化韋達定理“無效”為“有效”的策略

摘要： 在直線與圓錐曲線相交的綜合問題中，常常遇到使用韋達定理后式子無法走向解題目標的情形，即出現韋達定理“無效”的情形.本文中利用韋達定理的內部聯系，實施通過變式使用韋達定理來實現降冪和消元的策略，化韋達定理“無效”為“有效”，從而使得問題順利解決.

關鍵詞： 韋達定理；無效；代換降冪；代入消元；有效

1 韋達定理有效與無效情形分析

在直線與圓錐曲線相交的問題中，通常將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y整理得到關于x的方程mx2+nx+p=0（或消去x整理得關于y的方程my2+ny+p=0），在m≠0，且Δ＞0的條件下直線與圓錐曲線存在兩個交點，設兩交點坐標為（x1，y1），（x2，y2），則可利用韋達定理寫出：

x1+x2=- n m ，x1x2= p m "或y1+y2=-[SX（]n[]m[SX）]，y1y2=[SX（]p[]m[SX）] .在許多情況下，可以配湊后有效使用韋達定理將問題進行轉化，譬如，

x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2，

x1-x2 = （x1+x2）2-4x1x2 ，

x1 + x2 = （x1+x2）2+2 x1x2 -2x1x2 ，等等 .

但有時會遇到“無法”處理的情形，譬如遇到將問題化歸為

λx1x2+μx1+rx2+q的情形，當

μ≠r時，對

μx1+rx2就“無法”使用韋達定理處理，問題“擺不平”，此時韋達定理就“失效”了.

2 韋達定理變“無效”為“有效”的策略

當遇到λx1x2+μx1+rx2+q（μ≠r）這類情形時，可以實施如下程序化的策略嘗試處理.

2.1 降冪：“兩根之和”與“兩根之積”間的代換

由

x1+x2=- b a ，x1x2= c a ，

可以得到x1x2= -c b （x1+x2）（b≠0），用

-c b （x1+x2）代換x1x2可以發(fā)揮降冪的作用.

2.2 消元：利用“兩根之和”進行根間代換

由x1+x2=- b a 可得

x1=- b a -x2或

x2=- b a -x1， 它可以發(fā)揮代入消元的作用.

利用韋達定理降冪和消元常常可以使問題順利求解，利用韋達定理的變式降冪和消元就是使韋達定理變“無效”為“有效”的有效策略.

3 "韋達定理變“無效”為“有效”的策略應用舉例

下面通過幾道例題的解析，展示變式利用韋達定理進行降冪、消元而讓韋達定理變“無效”為“有效”的運用策略.

3.1 變式利用韋達定理進行和積代換

例1 ""已知 A，B分別為橢圓C： x2 3 + y2 2 =1在

x軸負半軸、 正半軸上的頂點，過C的右焦點的直線l與C交于D，E兩點，判斷直線AD，BE的斜率的比值是否為定值.如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

解： 橢圓C： x2 3 + y2 2 =1的右焦點為

F（1，0），直線l經過F，設l的方程為x=my+1，將其與 x2 3 + y2 2 =1聯立消去x，整理得

（2m2+3）y2+4my－4=0.

在Δgt;0恒成立下，設交點求標分別為D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2= －4m 2m2+3 ，y1y2= －4 2m2+3 ，且my1y2=y1+y2. 又易知A（－ 3 ，0），B（ 3 ，0），則

kAD kBE "= y1 x1+ 3 "· x2－ 3 "y2

= y1 my1+1+ 3 "· my2+1－ 3 "y2

= my1y2+（1－ 3 ）y1 my1y2+（1+ 3 ）y2 （若將y1y2= －4 2m2+3 代入，則韋達定理“失效”）

= y1+y2+（1－ 3 ）y1 y1+y2+（1+ 3 ）y2 （用y1y2與y1+y2的關系代換降冪，使韋達定理從“無效”變?yōu)椤坝行А保?/p>

= （2－ 3 ）y1+y2 y1+（2+ 3 ）y2 .

= （2－ 3 ）y1+y2 （22－ 3 2）y1+（2+ 3 ）y2

= 1 2+ 3 "=2－ 3 .

所以，直線AD，BE的斜率的比值等于定值.

例2 ""已知A，B是橢圓C： x2 2 +y2=1的短軸兩端點，過點D（0，2）的直線l（除y軸）與C相交于M，N兩點，求直線AM，BN交點的軌跡.

解： 求得橢圓C的短軸端點A（0，－1），B（0，1）.設過點D（0，2）的直線（除y軸）方程為y=kx+2，將其與 x2 2 +y2=1聯立消去y，得

（1+2k2）x2+8kx+6=0.

令Δ=16k2-24gt;0.

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1，x2≠0，且

x1+x2= －8k 1+2k2 ，

x1x2= 6 1+2k2 ，則有

kx1x2=－ 3 4 （x1+x2）.

設直線AM，BN的交點為P（x，y）.由直線l與y軸不重合，得x≠0.

由AP ∥MP ，可得

（y1+1）x－x1y=x1. "①

由BP ∥NP ，可得

（y2－1）x－x2y=－x2. "②

聯立①②，解得

y = x1（y2－1）+x2（y1+1） x2（y1+1）－x1（y2－1）

= x1（kx2+1）+x2（kx1+3） x2（kx1+3）－x1（kx2+1）

= 2kx1x2+x1+3x2 3x2－x1

（使用kx1x2=- 3 4 （x1+x2）代換降冪）

= －（3x1+3x2）+2x1+6x2 6x2－2x1

= 3x2－x1 6x2－2x1

= 1 2 .

所以，直線AM，BN交點的軌跡是一條直線（除去一點），其方程為y= 1 2 （x≠0）.

3.2 利用韋達定理進行和積代換與根間代換

例3 """（2023年新高考Ⅱ卷第21題） 已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為C（－2 5 ，0），離心率為 5 .

（1）求C的方程.

（2）記C的左右頂點分別為A1，A2，過點（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于P，證明：點P在定直線上.

解： （1）求得雙曲線C的方程是 x2 4 － y2 16 =1.

（2） 設經過點（－4，0）的直線l的方程為x=my－4，與 x2 4 － y2 16 =1聯立消去x整理，

得到（4m2－1）y2－32my+48=0，則4m2－1≠0，Δ=64（4m2+3）gt;0.

設M（x1，y1），N（x2，y2），已知M在第二象限，則y1＞0，y2＜0，x1＜0，x2＜0.由韋達定理，得

y1+y2= 32m 4m2－1 "，

y1y2= 48 4m2－1 ".

兩式相除，得2my1y2=3（y1+y2）.

由A1（－2，0），M（x1，y1），求得直線A1M的方程為y= y1 x1+2 （x+2）；由A2（2，0），N（x2，y2）求得直線A2N的方程為y= y2 x2－2 （x－2）.聯立這兩個方程消去y，得 "y2 x2－2 － y1 x1+2 "x=2 "y2 x2－2 + y1 x1+2 ".

將x1=my1－4和x2=my2－4代入上式，化簡整理，得

x= 2my1y2－6y1－2y2 3y1－y2 = 3（y1+y2）－6y1－2y2 3y1－y2 =－1.

所以，直線A1M與直線A2N的交點P在定直線x=－1上.

本題解答中，看似必須使用韋達定理，但韋達定理失效了，聯合使用韋達定理的“兩根之積”與“兩根之和”得到y(tǒng)1y2與y1+y2的關系式2my1y2=3（y1+y2），將y1y2降冪處理，問題瞬間化險為夷.

例4 ""已知A，B分別是橢圓C： x2 4 +y2=1的上、下頂點，直線x=my+1與C相交于M，N兩點，若直線AM的斜率等于直線BN的斜率的λ（λ≠1）倍，求m與λ的函數關系式：m=f（λ）.

解： 橢圓C： x2 4 +y2=1的上、下頂點坐標分別為A（0，1），B（0，－1）.將x=my+1代入 x2 4 +y2=1，整理得（m2+4）y2+2my－3=0，Δgt;0.

設M（x1，y1），N（x2，y2），則y1+y2= －2m m2+4 ，

y1y2= －3 m2+4 ，my1y2= 3 2 （y1+y2），于是有

kAM kBN "= y1－1 x1 · x2 y2+1

= （y1－1）（my2+1） （my1+1）（y2+1）

= my1y2+y1－my2－1 my1y2+my1+y2+1

= 3（y1+y2）+2y1－2my2－2 3（y1+y2）+2my1+2y2+2 ［用my1y2=

3 2 （y1+y2）代換降冪］

= 5y1+（3－2m）y2－2 （3+2m）y1+5y2+2

= 5y1+（3－2m） "－2m m2+4 －y1 －2 （3+2m）y1+5 "－2m m2+4 －y1 +2 （使用

y2= －2m m2+4 －y1代入消元）

= "（2m3+2m2+8m+8）y1+（2m2－6m－8） （2m3－2m2+8m－8）y1+（2m2－10m+8）

= （m+1）（m2+4）y1+（m+1）（m－4） （m－1）（m2+4）y1+（m－1）（m－4）

= m+1 m－1 .

由λ=[SX（]m+1[]m-1[SX）]，

解得m= λ+1 λ－1 （λ≠1）.

所以，m與λ的函數關系式是m=f（λ）= λ+1 λ－1 （λ≠1）.

4 總結

在求解和探究涉及直線與圓錐曲線的交點問題時，如果不是直接求解交點坐標的情形，一般需要配湊韋達定理實施轉化.當遇到λx1x2+μx1+rx2+q（μ≠r）這類情形時，韋達定理就“無效”了，但這種“無效”只是一種假象和錯覺，此時可利用由x1+x2=- b a 和x1x2= c a 得到的x1x2= －c b （x1+x2）（b≠0）進行降冪嘗試，或利用由x1+x2=- b a 得到的x1=- b a -x2 或x2=- b a -x1 進行消元嘗試（關于y1，y2的情形也是如此）.這樣降冪和消元，往往可以使得問題獲得化簡求解，變韋達定理“無效”為“有效”，發(fā)揮韋達定理的“有效”和關鍵作用.