏輯的魅力.

2 教學重難點

教學重點： 導數(shù)的概念和極限思想.

教學難點： 從求瞬時速度的具體案例中抽象出導數(shù)概念.

3 學情分析

學生已經(jīng)學習過瞬時速度，對瞬時速度有初步的描述性理解，但對于瞬時速度的算法比較模糊；同時，在高一年級函數(shù)零點的學習中，體會過利用二分法逼近函數(shù)的零點，學習過數(shù)列極限的描述性定義.現(xiàn)行的高中數(shù)學教科書在給出導數(shù)概念之前并沒有嚴格介紹極限的概念及其運算.另一個認知障礙是對導數(shù)符號及其意義的理解，原因在于導數(shù)符號的高度抽象性.

4 教學過程設(shè)計

4.1創(chuàng)設(shè)情境

觀看汽車時速、高鐵時速、導航時速三個發(fā)生在我們身邊的場景，提出問題1.

問題1 """當我們乘坐高鐵時，常常會在車廂內(nèi)看到如圖1所示的列車信息顯示屏.在列車運行中，顯示的速度在不斷的變化，說一說你對圖中“速度350 km/h”的理解.

生：我覺得是瞬時速度.

追問1： "在物理學科中，相較于瞬時速度，你還學過什么速度？

生：平均速度.

追問2： "物理中運動物體的平均速度和瞬時速度是如何定義的？

生：平均速度是運動物體的位移與時間的比值，瞬時速度是運動物體在某一時刻或某一位置的速度.

追問3： "直覺告訴我們，“某一時刻”或“某一位置”是一個點，一個點的“位移”等于0.按照“常理”，“某一時刻的速度”應(yīng)該都等于0，這與物體的運動狀態(tài)相符嗎？問題出在哪里？

生：運動物體在“某一時刻”或“某一位置”的時間也是0.

追問4： "如果按通常的位移、時間和速度的關(guān)系計算“某一時刻t0的速度v0”，那么由v=[SX（]s[]t[SX）]有v0=[SX（]0[]0[SX）].[SX（]0[]0[SX）]到底該如何運算呢？

下面我們以自由落體為例來研究一下.

問題2 ""自由落體運動中，物體下落的距離d（單位：m）與時間t（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系d（t）=[SX（]1[]2[SX）]gt2，其中g(shù)為重力加速度，近似取g=10 m/s2，則d（t）=5t2，試求物體在t=2時的瞬時速度.

追問1： "求t=2附近的時間段物體在t=1到t=3內(nèi)的平均速度.

生：v=[SX（]d（3）-d（1）[]3-1[SX）]=[SX（]45-5[]2[SX）]=20（m/s）.

追問2： "用20 m/s來表述自由落體運動中1至3秒的運動狀態(tài)是否合理？

生：不合理.

追問3： "為什么不合理？試著描述物體在t=1到t=3內(nèi)的速度變化情況.

生： "物體在1～3秒內(nèi)的速度越來越快了.

設(shè)計意圖： 讓學生發(fā)現(xiàn)用平均速度不能準確地反映自由落體物體的運動狀態(tài)，僅用一個時間段內(nèi)的平均速度難以準確描述在某時刻附近時間段內(nèi)變速運動的過程，如何精確地對整個過程進行描述，引出研究瞬時速度的必要性.

追問4： "能否用數(shù)據(jù)支持物體在1到3秒內(nèi)的速度越來越快的結(jié)論？

生1：如果把這段時間分成［1，2］與［2，3］兩段，那么在這兩個時間段內(nèi)自由落體的平均速度分別是15 m/s與25 m/s.

生2：如果以0.5 s為間隔把［1，3］分成4個時間段，可以得出這4個時間段內(nèi)的平均速度分別是12.5 m/s，17.5 m/s，22.5 m/s，27.5 m/s.

師：隨著時間段的不斷細分，自由落體的物體運動狀態(tài)得到了越來越精確的描述.

追問5： "如何求自由落體運動中物體在t=2時的瞬時速度？瞬時速度與平均速度有什么關(guān)系？

生：用很短時間段的平均速度來近似得到瞬時速度.

師：事實上，物理實驗中測量運動物體的瞬時速度確實是這樣做的.物理實驗中的光電門和打點計時器都是通過測量很短時間內(nèi)的平均速度近似估計瞬時速度.

追問6： "求物體在t=2時的瞬時速度，很短的時間間隔如何表述？你能舉幾個例子嗎？

生1：［1，3］，［1.9，2.1］，［1.99，2.01］，等等.

生2：［2，2.1］ ，［2，2.01］，［2，2.001］，等等.

生3：可以?。?，2+t］，然后對t的取不同的值，讓其越來越小.

師：很好！我們看到有的同學是在2的兩邊取值，有的同學是在2的右邊取相應(yīng)的時間區(qū)間，當然也可以在2的左邊取相應(yīng)的時間區(qū)間.

為了研究方便，我們在t=2之前或之后任取一個時刻2+h，將時間段記為［2+h，2］（hlt;0）或［2，2+h］（hgt;0）.

設(shè)計意圖： 通過問題引導學生思考，從學生已知的平均速度出發(fā)，去探究未知的瞬時速度;通過縮短時間區(qū)間，用平均速度逼近瞬時速度的方法，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力.

對不同時間段長度值|h|，t=2附近時間段的平均速度如下：

hgt;0時，在［2，2+h］內(nèi)的平均速度v =[SX（]d（2+h）-d（2）[]（2+h）-2[SX）]=[SX（]5×（2+h）2-5×22[]h[SX）];

hlt;0時，在［2+h，2］內(nèi)的平均速度v =[SX（]d（2）-d（2+h）[]2-（2+h）[SX）]=[SX（]5×22-5×（2+h）2[]-h[SX）].

用Excel表格演示，由學生給定h的起始量及縮小方式，不斷縮小h的絕對值，得到如下的表格（如表1，表2），多組數(shù)據(jù)展示當h趨近于0時，平均速度v 的趨近趨勢.

追問7： "觀察表1，表2，能否給出自己的發(fā)現(xiàn)？

生：從表中數(shù)值我們可以發(fā)現(xiàn)，無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊無限趨近于2時，平均速度v 都無限趨近于20 m/s，我們可以初步判斷物體在t=2時的瞬時速度為20 m/s.

追問8： "你認為通過上述列表計算得出瞬時速度的過程可靠嗎？可否用數(shù)學的計算與推理證實我們的判斷？

hgt;0時，在［2，2+h］內(nèi)的平均速度v = d（2+h）-d（2） （2+h）-2 = 5×（2+h）2-5×22 h =20+5h；

hlt;0時，在［2+h，2］內(nèi)的平均速度v = d（2）-d（2+h） 2-（2+h） = 5×22-5×（2+h）2 -h =20+5h.

因為當h趨近于0時，v 趨近于20，所以物體在在t=2時的瞬時速度為20 m/s.

追問9： "趨近一詞是否用數(shù)學符號語言來表達？

生：可以用極限.

追問10： "非常好！我們在數(shù)列的學習中學過極限，那么仿照數(shù)列的極限表達，你認為這里應(yīng)該怎么表達呢？

生：可以將其表達為

lim h→0 [SX（]d（2+h）-d（2）[]h[SX）]=lim h→0 （20+5h）=20.

師：很好，t=2時的瞬時速度就是這樣表示.

設(shè)計意圖： 學生從表格直觀感受逼近過程后，教師再引導學生利用運算來發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律，滲透數(shù)學運算素養(yǎng).數(shù)學是培養(yǎng)理性思維的重要載體，學習數(shù)學離不開運算推理和演繹證明.數(shù)學實驗的結(jié)果需要用數(shù)學的運算推理加以驗證，體現(xiàn)了理論與實踐的統(tǒng)一，更讓人信服.同時，培養(yǎng)學生崇尚數(shù)學的理性精神和審慎的思維習慣.

追問11： "自由落體運動中，物體下落的距離d（單位：m）與時間t（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系d=5t2.試求物體在t=1時的瞬時速度.

經(jīng)過計算學生得出：t=1時的瞬時速度為

lim h→0 "d（1+h）-d（1） h =lim h→0 （10+5h）=10.

設(shè)計意圖： 期望學生通過類比，掌握表達式的結(jié)構(gòu)，并加深對結(jié)構(gòu)的認識，為下一步用字母表達數(shù)字做好鋪墊.

追問12： "我們已經(jīng)計算出t=1 s，t=2 s的瞬時速度，那么對于某一時刻t=t0，你能計算出瞬時速度嗎？

學生通過計算得出：

lim h→0 "d（t0+h）-d（t0） h =lim h→0 （10t0+5h）=10t0.

設(shè)計意圖： 從特殊到一般，通過運算求瞬時速度的過程，為抽象概括導數(shù)概念提煉出一個極限模型.

追問13： "10t0 與前面實驗及證明的結(jié)論是否具有一致性？

生：代入t=1 s，t=2 s，發(fā)現(xiàn)與前面的結(jié)果一致.

追問14： "10t0 與物理學中自由落體運動的速度公式是否具有一致性？

生：物理中的自由落體速度公式為v=gt，其中g(shù)為重力加速度，近似取g=10 m/s2時結(jié)果一致.

設(shè)計意圖： 通過上述問題得到了自由落體運動在任一時刻t=t0處的瞬時速度為10t0，也就是自由落體運動在任意時刻t=t0處的導數(shù).這說明導數(shù)是普遍存在的，可以在自由落體物體的任意運動時刻找到它.該過程體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學思想方法，為導函數(shù)概念的形成做好了鋪墊.同時，通過數(shù)學運算得到的結(jié)論與學生熟知的物理中自由落體運動的速度結(jié)論一致，再一次讓學生感受到數(shù)學作為基礎(chǔ)學科的重要性.

4.2 抽象概念

問題3 ""如何從數(shù)學角度對以上解決問題的方法進行更一般的描述？

追問1： "如果研究更一般的問題，函數(shù)y=f（x）在x=x0的瞬時變化率如何表示？

本質(zhì)上是在已知函數(shù)關(guān)系y=f（x）的前提下，對自變量x的某個給定值x0賦予一個變化量h，分析當h趨近于0時，函數(shù)值的變化量f（x0+h）-f（x0）相對于自變量變化量h的比值 f（x0+h）-f（x0） h [JP2]是否趨近于某個穩(wěn)定值.如果這個穩(wěn)定值存在，就說明 f（x0+h）-f（x0） h 在h趨近于0時有極限，并把這個極限值記作lim h→0 "f（x0+h）-f（x0） h ，[JP]即為函數(shù)y=f（x）在x=x0的瞬時變化率，稱為函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)，記作f′（x0），即有f′（x0）=lim h→0 "f（x0+h）-f（x0） h .

追問2： "根據(jù)導數(shù)定義，你能用導數(shù)來重述自由落體運動問題的結(jié)論嗎？

生：自由落體運動物體在t=2時的瞬時速度就是其下落距離d（t）在t=2時的導數(shù)值，即為d′（2）.

4.3 例題講解

例1 ""已知在使用某種殺菌劑t小時后室內(nèi)的細菌數(shù)量為f（t）=-103t2+104t+105.

（1）求f′（10）;

（2）f′（10）的實際意義是什么？

解： （1）當h≠0時，在使用殺菌劑10小時附近的時間段［10+h，10］（hlt;0）或者［10，10+h］（hgt;0）內(nèi)，細菌數(shù)量關(guān)于時間的平均變化率為

f（10+h）-f（10） h

= ［-103（10+h）2+104（10+h）+103］-（-105+105+103） h

= -104h-103h2 h

=-104-103h.

所以f′（10）=lim h→0 （-104-103h）=-104.

（2）f′（10）的實際意義是細菌數(shù)量在t=10時的瞬時變化率.它表明在t=10附近，細菌數(shù)量大約以每小時104的速率減少.

思考： 能否求出t=t0時的f′（t0）？

設(shè)計意圖： 此例題為教材中的例1，但將教材中 f（t）=105+104t-103t2改為f（t）=-103t2+104t+ 105，這樣書寫更規(guī)范，更有利于學生計算.雖然本題的運算量較大，但未對具體數(shù)據(jù)進行優(yōu)化，主要原因有兩個方面.一是考慮在未來科學研究中的數(shù)據(jù)大多是繁復的，二是一定量的運算是提升學生運算素養(yǎng)的訓練.

練習1 ""將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，已知在第x小時時，原油的溫度（單位：℃）為f（x）=x2-7x+15（0≤x≤8）.經(jīng)過計算可知f′（2）=-3，f′（6）=5.試說明它們的意義.

練習2 ""閱讀下列情境，并嘗試用自己的語言解釋相應(yīng)導數(shù)的實際意義：

（1）豎直向上發(fā)射的火箭熄火時的上升速度為100 m/s，此后其位移H （單位：m）與時間t （單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系H（t）=100t-5t2，H′（2）=80；

（2） 某種動物的體溫C（單位：℃）與太陽落山后經(jīng)過的時間t（單位：min）滿足函數(shù)關(guān)系C（t）= 120 t+5 + 15，C′（5）=-1.2；

（3）已知某港口一天內(nèi)潮水的深度y（單位：m）與時間t（單位：h）滿足y（t）=2sin "π 12 t+ 5π 6 "，0≤t≤24，y′（6）=- π 12 .

追問： 根據(jù)導數(shù)定義，你能用導數(shù)來解釋復興號列車顯示屏上的350 km/h的意義嗎？

生：復興號列車在8 ∶ 03那一瞬間的瞬時速度是350 km/h，也就是列車的位移關(guān)于時間的函數(shù)在那一時刻的導數(shù)值是350.

師：復興號是我國自主研發(fā)的具有獨立知識產(chǎn)權(quán)的新一代高速列車，2022年北京冬奧會的復興號專列成為了一張國家名片，冬奧會期間各國的記者和運動員搭乘“瑞雪迎春”復興號感受到了中國速度與冰雪激情.

設(shè)計意圖： 《微積分的力量》一書中寫到，我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳肴一樣，在導數(shù)概念的第一課時中，理解導數(shù)的概念及意義更重要，而學會求導以及如何計算不是本節(jié)課的教學重點.同時，通過以上物理、化學、生物、地理中的實例感受導數(shù)主要用來刻畫運動和變化，以及微積分在自然科學及社會科學中的廣泛應(yīng)用，深入體會“數(shù)學是一切科學的語言”.

4.4 數(shù)學文化

師：這節(jié)課中，由物理中的瞬時速度抽象出導數(shù)概念的這一過程，歷史上第一個發(fā)現(xiàn)的人是牛頓.1666年英國倫敦突發(fā)鼠疫，牛頓所在的劍橋大學也被迫封校，牛頓被隔離在鄉(xiāng)下的家中，潛心研究，才有了這樣震驚世界的發(fā)現(xiàn)，世人都稱牛頓為居家隔離型的天才少年，所以大家即使被疫情所擾，一旦被隔離在家，也不用過分擔心，如果潛心研究，說不定這是一次改變世界的機會.

設(shè)計意圖： 簡述牛頓從物理學的角度發(fā)明微積分的故事，另一位發(fā)明人萊布尼茨是從數(shù)學角度發(fā)明了微積分.要求學生上網(wǎng)查詢相關(guān)歷史.

4.5 課堂小結(jié)

通過一種現(xiàn)象——從“平均變化率”到“瞬時變化率”：

利用一種運算——極限；引入一個概念——導數(shù).

從而使一個難以描述的問題得到了準確的數(shù)學表達，以此為根基建立了整個微積分的大廈.

4.6 拓展思考

（1）本節(jié)課在求平均變化率時出現(xiàn)了形如 f（x1）-f（x2） x1-x2 這樣的數(shù)學表達式，我們在解析幾何的學習中是否有遇到過類似的數(shù)學表達式呢，能否結(jié)合解析幾何利用數(shù)形結(jié)合的思想研究自由落體運動的瞬時速度呢？試著說說你的發(fā)現(xiàn).

（2）在自由落體運動中，當h趨近于0時， f（x0+h）-f（x0） h 趨近于某個穩(wěn)定值，那么對于任意的函數(shù)f（x），當h趨近于0時， f（x0+h）-f（x0） h 是否都趨近于一個穩(wěn)定值？結(jié)合以下兩個實例進行思考. """掃碼看授課視頻

①f（x）= 1 x ，x0=1;

②f（x）=|x|，x0=0.

5 教學體會與思考

概念課要舍得花時間讓學生細細體會概念的發(fā)生、發(fā)展過程，品味概念生成的每一個環(huán)節(jié)實則對學生的創(chuàng)新意識及審慎思辨的態(tài)度的影響是深遠的.結(jié)合課例，筆者認為概念課要做到以下三點.

5.1 選擇恰到好處的情境

本課從汽車儀表盤、高鐵時速顯示屏和手機導航時速這三個身邊的情境引入，這些情境我們雖然在生活中每天都會遇到，但卻沒有認真思考過其中蘊含的物理與數(shù)學問題，引出 0 0 到底該如何運算的思考.情境選擇同時需要關(guān)注與其他學科的關(guān)聯(lián)性及簡潔性，過度復雜的情境是不利于學生進行探究活動時思維的展開，自由落體情境的選擇就基于此原因，在完成瞬時速度的探究后利用已有的物理知識驗證數(shù)學瞬時速度計算結(jié)果的正確性.由情境引出新知，學生了解知識的背景，激發(fā)學生探究的欲望，課堂教學情境高效精練，并且符合數(shù)學知識特征和學生認知規(guī)律.

5.2 提出促進思維的問題

問題指引著數(shù)學學習的基本方向，數(shù)學的基本知識、基本思想方法及數(shù)學解題策略都是基于一系列的問題產(chǎn)生的.

本節(jié)課教師在自由落體問題的探究過程中利用“問題串”串起研究的必要性（追問1-4）、如何展開研究（追問5-6）、研究過程（追問7-11）、研究結(jié)論（追問12）以及研究結(jié)論正確性論證（追問13-14）的過程.通過14個問題引領(lǐng)學生展開具有深度的思維活動，問題由淺入深，逐漸提升問題層次，最終深入數(shù)學的本質(zhì).教師提出問題的質(zhì)量決定了教學的質(zhì)量與效率，所以設(shè)計合理的“問題串”引導學生進行基于思維的自主探究，是教師“潤物細無聲”的親身示范，是教師對學生進行數(shù)學抽象素養(yǎng)滲透的良好時機.

5.3 遵循數(shù)學抽象的過程

從教學過程來說，教師在概念課的課堂教學中的抽象過程遵循了實物層面的抽象（自由落體運動在2 s 處的瞬時速度）—初步概括的抽象（瞬時速度到瞬時變化率抽象）—符號層面的抽象（導數(shù)的概念及導數(shù)符號語言的理解）—系統(tǒng)化層面的抽象（基于導數(shù)定義及導數(shù)實際意義理解的例1及練習1，2）這一過程，教科書中的抽象過程是生硬的沒有過渡的，而課堂教學的優(yōu)勢就是教師用豐富的教學行為將各抽象之間的過渡銜接得更加符合學生的認知能力.

在課堂教學中，教師要用自己的行為為學生做出良好的示范及引導，潛移默化地發(fā)展學生分析、解決問題的能力，將數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在教學行為中. 基于數(shù)學抽象素養(yǎng)培育的教學實踐研究一直在路上，期待更多教師不斷地探索、實踐、交流.