“三新”背景夯基礎，核心素養重創新

摘要： 在“三新”背景下，教學與學習更加重視改革與創新，強化數學基礎知識與關鍵能力.就“概率”單元知識模塊，通過復習教學的設計與安排，側重于本質內涵，從構建知識網絡、重視概念學習、強化概率公式、拓展數學思維等層面與視角展開與應用，總結概率部分教學與復習安排，引領并指導數學教學與復習總結.

關鍵詞： 概率；單元；復習；素養；創新

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數學課程標準（2017年版，2020年修訂》）、新高考“三新”背景下，“概率”單元復習教學設計更加側重于數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗“四基”層面，合理構建知識網絡與體系，注意數學概念的基礎性，凸顯數學公式的應用性，展示數學思維的靈活性等，有效進行單元復習教學設計與安排.

1 構建知識網絡，厘清單元系統

涉及“概率”單元知識模塊，關鍵在于構建相應的知識網絡，“串聯”起各個知識點之間的聯系，形成節點，全面厘清單元系統，為進一步理解與深化知識，以及綜合應用等創設條件.

圖1是“概率”單元的知識網絡，從數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這四個不同視角來展開，關注學生對“四基”的落實情況，以及發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養與提升情況，重視數學核心素養的發展.

2 重視概念學習，辨析理解差異

“概率”單元中涉及眾多的概念，正確學習并理解對應的概念，以及不同概念之間的差異，為解決問題提供條件.如，隨機事件、必然事件與不可能事件，頻率與概率，互斥事件與對立事件，事件的關系（和事件與積事件）與運算，互斥與獨立，等等，都需要我們正確理解相關概念，并加以合理聯系與區別.

例1 ""從一批產品中取出3件產品，設A={3件產品全不是次品}，B={3件產品全是次品}，C={3件產品不全是次品}，則下列結論正確的有 """""（填序號）.①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立.

分析： 正確理解并掌握互斥事件與對立事件的概念，辨析二者之間的關系與差異，并對復雜事件加以細化與展開，進而結合互斥事件與對立事件的概念來逐個分析與判斷.

解析： 事件A指的是3件產品全是正品，事件B是指3件產品全是次品，事件C包括1件次品2件正品、2件次品、1件正品3件全是正品這3個事件.

所以A與B是互斥事件，但不是對立事件；A與C是包含關系，既不是互斥事件，也不是對立事件；B與C既是互斥事件，也是對立事件，

故結論正確的有：①②⑤.

3 強化概率公式，增強數學運算

“概率”單元中涉及眾多的公式與性質，正確理解并掌握這些基本公式，為相應概率的求解與運算奠定基礎.這里涉及的公式與性質主要有：古典概型的概率公式，概率的基本性質，互斥事件的概率公式，對立事件的概率公式，獨立事件的概率公式，等等.

最主要的概率公式與求解就是古典概型的概率問題、相互獨立事件的概率問題等，它們都是這個單元中比較基本的數學運算對象.

例2 ""甲、乙兩校共有6名數學教師報名參加“對口”支教活動，其中甲校的數學教師是2男1女，乙校的數學教師是1男2女.

（1）若從甲、乙兩校中各任選1名，試求選出的2名教師性別相同的概率；

（2）若從甲、乙兩校中任選2名，試求選出的2名教師來自同一學校的概率.

分析： 根據題設，分別用不同的字母來表示甲、乙兩校中的不同教師，第（1）（2）問都可以通過羅列法列舉出不同的結果，再利用古典概型的概率公式加以分析與求解.

解析： 設甲校兩名男教師分別用a，b表示，女教師用c表示；乙校男教師用x表示，兩名女教師分別用y，z表示.

（1）從甲、乙兩校中各任選1名教師，樣本空間為Ω={ax，ay，az，bx，by，bz，cx，cy，cz}.

其中，記A=“選出的2名教師性別相同”，于是A={ax，bx，cy，cz}.

利用古典概型的概率公式，P（A）= 4 9 .

（2）從甲、乙兩校中任選2名教師，樣本空間Ω={ab，ac，ax，ay，az，bc，bx，by，bz，cx，cy，cz，xy，xz，yz}.

其中，記B=“選出的2名教師來自同一學校”，于是B={ab，ac，bc，xy，xz，yz}.

利用古典概型的概率公式，P（B）= 6 15 = 2 5 .

4 拓展數學思維，關注補集思想

“概率”單元中涉及眾多的數學思維，如補集思想、方程思想等，這些都是解決概率問題比較常用的數學思維.全面拓展并應用數學思維，可以使數學知識的學習更加牢固，數學問題的解決更加簡捷.

在解答一些比較復雜的概率應用問題，特別是當某一事件比較復雜，實際求解比較困難或過程比較繁瑣，但對應的對立事件比較簡單或其概率比較容易求解時，可借助補集思維，利用公式“P（A）+P（A ）=1”，來分析與處理.

例3 ""甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次，甲、乙射中的概率分別為0.8， 0.9，設事件A為“甲射中目標”，事件B為“乙射中目標”，事件A與B是相互獨立的.求：

（1）兩人都射中的概率；

（2）兩人中恰有一人射中的概率；

（3）兩人中至少有一人射中的概率.

分析： 根據條件，設出對應事件，并確定兩事件之間的關系.第（1）問通過獨立事件的概率公式來分析與求解；第（2）問結合不同情況進行分類討論，再利用獨立事件的概率公式來分析與求解；（3）通過補集思想，借助對立事件與獨立事件的綜合應用來分析與解決.

解析： 由題意知P（A）=0.8，P（B）=0.9.

（1）根據獨立事件的概率，可知兩人都射中的概率為P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）根據獨立事件的概率，兩人中恰有一人射中的概率為P（A B ）+P（A B）=0.8×（1－0.9）+（1－0.8）×0.9=0.26.

（3）根據對立事件的概率，兩人中至少有一人射中的概率為1－P（A "B ）=1－P（A ）P（B ）=1－ 0.2×0.1=0.98.

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進一步落實“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求，“概率”單元復習教學設計與安排在尋求基礎、本質、能力、創新等的基礎上，更多側重數學基礎與關鍵能力的考查，堅持開放創新與核心素養導向，更加注重數學創新意識與創新應用.