從“一題多解”中培養發散性思維

摘要： 本文中從一道例題出發，通過對問題結構進行分析，在經歷多種方法解決問題的過程中，讓學生感受如何將問題由難化易，由繁化簡，逐步培養學生的發散性思維.

關鍵詞： 一題多解；發散性思維

羅增儒教授認為“數學教育中真正發生數學的地方都無一例外地有數學解題活動”.在數學教學中，“一題多解”是一種最常用、最有效的教學手段.通過“一題多解”從不同角度對問題結構展開分析，將已有的數學知識輸出，經歷觀察、猜測、證明的過程，培養學生的發散性思維［1］.本文中將從一道例題的多種解法出發，逐步培養學生的發散性思維.

例題 "若a，b均大于1，且滿足ab=a+b+3，求ab的最小值.

1 利用均值不等式

方法一： 因為

ab=a+b+3，所以

a+b=ab-3.

又a，b均大于1，所以

a+b≥2 ab ，當且僅當a=b時，等號成立.

于是，ab-3≥2 ab ，變形得

（ ab ）2-2 ab -3≥0，則

（ ab -3）（ ab +1）≥0，解得

ab ≥3，或 ab ≤-1（舍）.

所以ab≥9.

方法二：

由ab=a+b+3，可得

a（b-1）=b+3=b-1+4，則

a=1+ 4 b-1 .

所以a+b=1+ 4 b-1 +b=b-1+ 4 b-1 +2.

故ab-3=b-1+ 4 b-1 +2.

于是，ab=b-1+ 4 b-1 +5≥9，當且僅當a=b=3時，等號成立.

故ab≥9.

點評： 以上兩種方法均是從代數角度對等式進行變形.方法一借助均值不等式得到以 ab 為變量的二次不等式，進而求出 ab 的范圍;而方法二是構造“M+ 1 M ”型新等式，再運用均值不等式求范圍.盡管兩種方法都用到了均值不等式， 但構造新的式子具有一定的難度.由此可見，在上述解題過程中，學生的思維水平更多的是停留在“題干信息本身”以及“教材中的公式”上，往往難以對已有信息進行變式，進而發散性地構造出新式，因此常常出現解題解一半而無思路的情況.

2 利用根與系數的關系

方法三： 構造對偶式.

因為ab=a+b+3，所以

構造ab+（a+b）=t.

由 ab+（a+b）=t，

ab-（a+b）=3，

可得 ab= 3+t 2 ，

a+b= t-3 2 .

基于一元二次方程根與系數的關系，可以將a，b看作一元二次方程Ax2+Bx+C=0兩根，則

ab= 3+t 2 = C A ， a+b= t-3 2 =- B A .

此時，原一元二次方程可以寫為

2x2-（t-3）x+3+t=0.

因為該一元二次方程有兩實根，所以△≥0，

即（t-3）2-8（3+t）≥0.

化簡，得（t-15）（t+1）≥0.

由于a，b是大于1的正數，因此tgt;1.

故t≥15，即

ab≥9.

方法四： 直接設值.

由于ab=a+b+3，

不妨設ab=t，則a+b=t-3.

根據一元二次方程根與系數的關系，可以將a，b看作一元二次方程Ax2+Bx+C=0的兩根，則

ab=t= C A ，a+b=t-3=- B A .

此時，原一元二次方程可以寫為

x2-（t-3）x+t=0.

因為方程有兩實根，所以Δ≥0，

即（t-3）2-4t≥0.

化簡為（t-9）（t-1）≥0.

由于a，b是大于1的正數，因此tgt;1.

故t≥9，即

ab≥9.

點評： 以上兩種方法在于細致的觀察，等式中出現的變量有ab和a+b，基于這兩種形式的特殊性，聯想到一元二次方程中根與系數的關系，再運用判別式求ab的范圍.方法三在解題過程上會略顯復雜，運用對偶法解決出現ab和a+b兩種形式的題較為常見.

3 利用數形結合思想

方法五： 幾何法——等面積法.

如圖1，長方形ABCD中，AB=a，BC=b.

在AB上取一點E，令BE=1，過點E作AB的垂線交DC于點F;在BC上取一點N，令BN=1，過點N作BC的垂線交AD于點M.

令GF=x，MG=y，

則有a=y+1，b=x+1.

即y=a-1，x=b-1.

由圖可知S矩形ABCD=ab，且有

S矩形ABCD =S矩形AEGM+S矩形BEGN+S矩形GNCF+S矩形MGFD

=y+1+x+xy

=a+b+（a-1）（b-1）-1.

又ab=a+b+3，所以

（a-1）（b-1）=4.

即SMGFD=xy=4.

當xy的值確定，要求x+y的最小值，即求長方形MGFD的周長的最小值，而矩形面積一定時，正方形周長最小.

故當且僅當x=y=2時，x+y最小.

此時，a=b=3，ab的最小值為9.

點評： 該解法嘗試將代數問題轉化為幾何問題，使問題更加形象、具體.通過構建長方形，借助面積法表示出ab，（a-1）（b-1），并基于圖形的幾何意義找到二者的代數關系.為了求最小值，將面積問題轉化為周長問題進行解決.數形結合法拓展了學生思考問題的維度，促使學生進入更高階的思維層次.

4 利用數列知識

方法六： 等差數列法.

因為ab=a+b+3，所以

ab-3=a+b.

根據等差數列的等差中項的特征，可以將a， ab-3 2 ，b看作等差數列相鄰的三項，令公差為d，則

a= ab-3 2 -d，

b= ab-3 2 +d.

所以ab= "ab-3 2 "2-d2.

由d2= "ab-3 2 "2-ab≥0，整理可得

（ab-9）（ab-1）≥0.

由于a，b是大于1的正數，因此ab≥9.

方法七： 等比數列法.

由ab=a+b+3，得

（a-1）（b-1）=4.

根據等比數列的等比中項的特征，可以將a-1，2，b-1看作等比數列相鄰的三項，則 b-1 2 =q= 2 a-1 .

由a，b是大于1的正數，可知qgt;0.

于是a= 2 q +1，

b=2q+1.

所以ab=5+2q+ 2 q ≥9，

當且僅當q=1，即a=b=3時，等號成立.

故ab≥9.

點評： 方法六和方法七均先對等式進行變形，將視角聚焦到變式后的結構形式上.通過將該等式割裂成三項，建立了等式與特殊的函數——數列之間的聯系，將等式分割為三項，從數列的等差、等比中項的性質出發，建立關系，從而求出ab的范圍.該方法對學生基礎知識和思維能力的要求較高.

本文中對一道例題進行“一題多解”，從多角度思考數學問題.除了常用的解題方法，還嘗試從新的視點分析問題，建立初高中所學習知識體系的聯系.例如，將代數問題轉化為幾何問題，借助圖象用面積法解決問題；將代數與特殊的函數——數列建立關系，利用數列的性質解決問題;等等.這樣的轉化，可將“摸不透”的問題“明晰化”，使學生對所學知識做到融會貫通，實現思維層次的高階化［2］.

參考文獻：

［1］ "黃璧.聚焦一題多解展現多彩思維［J］.中學教學參考，2021（32）：31-32.

［2］朱龍.思維在一題多解中發散——以一道數學題的多種解法為例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2022（16）：34-36.