歸納學習在高三數學復習中的運用

摘 要： 根據普通高中數學課程標準對學業質量水平的三個水平劃分，學生需要在高考中達到水平二的要求.依據課標中不同知識點對核心素養的要求分類統計，發現邏輯推理與數學運算幾乎是所有高中知識點都做要求的，需要學生掌握歸納學習來發展數學核心素養.絕大多數學生能夠在學業水平考試后達到水平一的要求，因此水平二的要求就是高三復習課中需要重點關注與突破的.合理利用歸納學習可以幫助學生提高高三數學復習課效率.

關鍵詞： 歸納學習；核心素養；高效課堂；高三復習

1 關于有效學習的思考

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中學生數學學業質量水平劃分為三個水平，其中水平一是高中畢業應當達到的要求，也是高中畢業的數學學業水平考試的命題依據；水平二是高考的要求，也是數學高考的命題依據.”[1]如何在日常課堂教學中幫助高中學生快速達到水平二的要求，對于高中數學教學而言就是如何幫助學生有效學習.數學學業質量是學生數學核心素養的綜合體現.課標中對于六個數學核心素養，每一個核心素養的要求也劃分為三個水平，是通過“情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思”四個方面進行表述的［2］，筆者結合自身教學經歷認為教學效率的提高也得從這四個方面入手.

對于泛化的學習目標，通常有兩種學習方式，即指令學習與歸納學習.指令學習，即為傳統教學常用的給予學生概念、規律共性的語言描述，相當于一份說明書，對照相應的情形對應解決相應的問題.高中數學立體幾何的證明即為這種方式，根據具體的問題，選擇相應的定理、公理進行證明.歸納學習則是通過研究案例，總結共性，大腦在無意識的情形下進行總結歸納.高中數學教學中的例題講解即為歸納學習方式，這種方式容易受特例影響，學生總結出的規律往往不具備普適性，也容易形成思維定式.最佳的學習模式應該是兩種學習方式的結合.高中數學的公式、概念和定義，以指令學習的方式，構建一個大的知識體系框架，相當于建筑的承重墻與梁柱.多個數學情境的案例、例題，以歸納學習的方式進行，填充內容相當于建筑物的各種細節.結合教學來看，知識與技能是大方向與框架，即形成相應數學核心素養的技能，這些需要通過指令學習將公式、概念、定義傳遞給學生.而這些知識與技能的獲得又需要在一些實際生活的情境與問題中，抽象歸納出數學模型，提煉出概念與規則.新知識的產生是建立在已有知識體系基礎上的，數學問題的條件與結論之間的邏輯關系，不同情形下數學符號語言的表述，又要通過歸納推理、類比推理和演繹推理來進行轉化、運算與證明，這個過程即是思維與表達的過程.交流與反思則是指學生能將抽象的數學概念、結論，通過規范的數學語言進行直觀的解釋和與他人交流，并能對數學知識進行歸納總結、研究及拓展提升［3］.所以這四個方面是有機統一的，也是四個過程，指令學習與歸納學習始終融合并貫穿整個過程.指令學習，學生可以通過閱讀教材、教輔資料及教師課堂傳授，因而歸納學習就顯得尤為重要.筆者認為，在高中掌握好歸納學習是高中生數學有效學習的關鍵，也是很多學生由初中進入高中后數學成績發生巨大轉變的原因之一.

2 高中數學核心素養與學生數學能力的培養

北京師范大學曹一鳴教授指出：“數學核心素養表現在小學階段主要是具有一定的“意識”，初中階段是形成一定的“觀念”，高中階段則要求具備一定的“關鍵能力”，這體現了核心素養的發展性和階段性.”[4]在高中階段，數學的關鍵能力包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.因而在教學活動中，如何布置合適的學習任務、創設合適的學習情境、組織高效且具有數學探究性的學習活動等，把學生數學學科核心素養的能力養成滲透到日常教學中成為高中數學教學的重心［1］.

筆者根據普通高中數學課程標準對高中數學必修課程與選擇性必修課程的核心素養要求進行了分類統計，具體見表1.

由統計結果可見，每個單元的知識點對學生數學核心素養的提升不是單一的，是多維一體的，絕大多數知識點都對學生的邏輯推理及數學運算能力有要求.必修課程的預備知識主題中，集合、相等關系與不等關系、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式章節還對學生的數學抽象能力提升做了要求；函數主題中函數概念與性質、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及函數應用章節還對學生的數學抽象、數學建模、直觀想象能力提升做了要求［5］；幾何與代數主題中的平面向量及其應用、復數、立體幾何初步章節還對學生的數學抽象、直觀想象能力提升做了要求；概率與統計主題重點對學生的數據分析、數學建模能力提升做了額外要求.

在高中數學教學中，教師要依據課標，立足教材，根據章節的側重點對學生的數學核心素養能力培養有所側重.兩大核心能力，即邏輯推理及數學運算，要在課堂例題的講授及作業訓練中讓學生不斷靈活加以運用.其他四種核心素養能力，在情境與問題的表述、知識與技能的引入中，要多通過問題引導學生思考、歸納，并在課后的練習與作業和章節測驗中重點訓練與考查，從而讓學生有目的地訓練與運用.其中，必修課程中集合與函數章節，對學生的數學抽象能力要求相比初中數學的“觀念”有較大差異，教師在教學時要做好銜接與過渡.

3 如何利用歸納學習提高高三復習課效率

在研究了普通高中數學課程標準中核心素養與高中學生數學學業質量水平的三個水平要求后，筆者認為高三復習課仍然要立足于培養與發展學生的數學能力，以達到學業質量水平的水平一與水平二的要求，并根據學生的學情與興趣引導部分學生向水平三發展.高中學生數學學業質量水平一為高中學業水平考試的命題依據，即課標中要求學生在高中畢業應達到的數學能力水平.此水平的數學能力較為基礎，在高二學業水平考試后，絕大多數學生能夠達到這一水平的要求.因此，水平二的要求就是高三復習課中需要重點關注與突破的；同時，在高三有限的課堂教學時間中提高課堂效率，幫助學生高效復習知識點與技能，提升數學能力是核心.

在水平二的要求中提到：“能夠理解歸納、類比是發現和提出數學命題的重要途徑；能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形；能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系，提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想，初步建立網狀的知識結構.”[1]這些要求都與歸納學習方式、歸納類比的數學思想及將知識形成網狀知識體系密切相關.筆者認為，可以合理利用歸納學習，幫助學生提高高三數學復習效率.

（1）督促學生整理歸納練習及測驗中的錯題

歸納學習方式更多的是在大腦擅長的潛意識中進行的學習行為，因此要將素材先輸入大腦.學生可以將學生易犯錯的錯題，因知識點遺忘而導致找不到數學條件間聯系的錯題，以及由于目前數學能力不足導致找不到題目突破口的錯題，整理記錄在錯題本上，并且需要周期性復習并多次再次解答，對照正確解析反思不足，查漏補缺.通過定期復習整理歸納，提高歸納學習效率，有目的性的引導比盲目刷題更高效.這樣能幫助學生節省更多的時間，也讓學生的課后自主學習更具目的性和可操作性.

（2）課堂教學中引導學生歸納總結

首先，在日常數學課堂教學中，教師可以引導學生通過歸納類比知識點，聯系已學知識對具有共性的新知識做猜想并證明.例如：高一函數章節中，指數函數與對數函數的圖象與性質；三角函數章節中，正弦函數與余弦函數的圖象與性質；平面向量與空間向量的坐標運算；橢圓與雙曲線的定義、標準方程、離心率等知識點.這些都可以通過類比，由已學的知識點歸納類比得到新的知識點，既鍛煉了學生的邏輯推理能力又能讓他們更好地掌握知識點.

另外，還可以在每節課臨近下課的五分鐘內以提問的形式，引導學生對本節課的知識點、數學思想方法、解題技巧等做歸納總結.課堂歸納總結，能讓學生對每節課的學習成果，作出一個簡單的自我評價，也能幫助教師反思學生對本節課教學目標的掌握情況.提問環節讓學生回憶整節課的主干知識，方便學生課后查漏補缺、整理筆記，也能讓學生全程參與課堂環節，提高課堂專注度.

（3）巧用一題多解歸納復習，形成知識體系

高中數學很多知識點之間有密切的聯系，通過這些聯系，有些數學題往往可以一題多解.一題多解，不僅可以通過一道題串聯多個知識點，幫助學生復習回顧，還可以幫助學生按知識點之間的邏輯聯系歸納形成知識體系，以點帶面進行復習.特別在與三角函數有關的習題中，三角函數式的化簡與變形一直是學生害怕的問題，而這類問題又是高考數學考查的一個熱點，其中有關解三角形的解答題也會用到這一方面知識.因此，在講解這一類問題的過程中，一題多解可以幫助學生更好地理解三角函數誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式，等等.類似地，在解三角形題型中，計算三角形的內角除了正弦定理、余弦定理，還可以用向量的方法，借助向量數量積的定義，通過計算三角形兩邊的方向向量的夾角得到所求三角形內角.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2017.

［2］李肆鵬.高中課堂教學中培養學生數學抽象素養的研究［D］.哈爾濱：哈爾濱師范大學，2017.

［3］鈕金祥.高中生數學運算素養的調查研究［D］.牡丹江：牡丹江師范學院，2020.

［4］曹一鳴， 劉冰. 數學課標（2022年版）：開啟數學課程改革新征程[J]. 中小學管理， 2022（6）：20-23.

［5］洪夢.高中數學必修教科書習題比較研究——以人教A版、北師大版為例［D］.天津：天津師范大學，2021.